（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)《第11講　函數(shù)與方程》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎(chǔ)達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．(2011·南通無錫調(diào)研)已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________. 解析　設(shè)f(x)＝2x＋x－10，則由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零點在(2,3)內(nèi)． 答案　2 2．(2011·山東省濟寧模擬)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足________(與零的關(guān)系)． 解析　因為f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝

2、0，即f(x0)＜0. 答案　f(x0)＜0 3．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點為2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________． 解析　由f(x)＝ax＋b有零點2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零點x＝0和x＝－. 答案　0，－ 4．設(shè)函數(shù)y(x)＝x－ln x(x＞0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)，(1，＋∞)內(nèi)的零點個數(shù)分別為________． 解析　設(shè)y＝x與y＝ln x，作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點，在(1，＋∞)內(nèi)僅有兩個零點． 答案　0,2 5．(2011·常州模擬

3、)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________． 解析　∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系知∴ ∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0， 即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0， 解集為. 答案　 6．(2011·山東省菏澤測試)設(shè)函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－log4x的零點個數(shù)為________． 解析　設(shè)y＝f(x)與y＝log4 x，分別畫出它們的圖象，得恰有3個交點，所以函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為3.

4、 答案　3 7．(2010·南通調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　畫出圖象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)與y＝m的圖象的交點有3個，∴0＜m＜1. 答案　(0,1) 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當a＝0時，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點． (2)當a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等

5、實根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 綜上，當a＝0或a＝－時，函數(shù)僅有一個零點． 9．關(guān)于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩實根，且一個大于4，一個小于4，求實數(shù)m的取值范圍． 解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14， 依題意得或即 或解得－＜m＜0， 即實數(shù)m的取值范圍是. 10．(★)已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點． 思路分析　由題意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0僅有一個實根，再利用換元法求解． 解　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅

6、有一個實根． 設(shè)2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋1＝0. 當Δ＝0時，即m2－4＝0， ∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合題意． 當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2時， t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根， 即f(x)有兩個零點或沒有零點． ∴這種情況不符合題意． 綜上可知：m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為x＝0. 【點評】 方程的思想是與函數(shù)思想密切相關(guān)的，函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，本題就是函數(shù)的零點的問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題． B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：

7、60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·蘇州模擬)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間為[0，a](a＞0)上是單調(diào)，函數(shù)，且f(0)·f(a)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個數(shù)是________． 解析　由f(0)·f(a)＜0，且f(x)在[0，a](a＞0)上單調(diào)，知f(x)＝0在[0，a]上有一根，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝0在[－a,0]上也有一根．所以f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)有兩個根． 答案　2 2．(2010·南通調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a.若存在x0∈R，使得f(x0)＜0與g(x0)＜0同時

8、成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　g(x)＝ax－2a＝a(x－2)， 當a＜0時，x＞2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7，舍去； 當a＞0時，x＜2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7. 綜上，a∈(7，＋∞)． 答案　(7，＋∞) 3．(2010·南通模擬)如果函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一個零點是0，則另一個零點是________． 解析　依題意知：m＝－2. ∴f(x)＝x2－2x， ∴方程x2－2x＝0的另一個根為2，即另一個零點是2. 答案　2 4．(2011·鹽城市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝1＋x－＋－＋…＋

9、，g(x)＝1－x＋－＋－…－，設(shè)F(x)＝f(x＋3)·g(x－3)，且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間[a，b](a＜b，a，b∈Z)內(nèi)，則b－a的最小值為________． 解析　由f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2 010＝，則f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0，從而f(x)的零點在(－1,0)上；同理g(x)為減函數(shù)，零點在(1,2)上，∴F(x)的零點在(－4，－3)和(4,5)上，要區(qū)間[a，b]包含上述區(qū)間(b－a)min＝9. 答案　9 5．(2011·南京模擬)若直角坐標平面內(nèi)兩點P、Q滿足條件： ①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；

10、 ②P、Q關(guān)于原點對稱，則稱點對(P，Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P，Q)與(Q，P)看作同一個“友好點對”)． 已知函數(shù)f(x)＝ 則f(x)的“友好點對”有________個． 解析　根據(jù)題意：“友好點對”，可知，只須作出 函數(shù)y＝2x2＋4x＋1(x＜0)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象， 看它與函數(shù)y＝(x≥0)交點個數(shù)即可． 如圖， 觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是：2. 即f(x)的“友好點對”有：2個． 答案　2 6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個零點在(2,3)內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析　因為Δ＝(1－k)2＋

11、4k＝(1＋k)2≥0對一切k∈R恒成立，又k＝－1時，f(x)的零點x＝－1?(2,3)，故要使函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個零點在(2,3)內(nèi)，則必有f(2)·f(3)＜0，即2＜k＜3. 答案　(2,3) 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍． 解　當a＝0時，函數(shù)f(x)＝2x－3的零點x＝?[－1,1]． 當a≠0時，函數(shù)f(x)在[－1,1]上的零點可能有一個與兩個這兩種情況． ①函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上只有一個零點，則有 或 解得

12、1≤a≤5或a＝. ②函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上有兩個零點，則有 或 解得a＜或a≥5. 綜上，得a的取值范圍是∪[5，＋∞)． 8．(1)m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. ①有且僅有一個零點；②有兩個零點且均比－1大； (2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點?方程f(x)＝0有兩個相等實根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1. ②法一　設(shè)f(x)的兩個零點分別為x1，x2， 則x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4. 由題意，知? ? ∴－5＜m＜－1.故m的取值范圍為(－5，－1)． 法二　由題意，知即 ∴－5＜m＜－1.∴m的取值范圍為(－5，－1)． (2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0， 則|4x－x2|＝－a. 令g(x)＝|4x－x2|， h(x)＝－a. 作出g(x)，h(x)的圖象． 由圖象可知，當0＜－a＜4， 即－4＜a＜0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點， 即f(x)有4個零點．故a的取值范圍為(－4,0)．