隨機變量及其概率分布

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1、第 二 章 隨 機 事 件 及 其 概 率 分 布 1 隨 機 變 量 及 其 分 布 函 數(shù) 2 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 函 數(shù) 3 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 函 數(shù) 4 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 概 率 分 布 1.1 隨 機 變 量1.2 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 1 隨 機 變 量 及 其 分 布 函 數(shù) 1.1 隨 機 變 量 概 率 論 是 從 數(shù) 量 上 來 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 內(nèi) 在 規(guī) 律性 的 ， 為 了 更 方 便 有 力 的 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 ， 就 要 用數(shù) 學 分 析 的 方 法 來 研 究 ， 因 此 為

2、 了 便 于 數(shù) 學 上 的推 導 和 計 算 ， 就 需 將 任 意 的 隨 機 事 件 數(shù) 量 化 當把 一 些 非 數(shù) 量 表 示 的 隨 機 事 件 用 數(shù) 字 來 表 示 時 ， 就 建 立 起 了 隨 機 變 量 的 概 念 1. 為 什 么 引 入 隨 機 變 量 ? 1、 有 些 試 驗 結 果 本 身 與 數(shù) 值 有 關 （ 本 身 例 如 ， 擲 一 顆 骰 子 上 面 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) ；每 天 從 北 京 站 下 車 的 人 數(shù) ；七 月 份 海 南 島 的 最 高 溫 度 ；就 是 一 個 數(shù) ） 正 如 裁 判 員 在 運 動 2、 在 有 些 試 驗 中 ，無

3、關 ，種 結 果 . 試 驗 結 果 看 來 與 數(shù) 值但 我 們 可 以 引 進 一 個 變 量 來 表 示 它 的 各即 把 試 驗 結 果 數(shù) 值 化 .場 上 不 叫 運 動 員 的名 字 而 叫 號 碼 一 樣 ，二 者 建 立 了 一 種 對應 關 系 . 2. 隨 機 變 量 的 引 入實 例 在 一 裝 有 紅 球 、 白 球 的 袋 中 任 摸 一 個 球 ,觀 察 摸 出 球 的 顏 色 .=紅 色 、 白 色 非 數(shù) 量 將 數(shù) 量 化 ?可 采 用 下 列 方 法 紅 色 白 色 )(eX R10 即 有 X (紅 色 )=1 , .,0 ,1)( 白 色紅 色eeeX

4、 X (白 色 )=0.這 樣 便 將 非 數(shù) 量 的 =紅 色 ， 白 色 數(shù) 量 化 了 . 3. 隨 機 變 量 的 定 義 )var.(.)( ),( ,)(, ., iablerandomXvreX eXeXe eE簡記為為隨機變量稱上的單值實值函數(shù)這樣就得到一個定義在與之對應有一個實數(shù)果對于每一個如它的樣本空間是是隨機試驗設 X(e) Re 實 例 4 某 公 共 汽 車 站 每 隔 5 分 鐘 有 一 輛 汽 車 通過 , 如 果 某 人 到 達 該 車 站 的 時 刻 是 隨 機 的 , 則,)( 此 人 的 等 車 時 間eX是 一 個 隨 機 變 量 .且 X(e) 的 所

5、 有 可能 取 值 為 : .5,0 實 例 5 設 某 射 手 每 次 射 擊 打 中 目 標 的 概 率 是 0.8,現(xiàn) 該 射 手 射 了 30次 , 則 ,)( 射 中 目 標 的 次 數(shù)eX是 一 個 隨 機 變 量 . 且 X(e) 的 所 有 可 能 取 值 為 :.30, ,3,2,1,0 實 例 6 設 某 射 手 每 次 射 擊 打 中 目 標 的 概 率 是 0.8,現(xiàn) 該 射 手 不 斷 向 目 標 射 擊 , 直 到 擊 中 目 標 為 止 ,則,)( 所 需 射 擊 次 數(shù)eX 是 一 個 隨 機 變 量 .且 X(e) 的 所 有 可 能 取 值 為 :.,3,2

6、,1 隨 機 變 量 通 常 用 大 寫 字 母 X, Y, Z,等 表 示 .對 隨 機 變 量 ， 我 們 關 心 它 的 取 值 ， 用 其 取 值來 描 述 隨 機 事 件 .都 稱 為 隨 機 事 件 . :e X e L X L 對 于 任 意 的 實 數(shù) X， 集 合 實 例 7 一 批 產(chǎn) 品 有 50 件 ， 其 中 有 8 件 次 品 ,42 件 正 品 , 現(xiàn) 從 中 取 出 6 件 ，0， 1， 2， ， 6表 示 取 出 的 產(chǎn) 品 全 是 正 品 這 一 事 件 ；表 示 取 出 的 產(chǎn) 品 至 少 有 一 件 次 品 這 一事 件 . 0X 1X 令 ： 取 出

7、6 件 產(chǎn) 品 中 的 次 品 數(shù)X則 是 一 個 隨 機 變 量 ， 它 的 取 值 為X 實 例 8 上 午 8:00 9:00 在 某 路 口 觀 察 ， 100Y 表 示 通 過 的 汽 車 數(shù) 小 于 100輛 50 100Y 表 示 通 過 的 汽 車 數(shù) 大 于 50輛 但 不 超 過 100 輛 這 一 隨 機 事 件 .這 一 事 件 ；0， 1， 令則 就 是 一 個 隨 機 變 量 。Y ： 該 時 間 間 隔 內(nèi) 通 過 的 汽 車 數(shù)Y 它 的 取 值 為 隨 機 變 量 隨 著 試 驗 的 結 果 不 同 而 取 不 同 的 值 , 由 于 試 驗 的 各 個 結

