簡明材料力學 chapter 彎曲變形

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1、會計學1簡明材料力學簡明材料力學 chapter 彎曲變形彎曲變形第七章第七章第七章第七章 彎曲變形彎曲變形彎曲變形彎曲變形 (Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)7-17-1 基本概念及工程實例基本概念及工程實例基本概念及工程實例基本概念及工程實例（Basic concepts and example problems)Basic concepts and example problems)7-47-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 (Beam deflecti

2、ons by superposition)(Beam deflections by superposition)7-37-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形（Beam deflection by integration)Beam deflection by integration)7-27-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程（Differential Differential equation of the deflection curve)equation of the deflection curve)第1頁/共7

3、2頁7-57-5 靜不定梁的解法靜不定梁的解法靜不定梁的解法靜不定梁的解法(Solution methods(Solution methods for s for statically indeterminate beams)tatically indeterminate beams)7-7-6 6 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施(The measures to strengthen rigidity)(The measures to strengthen rigidity)第2頁/共72頁 7-17-1 基本概念及工程實例基本概念及工程實例基本概念及

4、工程實例基本概念及工程實例（Basic concepts and example problemsBasic concepts and example problems）一、工程實例一、工程實例一、工程實例一、工程實例（Example problemExample problem）第3頁/共72頁 但在另外一些情況下但在另外一些情況下但在另外一些情況下但在另外一些情況下,有時卻要求構件具有較大的彈性變有時卻要求構件具有較大的彈性變有時卻要求構件具有較大的彈性變有時卻要求構件具有較大的彈性變形形形形,以滿足特定的工作需要以滿足特定的工作需要以滿足特定的工作需要以滿足特定的工作需要.例如例如例如例

5、如,車輛上的板彈簧車輛上的板彈簧車輛上的板彈簧車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形要求有足夠大的變形要求有足夠大的變形要求有足夠大的變形,以緩解車輛受以緩解車輛受以緩解車輛受以緩解車輛受到的沖擊和振動作用到的沖擊和振動作用到的沖擊和振動作用到的沖擊和振動作用.第4頁/共72頁1.1.1.1.撓度撓度撓度撓度（Deflection Deflection）二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念（Basic conceptsBasic concepts）w撓度撓度CCAB w x 橫截面形心橫截面形心橫截面形心橫截面形心 C C（即軸線上的點）在垂直于（即軸線上的點）在垂直于（即軸線上的點）

6、在垂直于（即軸線上的點）在垂直于 x x 軸方向的線位軸方向的線位軸方向的線位軸方向的線位移移移移,稱為該截面的撓度稱為該截面的撓度稱為該截面的撓度稱為該截面的撓度.用用用用w w表示表示表示表示.第5頁/共72頁2.2.2.2.轉角轉角轉角轉角 （SlopeSlope）轉角轉角 ACCwB xw撓度撓度（橫截面對其原來位置的角位移橫截面對其原來位置的角位移橫截面對其原來位置的角位移橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉角稱為該截面的轉角稱為該截面的轉角稱為該截面的轉角.用用用用 表示表示表示表示第6頁/共72頁3.3.3.3.撓曲線撓曲線撓曲線撓曲線 （Deflection curveD

7、eflection curve）梁變形后的軸線稱為撓曲線梁變形后的軸線稱為撓曲線梁變形后的軸線稱為撓曲線梁變形后的軸線稱為撓曲線 .式中式中式中式中,x x 為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w w 為該點的撓度為該點的撓度為該點的撓度為該點的撓度.撓曲線撓曲線wAB x轉角轉角 w撓度撓度（CC 撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程（equation of deflection curveequation of deflection curve）為為為為第7頁/共72頁4.4.4.4.撓度與轉角的關系

8、撓度與轉角的關系撓度與轉角的關系撓度與轉角的關系（Relationship betweenRelationship between deflection deflection and slopeand slope）：）：）：）：wAB x轉角轉角 w撓度撓度CC撓曲線撓曲線第8頁/共72頁5.5.5.5.撓度和轉角符號的規(guī)定撓度和轉角符號的規(guī)定撓度和轉角符號的規(guī)定撓度和轉角符號的規(guī)定（Sign convention for deflectionSign convention for deflection and slope and slope）撓度向上為正撓度向上為正撓度向上為正撓度向上為正,

9、向下為負向下為負向下為負向下為負.轉角轉角轉角轉角自自自自x x 轉至切線方向轉至切線方向轉至切線方向轉至切線方向,逆時針轉為正逆時針轉為正逆時針轉為正逆時針轉為正,順時針轉為負順時針轉為負順時針轉為負順時針轉為負.wAB x轉角轉角 w撓度撓度CC撓曲線撓曲線第9頁/共72頁7-27-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程（Differential equation of the deflection curve)Differential equation of the deflection curve)一、推導公式一、推導公式一、推導公式一、推導公式（Deri

10、vation of the formula)Derivation of the formula)1.1.1.1.純彎曲時純彎曲時純彎曲時純彎曲時曲率曲率曲率曲率與彎矩的關系與彎矩的關系與彎矩的關系與彎矩的關系（Relationship between the Relationship between the curvature of beam and the bending momentcurvature of beam and the bending moment）橫力彎曲時橫力彎曲時橫力彎曲時橫力彎曲時,MM 和和和和 都是都是都是都是x x的函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)的函數(shù).略去剪力對梁的位移的影