8、果 的 出 現(xiàn) 具 有 一 定 的 概 率 , 因此 隨 機 變 量 的 取 值 也 有 一 定 的 概 率 規(guī) 律 .(2) 隨 機 變 量 的 取 值 具 有 一 定 的 概 率 規(guī) 律 隨 機 變 量 是 一 個 函 數(shù) , 但 它 與 普 通 的 函 數(shù) 有著 本 質 的 差 別 ,普 通 函 數(shù) 是 定 義 在 實 數(shù) 軸 上 的 ,而隨 機 變 量 是 定 義 在 樣 本 空 間 上 的 (樣 本 空 間 的 元素 不 一 定 是 實 數(shù) ).說 明(1) 隨 機 變 量 與 普 通 的 函 數(shù) 不 同 報 童 賠 錢 報 童 賠 錢 賣 出 的 報 紙 錢 不 夠 成 本 試 將

9、 報 童 賠 錢 這 一 事 件 用 隨 機 一 報 童 賣 報 ，解 666X 為 0.10元 。他 不 得 把 賣 不 出 的 報 紙 退 回 。賣 出 的 報 紙 份 數(shù) 。變 量 的 表 達 式 表 示 。 每 份 0.15元 ， 其 成 本報 館 每 天 給 報 童 1000份 報 ， 并 規(guī) 定設 為 報 童 每 天X報 童 賠 錢當 時 ，0.15 1000 0.1X 3.隨 機 變 量 的 分 類離 散 型(1)離 散 型 隨 機 變 量 所 取 的 可 能 值 是 有 限 多 個 或無 限 多 個 (可 列 個 ), 叫 做 離 散 型 隨 機 變 量 . 觀 察 擲 一 個

10、 骰 子 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) .隨 機 變 量 X 的 可 能 值 是 :隨 機 變 量連 續(xù) 型實 例 1 1, 2, 3, 4, 5, 6.非 離 散 型其 它 實 例 2 若 隨 機 變 量 X 記 為 “ 連 續(xù) 射 擊 , 直 至 命中 時 的 射 擊 次 數(shù) ” , 則 X 的 可 能 值 是 : .,3,2,1 實 例 3 設 某 射 手 每 次 射 擊 打 中 目 標 的 概 率 是 0.8,現(xiàn) 該 射 手 射 了 30次 ,則 隨 機 變 量 X 記 為 “ 擊 中 目 標的 次 數(shù) ” , 則 X 的 所 有 可 能 取 值 為 :.30,3,2,1,0 實 例 2 隨 機

11、 變 量 X 為 “ 測 量 某 零 件 尺 寸 時 的 測 量誤 差 ” .則 X 的 取 值 范 圍 為 (a, b) .實 例 1 隨 機 變 量 X 為 “ 燈 泡 的 壽 命 ” .).,0 (2)連 續(xù) 型 隨 機 變 量 所 取 的 可 能 值 可 以 連 續(xù) 地 充滿 某 個 區(qū) 間 ,叫 做 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 .則 X 的 取 值 范 圍 為 1.2 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 對 于 隨 機 變 量 X, 我 們 不 僅 要 知 道 X 取 哪 些 值 , 要 知 道 X 取 這 些 值 的 概 率 ; 而 且 更 重 要 的 是 想 知道 X 在 任 意

12、 有 限 區(qū) 間 (a,b)內(nèi) 取 值 的 概 率 . 21 xXxP 12 xXPxXP )( 2xF )( 1xF 21 xXxP 分 布函 數(shù) ).()( 12 xFxF ?例 如 .,( 21 內(nèi) 的 概 率落 在 區(qū) 間求 隨 機 變 量 xxX1. 概 念 的 引 入 2.分 布 函 數(shù) 的 定 義 . )( ,的 分 布 函 數(shù)稱 為 函 數(shù)是 任 意 實 數(shù)是 一 個 隨 機 變 量設定 義 X xXPxF xX 記 作 X F(x) 或 FX(x).如 果 將 X看 作 數(shù) 軸 上 隨 機 點 的 坐 標 ,則 分 布 函 數(shù) F(x)的 值 就 表 示 X落 在 區(qū) 間 -

13、, x的 概 率 . ( ) F x P X x x0 xX 問 ： 在 上 式 中 ， X, x 皆 為 變 量 . 二 者 有 什么 區(qū) 別 ？ x 起 什 么 作 用 ？ F(x) 是 不 是 概 率 ？X是 隨 機 變 量 , x是 參 變 量 .F(x) 是 r.v X取 值 不 大 于 x 的 概 率 .P a X b P X b P X a ( ) ( )F b F a 對 于 任 意 的 實 數(shù) ， , ( )a b a b 有a b xX 注意事項 (1) .P a X b P X b P X a P X b (2) P a X b P X b P X a P X a (3)

14、 P a X b P X b P X aP X b P X a ( ) ( ).P a X b P X b P X a F b F a 說 明(1) 分 布 函 數(shù) 主 要 研 究 隨 機 變 量 在 某 一 區(qū) 間 內(nèi) 取 值 的 概 率 情 況 .(2) 分 布 函 數(shù) 是 一 個 普 通 的 函 數(shù) ， 正 是 通 過 它 ， 我 們 可 以 用 數(shù) 學 分 析 的 工 具 來 研 究 隨 機 變 量 . (1)0 ( ) 1, ( , );F x x 1 2 1 2(2) ( ) ( ), ( );F x F x x x 證 明 21 xx 由 , 21 xXPxXP 得 ).()(

15、21 xFxF 故 1xX , 2xX ,)( 11 xXPxF 又 ,)( 22 xXPxF (單 調 不 減 性 ),0)(lim)()3( xFF x ;1)(lim)( xFF x3. 分 布 函 數(shù) 的 性 質 (歸 一 性 )(有 界 性 ) ( ) ,F x P X x 0lim)(lim xXPxF xx xo xo證 明 ,越 來 越 小 時當 x, 的 值 也 越 來 越 小xXP 有時因 而 當 ,x .),(X,xx,(X ,xXPx, 內(nèi)必 然 落 在時當 而的 值 也 不 會 減 小增 大 時當同 樣 .1lim)(lim xXPxF xx所 以 ).(),()(l

16、im)4( 000 xxFxFxx即 任 一 分 布 函 數(shù) 處 處 右 連 續(xù) . .,1 , ,0, ,0,0)( 2 212 11 xx xxxp xxp xxF xo )(xF 1x 2x1p 2p 1 反 過 來 ,如 果 一 個 函 數(shù) 具 有 上 述 性 質 ， 則 一 定 是某 個 r.v X 的 分 布 函 數(shù) . 也 就 是 說 ， 性 質 (1)-(4)是 鑒別 一 個 函 數(shù) 是 否 是 某 r.v的 分 布 函 數(shù) 的 充 分 必 要 條 件 . ( ) arctan ( )F x A B x x 試 求 常 數(shù) 。,A B 解 由 分 布 函 數(shù) 的 性 質 ， 有

17、0 lim ( ) lim( arctan )x xF x A B x 2A B 1 lim ( ) lim( arctan )x xF x A B x 2A B 1 12A B ，解 得 例 1 設 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為X 試 說 明 F(x)能 否 是 某 個 r.v 的 分 布 函 數(shù) .例 2 設 有 函 數(shù) F(x) 其 它0 0sin)( xxxF解 注 意 到 函 數(shù) F(x)在 上 下 降 ，不 滿 足 性 質 (1)， 故 F(x)不 能 是 分 布 函 數(shù) .,2 不 滿 足 性 質 (2)， 可 見 F(x)也 不 能 是 r.v 的 分 布 函 數(shù) .

18、或 者 0)(lim)( xFF x 重 要 公 式 ),()()1( aFbFbXaP ).(1)2( aFaXP 利 用 分 布 函 數(shù) 計 算 某 些 事 件 的 概 率 ( 0)P X a F a （ 1） P X a P X a P X a （ 2） ( ) ( 0)F a F a P a X b P X b P X a （ 3） ( ) ( )F b F a ( ) F x P X x X設 是 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) P a X b P X b P X a （ 4） 0F b F a 0F b F a P a X b P X b P X a P a X b P X b

19、 P X a 0 0F b F a （ 5）（ 6） 1 1 ( )P X b P X b F b 1 1 ( 0)P X b P X b F b （ 7）（ 8） 0 00 122( ) 1 2311 2 3121 3xx xF x xxx 例 3 設 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為X試 求 ： 3P X 3P X 1P X 1 2P X 2 4P X 1 3P X 解 3 (3) 1P X F 11 3 (3 0) 12P X F 2 1 1 1 (1) (1 0) 3 2 6P X F F 1 1 1 3 1 ( ) 12 2 4 4P X F 11 12 4 (4 0) (2)

20、 1 12 12P X F F 11 1 51 3 (3 0) (1 0) 12 2 12P X F F 例 4 拋 擲 均 勻 硬 幣 , 令 .,0 ,1 出 反 面出 正 面X1. 求 隨 機 變 量 X 的 分 布 函 數(shù) .解 1 Xp 0 Xp ,210 1 x,0時當 x ,00)( xXPxF2. 隨 機 變 量 X在 區(qū) 間 上 取 值 的 概 率 .1 23（ ， 0 1 x,10 時當 x )( xXPxF 0 XP ;21,1時當 x )( xXPxF 0 XP 1 XP2121 .1 .1,1 ,10,21 ,0,0)( x xxxF得 1 1 1 12. 2 (2)

21、 ( ) 13 3 2 2P X F F 例 5 設 隨 機 變 量 X 的 分 布 函 數(shù) 為20, 0,( ) ,0 1,1, 1,xF x Ax xx 求 常 數(shù) A及 概 率 0.5 0.8P x 解 由 于 分 布 函 數(shù) 是 右 連 續(xù) 的 ， ( )F x 所 以 (1 0) (1)F F ， 又 1A 1(1 0) lim ( ) 1xF F x ， (1)F A可 得 于 是 20, 0,( ) ,0 1,1, 1.xF x x xx 再 由 分 布 函 數(shù) 的 性 質 可 知 2 20.5 0.8 (0.8) (0.5)0.8 0.5 0.39P x F F 解當 x 5

22、時 ， F(x) =1例 6 在 區(qū) 間 2， 5 上 任 意 投 擲 一 個 質 點 ， 以 X 表示 這 個 質 點 的 坐 標 . 設 這 個 質 點 落 在 2, 5中 意小 區(qū) 間 內(nèi) 的 概 率 與 這 個 小 區(qū) 間 的 長 度 成 正 比 ， 試 求 X 的 分 布 函 數(shù) . ( ) 0F x P X x 設 F(x) 為 X 的 分 布 函 數(shù) ，這 是 直 線 上 的 幾 何 概 型 問 題 ， 隨 機 點 落 在 的 任 一 子 區(qū) 間 2,5 , a b上 的 概 率 為 3b aPa X b 0, 22( ) , 2 531, 5xxF x xx 故 2( ) 2

23、3xF x P X x P X x 當 時 ，2 5x ( ) ( ) 0F x P X x P 解 當 時 ，1x 例 8 設 隨 機 變 量 的 分 布 律 為X求 的 分 布 函 數(shù) 。X1 2 3Xkp 1 1 14 2 4 X x X 滿 足 的 的 集 合 為X x 1 2 3 x X 1, 2x x 當 時 ， 滿 足 的 的 取 值 為X x X1 2x 1X 1( ) 1 4F x P X x P X 則2 3x 當 時 ， 滿 足 的 的 取 值 為X x X 1 1 3( ) ( 1 2) 4 2 4F x P X x P X X x2 31 x -1 0 1 2 3 x

24、 當 時 ，3x( ) ( 1 2 3) 1F x P X x P X X X 即 0 11 1 24( ) 3 2 341 3x xF x xx 圖 形 ( )F x13414 21 41Xpk 21 -1 2 34141 o1 1 2 3 x( )F x141躍 ， k kp P X x 其 跳 躍 值 為 分 布 函 數(shù) 在 處 有 跳( 1,2, )kx x k ( )F x 備 用 題 3 2 2 2, ,5 5 3 3A a b B a b 1( )F x 設 與 分 別 為 隨 機 變 量 與 的 分1X2( )F x 2X1 3 1 3, ,2 2 2 2C a b D a b