11、略去剪力對梁的位移的影略去剪力對梁的位移的影略去剪力對梁的位移的影響響響響,則則則則第10頁/共72頁2.2.2.2.由數(shù)學得到平面曲線的曲率由數(shù)學得到平面曲線的曲率由數(shù)學得到平面曲線的曲率由數(shù)學得到平面曲線的曲率（The curvature from the mathematicsThe curvature from the mathematics）第11頁/共72頁 在規(guī)定的坐標系中在規(guī)定的坐標系中在規(guī)定的坐標系中在規(guī)定的坐標系中,x x 軸水平向右軸水平向右軸水平向右軸水平向右為正為正為正為正,w w軸豎直向上為正軸豎直向上為正軸豎直向上為正軸豎直向上為正.曲線向上凸時曲線向上凸時曲線向

12、上凸時曲線向上凸時:OxwxOw 因此因此因此因此,與與與與的正負號相同的正負號相同的正負號相同的正負號相同 曲線向下凸時曲線向下凸時曲線向下凸時曲線向下凸時:第12頁/共72頁 此式稱為此式稱為此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程（differential equation of differential equation of the deflection curvethe deflection curve）(6.5)(6.5)近似原因近似原因近似原因近似原因 :（1 1）略去了剪力的影響略去了剪力的影響略去了剪力的影響

13、略去了剪力的影響;（2 2）略去了略去了略去了略去了 項項項項;（3 3）與與與與 1 1 相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為故上式可近似為故上式可近似為故上式可近似為第13頁/共72頁 7-37-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形 （Beam deflection by integration)Beam deflection by integration)一、微分方程的積分一、微分方程的積分一、微分方程的積分一、微分方程的積分 （Integrating the di

14、fferential equation)Integrating the differential equation)若為等截面直梁若為等截面直梁若為等截面直梁若為等截面直梁,其抗彎剛度其抗彎剛度其抗彎剛度其抗彎剛度EIEI為一常量上式可改寫成為一常量上式可改寫成為一常量上式可改寫成為一常量上式可改寫成第14頁/共72頁 2.2.2.2.再積分一次再積分一次再積分一次再積分一次,得撓度方程得撓度方程得撓度方程得撓度方程（Integrating again gives the equation for the deflectionIntegrating again gives the equati

15、on for the deflection）二、積分常數(shù)的確定二、積分常數(shù)的確定二、積分常數(shù)的確定二、積分常數(shù)的確定（Evaluating the constants of integrationEvaluating the constants of integration）1.1.1.1.邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件（Boundary conditionsBoundary conditions）2.2.2.2.連續(xù)條件連續(xù)條件連續(xù)條件連續(xù)條件（Continue conditionsContinue conditions）1.1.1.1.積分一次得轉角方程積分一次得轉角方程積分一次得轉角方

16、程積分一次得轉角方程（The first integration gives the equation for the slopeThe first integration gives the equation for the slope）第15頁/共72頁AB 在簡支梁中在簡支梁中在簡支梁中在簡支梁中,左右兩鉸支座處的左右兩鉸支座處的左右兩鉸支座處的左右兩鉸支座處的撓度撓度撓度撓度和和和和都等于都等于都等于都等于0.0.在懸臂梁中在懸臂梁中在懸臂梁中在懸臂梁中,固定端處的撓度固定端處的撓度固定端處的撓度固定端處的撓度和轉角和轉角和轉角和轉角都應等于都應等于都應等于都應等于0.0.AB第16頁

17、/共72頁ABxFw w例題例題例題例題1 1 1 1 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI EI 的懸臂梁的懸臂梁的懸臂梁的懸臂梁,在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力 F F 作用作用作用作用.試求梁的撓曲線方程和轉角方程試求梁的撓曲線方程和轉角方程試求梁的撓曲線方程和轉角方程試求梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度并確定其最大撓度并確定其最大撓度并確定其最大撓度 和最大轉角和最大轉角和最大轉角和最大轉角 第17頁/共72頁（1 1）彎矩方程為彎矩方程為彎矩方程為彎矩方程為解：解：解：解：（2 2）撓曲線的近似微分

18、方程為撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為xwABxF 對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分第18頁/共72頁 梁的轉角方程和撓曲線方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為 邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件 將邊界條件代入（將邊界條件代入（將邊界條件代入（將邊界條件代入（3 3 3 3）（）（）（）（4 4 4 4）兩式中）兩式中）兩式中）兩式中,可得可得可得可得第19頁/共72頁BxyAF（）都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截

19、面處都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截面處和和和和（）第20頁/共72頁例題例題例題例題2 2 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI EI 的簡支梁的簡支梁的簡支梁的簡支梁,在全梁上受集度為在全梁上受集度為在全梁上受集度為在全梁上受集度為q q 的的的的均布荷載作用均布荷載作用均布荷載作用均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程試求此梁的撓曲線方程和轉角方程試求此梁的撓曲線方程和轉角方程試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其并確定其并確定其并確定其和和和和ABql l第21頁/共72頁 解解解解:由對稱性可知由對稱性可知由對稱性可知由對稱性可知,梁的兩