25、 （ 1998）布 函 數(shù) ， X變 量 的 分 布 函 數(shù) ，應 取 （ ） 。 1 2( ) ( ) ( )F x aF x bF x 為 使 是 某 一 隨 機在 下 列 給 定 的 各 組 數(shù) 值 中A 解 由 分 布 函 數(shù) 的 性 質 ， 有1 21 ( ) lim ( ) ( )xF aF x bF x a b ( ) 1, ( ) 0F F 而 選 項 中 只 有 滿 足 此 條 件 ，A 選 注 意 ： 確 定 分 布 函 數(shù) 中 的 未 知 數(shù) ， 一 般 用及 分 布 函 數(shù) 的 右 連 續(xù) 性 . 所 以 解 ： 2,1,0XX的 所 有 可 能 取 值 為 ：0 XP

26、 315313CC 3522 1 XP 315 12213CCC 35122 XP 315 22113CCC 351練 習 題 F(x) = P(X x)0 XP 3522 1 XP 3512 2 XP 351,0時當 x )( xXPxF 0,10 時當 x )( xXPxF 0 XP 3522,21 時當 x )( xXPxF 0 XP 1 XP3534,2時當 x 1)( xF 故 0, 022, 0 135( ) 34, 1 2351, 2xxF x xx 作 業(yè) .習 題 二 4 2.1 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律 2 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布

27、函 數(shù)2.2 幾 種 重 要 的 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律 2.1 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律說 明 ;,2,1,0)1( kpk .1)2( 1 k kp . .,2,1, , ,),2,1( 的 分 布 律量稱 此 式 為 離 散 型 隨 機 變?yōu)榈?概 率 即 事 件取 各 個 可 能 值 的 概 率所 有 可 能 取 的 值 為設 離 散 型 隨 機 變 量 X kpxXPxX Xkx Xkkkk 定 義 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 律 也 可 表 示 為1 21 2 nnx x xX p p p Xkp nxxx 21 nppp

28、21或圖 示 法 p x1x 2x 1p2po 1 ( 1,2, ),4 nP X n c n 試 求 常 數(shù) c 解 由 隨 機 變 量 分 布 律 的 性 質 ， 1 1 11 4 nn nP X n c 1 141 31 4c c 所 以 3c 例 1 設 隨 機 變 量 的 分 布 律 為X 得 例 2 甲 、 乙 、 丙 三 人 獨 立 射 擊 同 一 目 標 .已 知 三 人擊 中 目 標 的 概 率 依 次 為 0.8， 0.6， 0.5， 用 X 表 示擊 中 目 標 的 人 數(shù) ， 求 X 的 分 布 律 以 及 分 布 函 數(shù) . 解 依 題 意 , X 可 取 值 0,

29、1, 2, 3.設 Ai 分 別 表 示 “甲 、 乙 、 丙 擊 中 目 標 ”,（ i=1,2,3 ）則 A1 、 A2 、 A3 相 互 獨 立 ， 且 1 0.8P A ， 2 0.6P A ， 3 0.5P A ，所 以 0 =P X 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A A A P A P A P A=0.2 0.4 0.5 0.04 2 3 1 3 1 21 2 31P X P A A A A A A A A A 2 3 1 3 1 21 2 3P A A A P A A A P A A A 0.8 0.4 0.5 0.2 0.6 0.5 0.2 0.4 0

30、.5 0.26 3 2 11 2 1 3 2 32P X P A A A A A A A A A 3 2 11 2 1 3 2 3P A A A P A A A P A A A 0.46 1 2 3 1 2 33P X P A A A P A P A P A 0.8 0.6 0.5 0.24 即 X 的 分 布 律 為XP 0 1 2 30.04 0.26 0.46 0.24進 而 X 的 分 布 函 數(shù) 為 0, 0,0.04, 0 1,( ) 0.3, 1 2, 0.76, 2 3,1, 3,x xF x xxx xo)(xF 1 20.20.410.60.8 3 4X 的 分 布 函 數(shù)

31、 的 圖 形 為 xx kk pxXPxF )(分 布 函 數(shù)分 布 律 kk xXPp 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 階 梯 函 數(shù)離 散 型 隨 機 變 量 分 布 律 與 分 布 函 數(shù) 的 關 系 ？.)()( xx xx kkk k xXPpxXPxF 離 散 型 隨 機 變 量 可 完 全 由 其 分 布 律 來 刻 劃 即 離 散 型 隨 機 變 量 可 完 全 由 其 的 可 能 取 值 以 及取 這 些 值 的 概 率 唯 一 確 定 2.2 幾 種 重 要 的 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 律 設 隨 機 變 量 X 只 可 能 取 0與

32、 1兩 個 值 , 它 的 分 布 律 為2.兩 點 分 布 (0-1分 布 ）1.退 化 分 布若 隨 機 變 量 X 取 常 數(shù) 值 C 的 概 率 為 1,即1 )( CXP則 稱 X 服 從 退 化 分 布 . 實 例 1 “拋 硬 幣 ” 試 驗 ,觀 察 正 、 反 兩 面 情況 . 隨 機 變 量 X 服 從 (0-1) 分 布 .,1)(eXX ,0 ,正 面當 e .反 面當 eXkp 0 121 21其 分 布 律 為則 稱 X 服 從 (0-1) 分 布 或 兩 點 分 布 .記 為 XB(1,p)Xkp 0 p1 1p 兩 點 分 布 是 最 簡 單 的 一 種 分 布

33、 ,任 何 一 個 只 有兩 種 可 能 結 果 的 隨 機 現(xiàn) 象 , 比 如 新 生 嬰 兒 是 男 還 是女 、 明 天 是 否 下 雨 、 種 籽 是 否 發(fā) 芽 等 , 都 屬 于 兩 點分 布 .說 明 3. 等 可 能 分 布如 果 隨 機 變 量 X 的 分 布 律 為實 例 拋 擲 骰 子 并 記 出 現(xiàn) 的 點 數(shù) 為 隨 機 變 量 X,Xkp 161 2 3 4 5 661 61 61 61 61則 有 .,)(),( 服 從 均 勻 分 布則 稱其 中 Xjiaa ji Xkp naaa 21 nnn 111 4. 二 項 分 布 ( , )X B n p二 項 分

34、布 1n 兩 點 分 布如 果 隨 機 變 量 的 分 布 律 為X (1 ) ( 0,1, , )k k n knP X k C p p k n 則 稱 隨 機 變 量 服 從 參 數(shù) 為 的 二 項 分 布 ,n pX記 為 0 1p 其 中 二 項 分 布 的 概 率 背 景( ) , ( ) 1P A p P A p q ,X B n p則 設 在 每 次 試 驗 中生 的 次 數(shù) .進 行 重 Bernoulli 試 驗 ，n令 ： 在 這 次 Bernoulli試 驗 中 事 件 發(fā)X A 二 項 分 布 的 圖 形 例 1 在 相 同 條 件 下 相 互 獨 立 地 進 行 5

35、次 射 擊 ,每 次射 擊 時 擊 中 目 標 的 概 率 為 0.6 ,則 擊 中 目 標 的 次 數(shù) X 服 從 B (5,0.6) 的 二 項 分 布 .5)4.0( 44.06.015 32 4.06.025 23 4.06.035 4.06.045 4 56.0Xkp 0 1 2 3 4 5 ?)20,1,0( 20.20,2.0 .1500 , 一 級 品 的 概 率 是 多 少只中 恰 有 只 元 件問只現(xiàn) 在 從 中 隨 機 地 抽 查品 率 為 級已 知 某 一 大 批 產(chǎn) 品 的 一小 時 的 為 一 級 品 用 壽 命 超 過某 種 型 號 電 子 元 件 的 使按 規(guī)

36、定 kk分 析 .2020, 重 伯 努 利 試 驗只 元 件 相 當 于 做檢 查試 驗 否 為 一 級 品 看 成 是 一 次把 檢 查 一 只 元 件 看 它 是例 2 這 是 不 放 回 抽 樣 .但 由 于 這 批 元 件 的 總 數(shù) 很大 , 且 抽 查 元 件 的 數(shù) 量 相 對 于 元 件 的 總 數(shù) 來 說 又 很小 ,因 而 此 抽 樣 可 近 似 當 作 放 回 抽 樣 來 處 理 . 解 ,20 只 元 件 中 一 級 品 的 只 數(shù)記以 X ),.,( 2020BX則 因 此 所 求 概 率 為 .,).().( 2010802020 20 kkkXP kk012.0

37、0 XP 058.01 XP 137.02 XP 205.03 XP 218.04 XP 175.05 XP 109.06 XP 055.07 XP 022.08 XP 007.09 XP 002.010 XP時當 11,001.0 kkXP 圖 示 概 率 分 布 有 一 繁 忙 的 汽 車 站 ,每 天 有 大 量 汽 車 通 過 ,設每 輛 汽 車 在 一 天 的 某 段 時 間 內(nèi) ,出 事 故 的 概 率 為0.0001,在 每 天 的 該 段 時 間 內(nèi) 有 1000 輛 汽 車 通 過 , 問出 事 故 的 次 數(shù) 不 小 于 2的 概 率 是 多 少 ? (1000, 0.00

38、01),X B 9991000 9999.00001.0110009999.01 設 1000 輛 車 通 過 ,出 事 故 的 次 數(shù) 為 X , 則解例 4故 所 求 概 率 為 1012 XPXPXP二 項 分 布 泊 松 分 布)( nnp 4. 泊 松 分 布 ).(, ,! , PX X. kkekXP k記 為布 的 泊 松 分服 從 參 數(shù) 為則 稱是 常 數(shù)其 中值 的 概 率 為 而 取 各 個的 值 為設 隨 機 變 量 所 有 可 能 取0 210 210 泊 松 分 布 的 圖 形 泊 松 分 布 的 背 景二 十 世 紀 初 盧 瑟 福 和 蓋 克 兩 位 科 學

39、家 在 觀 察與 分 析 放 射 性 物 質 放 出 的 粒 子 個 數(shù) 的 情 況 時 ,他們 做 了 2608次 觀 察 (每 次 時 間 為 7.5秒 )發(fā) 現(xiàn) 放 射性 物 質 在 規(guī) 定 的 一 段 時 間 內(nèi) , 其 放 射 的 粒 子 數(shù) X 服 從 泊 松 分 布 . 地 震 在 生 物 學 、 醫(yī) 學 、 工 業(yè) 統(tǒng) 計 、 保 險 科 學 及公 用 事 業(yè) 的 排 隊 等 問 題 中 , 泊 松 分 布 是 常 見 的 .例 如 地 震 、 火 山 爆 發(fā) 、 特 大 洪 水 、 交 換 臺 的 電話 呼 喚 次 數(shù) 等 , 都 服 從 泊 松 分 布 .火 山 爆 發(fā) 特

40、 大 洪 水 電 話 呼 喚 次 數(shù) 交 通 事 故 次 數(shù)商 場 接 待 的 顧 客 數(shù) 在 生 物 學 、 醫(yī) 學 、 工 業(yè) 統(tǒng) 計 、 保 險 科 學 及公 用 事 業(yè) 的 排 隊 等 問 題 中 , 泊 松 分 布 是 常 見 的 .例 如 地 震 、 火 山 爆 發(fā) 、 特 大 洪 水 、 交 換 臺 的 電話 呼 喚 次 數(shù) 等 , 都 服 從 泊 松 分 布 . Poisson定 理 設 在 Bernoulli試 驗 中 ，代 表 事 件 在 試 驗 中 發(fā) 生 的 概 率 ，A數(shù) 有 關 。n lim 1 kn kk kn n nn C p p ek ！則 np以它 與 試

41、驗 總lim 0nn np 若 二 項 分 布 泊 松 分 布n很 大 , p 很 小Poisson定 理 的 應 用np 令 則 有 1 n kk knP X k C p p !k ek 設 1000 輛 車 通 過 ,出 事 故 的 次 數(shù) 為 X , 則可 利 用 泊 松 定 理 計 算 ,1.00001.01000 所 求 概 率 為 9991000 9999.00001.0110009999.01 .0047.0!1e1.0!0e1 1.01.0 解 2 XP 1012 XPXPXP ),0001.0,1000( bX例 4 有 一 繁 忙 的 汽 車 站 , 每 天 有 大 量 汽

42、 車 通 過 ,設 每 輛 汽 車 ,在 一 天 的 某 段 時 間 內(nèi) 出 事 故 的 概 率為 0.0001,在 每 天 的 該 段 時 間 內(nèi) 有 1000 輛 汽 車 通過 ,問 出 事 故 的 次 數(shù) 不 小 于 2的 概 率 是 多 少 ? 例 5 設 每 次 射 擊 命 中 目 標 的 概 率 為 700 0.01，X B 700 0.01 7 用 Poisson分 布 近 似 計 算0.01，概 率 （ 用 Poisson分 布 近 似 計 算 ） 。 (練 習 )現(xiàn) 射 擊 700次 ， 求 至 少 命 中 3次 目 標 的進 行 700次 射 擊 可 看 作 是 一 600

43、重 Bernoulli試 驗 ： 700次 射 擊 命 中 目 標 的 次 數(shù)X 解 設 = 700次 射 擊 至 少 命 中 3次 目 標 B 3P B P X 1 3P X 1 0 1 2P X P X P X 27 7 771 7 2e e e 0.970364所 以 5. 幾 何 分 布 若 隨 機 變 量 X 的 分 布 律 為則 稱 X 服 從 幾 何 分 布 .實 例 設 某 批 產(chǎn) 品 的 次 品 率 為 p,對 該 批 產(chǎn) 品 做 有放 回 的 抽 樣 檢 查 , 直 到 第 一 次 抽 到 一 只 次 品 為 止 ( 在 此 之 前 抽 到 的 全 是 正 品 ), 那 么

44、 所 抽 到 的 產(chǎn) 品數(shù) 目 X 是 一 個 隨 機 變 量 , 求 X 的 分 布 律 . ,1, qpXkp k21p qp pqk 1說 明 描 述 某 個 試 驗 “ 首 次 成 功 ” 的 概 率 模 型 . 6.超 幾 何 分 布設 X 的 分 布 律 為 ( 0,1,2, ,min , )m n mM N MnNC CP X m m M nC ， ., 服 從 超 幾 何 分 布則 稱這 里 XNMMmNn 注 ： 1、 一 批 產(chǎn) 品 N個 ， 其 中 M個 次 品 ， 即 次 品 率 p=M/N 進 行 不放 回 抽 樣 ， 連 續(xù) 抽 取 n次 ,次 品 數(shù) 服 從 超

45、幾 何 分 布 2、 如 果 放 回 抽 樣 ， 連 續(xù) 抽 取 n次 ， 則 次 品 數(shù) 服 從 二 項 分 布 B (n,p). 3、 當 一 批 產(chǎn) 品 的 總 數(shù) N很 大 ， 而 抽 取 樣 品 的 個 數(shù) n遠 遠 小 于 N， 則 放 回 抽 樣 與 不 放 回 抽 樣 實 際 上 沒 有 多 大 的 差 別 離散型隨機變量的分布 兩 點 分 布均 勻 分 布二 項 分 布泊 松 分 布幾 何 分 布 二 項 分 布泊 松 分 布 1010 .p,n 兩 點 分 布 1n三 、 小 結超 幾 何 分 布退 化 分 布 例 1 從 一 批 含 有 10件 正 品 及 3件 次 品

46、的 產(chǎn) 品 中 一件 、 一 件 地 取 產(chǎn) 品 .設 每 次 抽 取 時 , 所 面 對 的 各 件產(chǎn) 品 被 抽 到 的 可 能 性 相 等 .在 下 列 三 種 情 形 下 , 分別 求 出 直 到 取 得 正 品 為 止 所 需 次 數(shù) X 的 分 布 律 .(1)每 次 取 出 的 產(chǎn) 品 經(jīng) 檢 定 后 又 放 回這 批 產(chǎn) 品 中 去 在 取 下 一 件 產(chǎn) 品 ;(2)每次 取 出 的 產(chǎn) 品 都 不 放 回 這 批 產(chǎn) 品 中 ;(3)每 次 取 出 一 件 產(chǎn) 品 后 總 以 一 件 正品 放 回 這 批 產(chǎn) 品 中 .附 加 題 ,13101 XP ,13101332 X

47、P ,13101333 2XP 1310133 1 k故 X 的 分 布 律 為Xp k3211310 1310133 1310133 2 解 ,(1) X 所 取 的 可 能 值 是 ,1 ,2 ,3,1310133 1 kkXP ., (2) 若 每 次 取 出 的 產(chǎn) 品 都 不 放 回 這 批 產(chǎn) 品 中 時 ,13101 XP ,12101332 XP,11101221333 XP ,10101111221334 XPXp故 X 的 分 布 律 為 43211310 1210133 1110122133 111122133 X 所 取 的 可 能 值 是 ,1 ,2 ,3 .4 (3

48、) 每 次 取 出 一 件 產(chǎn) 品 后 總 以 一 件 正 品 放 回 這 批 產(chǎn) 品 中 . ,13101 XP ,12111332 XP,13121321333 XP ,13131311321334 XP故 X 的 分 布 律 為Xp 43211310 1311133 1312132133 131132133 X 所 取 的 可 能 值 是 ,1 ,2 ,3 .4 例 3 (人 壽 保 險 問 題 )在 保 險 公 司 里 有 2500個 同 年齡 同 社 會 階 層 的 人 參 加 了 人 壽 保 險 ,在 每 一 年 里每 個 人 死 亡 的 概 率 為 0.002,每 個 參 加 保

49、 險 的 人 在 1月 1日 付 12元 保 險 費 ,而 在 死 亡 時 ,家 屬 可 在 公 司 里領 取 2000元 .問 (1)保 險 公 司 虧 本 的 概 率 是 多 少 ? (2) 保 險 公 司 獲 利 不 少 于 一 萬 元 的 概 率 是 多 少 ? 保 險 公 司 在 1月 1日 的 收 入 是 250012=30000元解 設 X表 示 這 一 年 內(nèi) 的 死 亡 人 數(shù) ,則)002.0,2500( BX 保 險 公 司 這 一 年 里 付 出 2000X元 .假 定 2000X30000,即 X 15人 時 公 司 虧 本 .于 是 ,P公 司 虧 本 =P X 1

50、5=1-PX3 . 2 YP .2720因 而 有設 Y 表 示 3次 獨 立 觀 測 中 觀 測 值 大 于 3的 次 數(shù) ,則 2 3, .3Y B 3213223 2 03 3213233 3)( XPAP由 于 ,32d3153 x , 0,( ) 0, 0.0 ,. x Xe xf x xX 定 義 設 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為其 中 為 常 數(shù) 則 稱 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù)分 布 2 指 數(shù) 分 布 （ Exponential Distribution） 概 率 密 度 的 驗 證 設 隨 機 變 量 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ，X

51、 0 0( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx （ 2） 0 xe dx 0 1xe ( ) 0f x （ 1） 對 任 意 的 ， 有x由 此 可 知 0( ) 0 0 xe xf x x 是 一 概 率 密 度 。( )f x 是 其 密 度 函 數(shù) ， 則 某 些 元 件 或 設 備 的 壽 命 服 從 指 數(shù) 分 布 .例 如無 線 電 元 件 的 壽 命 , 電 力 設 備 的 壽 命 , 動 物 的 壽命 等 都 服 從 指 數(shù) 分 布 .應 用 與 背 景分 布 函 數(shù) .0,0 ,0,1)( xxexF x 剛 好 在 你 之 前 走 進 公 用 電 話

52、 亭 ， 101 0100 0 xe xf x x 例 4 設 打 一 次 電 話 所 用 的 時 間 （ 單 位 ：X 解 的 概 率 密 度 為X 1/10 分 ） 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 。 10 20求 你 等 待若 某 人分 鐘 的 概 率 。 ( ) 10 20P B P X 則 20 1010 110 xe dx 2010 10110 xe1 2 0.2325e e 令 = 等 待 時 間 為 1020分 鐘 B 例 5 設 某 類 日 光 燈 管 的 使 用 壽 命 X 服 從 參 數(shù) 為=1/2000的 指 數(shù) 分 布 (單 位 :小 時 )(1)任 取 一

53、只 這 種 燈 管 , 求 能 正 常 使 用 1000小 時 以上 的 概 率 . (2) 有 一 只 這 種 燈 管 已 經(jīng) 正 常 使 用 了 1000 小 時 以上 ,求 還 能 使 用 1000小 時 以 上 的 概 率 . ., ,)( 00 01 20001 xxexF xX 的 分 布 函 數(shù) 為解 1000)1( XP 10001 XP )1000(1 F .607.021 e 10002000)2( XXP 1000 1000,2000 XP XXP 1000 2000 XP XP 10001 20001 XP XP )1000(1 )2000(1 FF .607.021

54、e指 數(shù) 分 布 的 重 要 性 質 :“無 記 憶 性 ” . 3.3 正 態(tài) 分 布 (或 高 斯 分 布 )22( )2 21( ) , ,2 , ( 0) , , ( , ).x Xf x e x X X N 定 義 設 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為其 中 為 常 數(shù) 則 稱 服 從 參 數(shù) 為的 正 態(tài) 分 布 或 高 斯 分 布 記 為 正 態(tài) 概 率 密 度 函 數(shù) 的 幾 何 特 征;)1( 對 稱曲 線 關 于 x 1(2) , ( ) ; 2x f x 當 時 取 得 最 大 值(3) , ( ) 0;x f x 當 時 ;)4( 處 有 拐 點曲 線

55、 在 x ; ,)( ,)6( 軸 作 平 移 變 換著 只 是 沿圖 形 的 形 狀 不 變 的 大 小 時改 變當 固 定xxp ;)5( 軸 為 漸 近 線曲 線 以 x . , )(,)7(圖 形 越 矮 越 胖 越 大圖 形 越 高 越 瘦越 小而 形 狀 在 改 變不 變 圖 形 的 對 稱 軸的 大 小 時改 變當 固 定 xp 正 態(tài) 分 布 的 分 布 函 數(shù) texF x t d21)( 2 22 )( 正 態(tài) 分 布 是 最 常 見 最 重 要 的 一 種 分 布 ,例 如測 量 誤 差 ; 人 的 生 理 特 征 尺 寸 如 身 高 、 體 重 等 ;正 常 情 況 下

56、 生 產(chǎn) 的 產(chǎn) 品 尺 寸 :直 徑 、 長 度 、 重 量高 度 等 都 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 ;學 生 的 考 試 成 績 等 .正 態(tài) 分 布 的 應 用 與 背 景 可 以 證 明 ，的 影 響 ， 如 果 一 個 隨 機 指 標 受 到 諸 多 因 素但 其 中 任 何 一 個 因 素 都 不 起 決 定 性 作 用 ，則 該 隨 機 指 標 一 定 服 從 或 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 。正 態(tài) 分 布 可 以 作 為 許 多 分 布 的 近 似 分 布 。許 多 分 布 所 不 具 備 的 。正 態(tài) 分 布 有 許 多 良 好 的 性 質 ， 這 些 性 質 是

57、 其 它 正 態(tài) 分 布 下 的 概 率 計 算 txF x t de21)( 2 22 )( xXP ? 原 函 數(shù) 不 是初 等 函 數(shù)方 法 :轉 化 為 標 準 正 態(tài) 分 布 查 表 計 算 ).1,0(, ,1,0),( 2 NN 記 為態(tài) 分 布的 正 態(tài) 分 布 稱 為 標 準 正 這 樣時中 的當 正 態(tài) 分 布 標 準 正 態(tài) 分 布 的 概 率 密 度 表 示 為 ,21)( 22 xex x2. 標 準 正 態(tài) 分 布標 準 正 態(tài) 分 布 的 分 布 函 數(shù) 表 示 為 .,d21)( 22 xtex x t 標 準 正 態(tài) 分 布 的 圖 形 .225.1),1,0

58、( XPNX 求已 知解 225.1 XP )25.1()2( 8944.09772.0 例 6 . 0828.0 x x( )x( ) x P X x 當 時 ， 查 表 得0 x若 要 求 時 的 概 率 ， 可 利 用 上 述 公 式 。0 x( ) x P X x 1 P X x P X x 1 ( )x 由 分 布 函 數(shù) 的 定 義 及 標 準 正 態(tài) 分 布 圖 形 的 對 稱 性 可 知即 ( ) 1 ( )x x 例 7 設 , 試 求(0,1)X N (1) 1 2 (2) 1 2P X P X 1 2P X 解 （ 1） 0.9772 0.8413 0.1359 1 2P

59、 X （ 2） (2) 1 (1) 0.9772 1 0.8413 0.8185 (2) (1) (2) ( 1) 一 般 正 態(tài) 分 布 的 計 算引 理 若 , 則2 ( , )X N (0,1)XY N證 ( ) Y XF y P Y y P y P X y 22212 tye dt 令 tu 代 入 上 式 得 221( ) 2 y uYF y e du ( )y所 以 (0,1)XY N ( ) XF x P X x ( )X x xP 由 此 得其 中 是 標 準 正 態(tài) 分 布 的 分 布 函 數(shù) 。( )x ( ) ( )b aP a X b ,a b a b對 任 意 的 常

60、 數(shù) ， 若 例 8 設 ， 試 求(2,9)X N (1) 1 5 (2) 2 6 (3) 0P X P X P X 解 （ 1） 1 5P X 5 2 1 2( ) ( )3 3 1(1) 3 1(1) 13 0.8413 0.6293 1 0.4706 (5) (1)F F 2 6P X （ 2） 1 6 2 6P X 1 4 8P X 8 2 4 21 ( ) ( )3 3 1 2 2 2 1 2 2 1 0.9772 0.0456 1 2 6P X 0P X （ 3） 0 21 ( )3 21 3 2 0.74863 1 0P X 解 P(X h)0.01或 P(X h) 0.99，

61、下 面 我 們 來 求 滿 足 上 式 的 最 小 的 h .看 一 個 應 用 正 態(tài) 分 布 的 例 子 : 例 9 公 共 汽 車 車 門 的 高 度 是 按 男 子 與 車 門 頂頭 碰 頭 機 會 在 0.01 以 下 來 設 計 的 .設 男 子 身 高 XN(170,62), 問 車 門 高 度 應 如 何 確 定 ? 設 車 門 高 度 為 h cm,按 設 計 要 求 因 為 X N(170,62),故 P(X h)=6170h因 而 = 2.33,即 h=170+13.98 184 設 計 車 門 高 度 為184厘 米 時 ， 可 使男 子 與 車 門 碰 頭機 會 不

62、超 過 0.01. P(X0.99 標 準 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 點 0,1 ,X N設 若 數(shù) 滿 足 條 件u ,0 1P X u 則 稱 點 為u 標 準 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 點 .)(x 1 u u uu 1 1P X u 1 P X u 1 P X u P X u 由 ， 1P X u 0.0250.025,1 0.975, 1.96,如 查 表 知 u 利 用 附 表 3可 查 得 u的 值 分 布 函 數(shù) 概 率 密 度三 、 小 結2. 常 見 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布 x ttpxF d)()(.連 續(xù) 型 隨 機 變 量1 均 勻 分 布

63、正 態(tài) 分 布 (或 高 斯 分 布 )指 數(shù) 分 布作 業(yè) :習 題 二 12,16,17(2,3),19 Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich GaussGauss 4.1 離 散 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 分 布 律4.2 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 概 率 密 度 4 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 概 率 分 布 在 實 際 問 題 中 往 往

64、需 要 討 論 隨 機 變 量 的 函 數(shù)的 變 化 規(guī) 律 .例 如 某 影 劇 院 每 次 演 出 所 售 出 的 門 票數(shù) 是 一 個 隨 機 變 量 ,而 票 房 收 入 就 是 售 出 門 票 數(shù) 的函 數(shù) ,也 是 隨 機 變 化 的 ;本 節(jié) 就 是 要 研 究 這 類 隨 機變 量 的 分 布 問 題 ).(, ,)( ,)( XfYX Yxfy xXYx Xxf 記 作的 函 數(shù)變 量 為 隨 機則 稱 隨 機 變 量的 值的 值 而 取 取 值隨 著若 隨 機 變 量的 集 合 上 的 函 數(shù) 的 一 切 可 能 值是 定 義 在 隨 機 變 量設問 題 ?)( 的 分 布

65、求 得 隨 機 變 量 的 分 布如 何 根 據(jù) 隨 機 變 量 XfY X定 義 4.1 離 散 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 分 布 律 Y 的 可 能 值 為 ;2,1,0,)1( 2222即 0, 1, 4.解 000 2 XPXPYP ,41.2 的 分 布 律求 的 分 布 律 為設 XY X Xp 2101 41414141例 1 )1()1(11 2 XXPXPYP 11 XPXP ,214141 244 2 XPXPYP ,41 故 Y 的 分 布 律 為 Yp 410 412141由 此 歸 納 出 離 散 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 分 布 的 求 法 . 離 散

66、型 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 的 分 布的 分 布 律 為若也 是 離 散 型 隨 機 變 量 其 函 數(shù)是 離 散 型 隨 機 變 量如 果 X XgYX . )(, Xkp kxxx 21 kppp 21 的 分 布 律 為則 )(XgY kp )(XgY kppp 21 )()()( 21 kxgxgxg .,)( 合 并應 將 相 應 的中 有 值 相 同 的若 kk pxg Y 的 分 布 律 為Yp 4 121 21Xkp 21161 62 63例 2 設 .52 的 分 布 律求 XY解 4.2 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 概 率 密 度 ( )Xf x 設 是 一 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ，X設 是 的 函 數(shù) ，( )Y g X X續(xù) 型 的 隨 機 變 量 。 ( )Yf y( )Y g X要 求 的 概 率 密 度 其 概 率 密 度 為Y假 設 也 是 連 解 題 思 路（ 1） 先 求 的 分 布 函 數(shù)( )Y g X ( )YF y P Y y （ 2） 利 用 的 分 布 函 數(shù) 與 概 率 密 度 之( )Y g X Y Yf y F