20、梁的兩梁的兩梁的兩個支反力為個支反力為個支反力為個支反力為ABql lFRAFRBx 此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為第22頁/共72頁 梁的轉角方程和撓曲線方程梁的轉角方程和撓曲線方程梁的轉角方程和撓曲線方程梁的轉角方程和撓曲線方程分別為分別為分別為分別為 邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件x x=0=0 和和和和 x x=l l時時時時,xABql lFRAFRB A B 在在在在 x x=0=0 和和和和 x x=l l 處轉角的絕對值相等且都是最大值，處轉角的絕對值相等且都是最

21、大值，處轉角的絕對值相等且都是最大值，處轉角的絕對值相等且都是最大值，最大轉角和最大撓度分別為最大轉角和最大撓度分別為最大轉角和最大撓度分別為最大轉角和最大撓度分別為wmax 在在在在梁跨中點處梁跨中點處梁跨中點處梁跨中點處有有有有最大撓度值最大撓度值最大撓度值最大撓度值第23頁/共72頁例題例題例題例題3 3 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為EIEI的簡支梁的簡支梁的簡支梁的簡支梁,在在在在D D點處受一集中力點處受一集中力點處受一集中力點處受一集中力F F的的的的作用作用作用作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程試求此梁的撓曲線方程和轉角方程試求此梁的撓曲線方

22、程和轉角方程試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并求其最大撓度和最大并求其最大撓度和最大并求其最大撓度和最大并求其最大撓度和最大轉角轉角轉角轉角.ABFDabl l第24頁/共72頁解解解解:梁的兩個支反力為梁的兩個支反力為梁的兩個支反力為梁的兩個支反力為FRAFRBABFDabl l12xx 兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的彎矩方程分別為第25頁/共72頁 兩段梁的撓曲線方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為 （a a）（）（）（）（0 0 x x a a）撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程 轉角方程轉角

23、方程轉角方程轉角方程 撓度方程撓度方程撓度方程撓度方程第26頁/共72頁 撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程撓曲線方程 轉角方程轉角方程轉角方程轉角方程 撓度方程撓度方程撓度方程撓度方程 （b b）（）（）（）（a a x x l l ）第27頁/共72頁 D D點的連續(xù)條件點的連續(xù)條件點的連續(xù)條件點的連續(xù)條件 邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件 在在在在 x x=a a 處處處處 在在在在 x x=0=0 處處處處,在在在在 x x=l l 處處處處,代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB第28頁/共72頁 （a a）（）（）（）（0 0 x x a

24、 a）（b b）（）（）（）（a a x x l l ）第29頁/共72頁 將將將將 x x=0=0 和和和和 x x=l l 分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角 當當當當 a a b b 時時時時,右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大右支座處截面的轉角絕對值為最大第30頁/共72頁 簡支梁的最大撓度應在簡支梁的最大撓度應在簡支梁的最大撓度應在簡支梁的最大撓度應在處處處處 先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一

25、段梁,令令令令得得得得 當當當當 a a b b時時時時,x x1 1 a a 最大撓度確實在第一段梁中最大撓度確實在第一段梁中最大撓度確實在第一段梁中最大撓度確實在第一段梁中第31頁/共72頁 梁中點梁中點梁中點梁中點 C C 處的撓度為處的撓度為處的撓度為處的撓度為 結論結論結論結論:在簡支梁中在簡支梁中在簡支梁中在簡支梁中,不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無只要撓曲線上無只要撓曲線上無只要撓曲線上無 拐點拐點拐點拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中點

26、處的撓度值來代替其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度其精確度其精確度其精確度是能滿足工程要求的是能滿足工程要求的是能滿足工程要求的是能滿足工程要求的.第32頁/共72頁 （a a）對各段梁）對各段梁）對各段梁）對各段梁,都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的的外力來寫彎矩方程的的外力來寫彎矩方程的的外力來寫彎矩方程的.所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁所以后一段梁的彎矩方程包含前

27、一段梁的彎矩方程的彎矩方程的彎矩方程的彎矩方程.只增加了只增加了只增加了只增加了(x-ax-a)的項的項的項的項.（b b）對）對）對）對(x-ax-a)的項作積分時的項作積分時的項作積分時的項作積分時,應該將應該將應該將應該將(x-ax-a)項作為積分變量項作為積分變量項作為積分變量項作為積分變量.從而從而從而從而簡化了確定積分常數(shù)的工作簡化了確定積分常數(shù)的工作簡化了確定積分常數(shù)的工作簡化了確定積分常數(shù)的工作.積分法的原則積分法的原則積分法的原則積分法的原則第33頁/共72頁 7474 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 （Beam deflection

28、s by superpositionBeam deflections by superposition ）梁的變形微小梁的變形微小梁的變形微小梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時,梁在幾項荷載梁在幾項荷載梁在幾項荷載梁在幾項荷載(可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力,集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉角同時作用下的撓度和轉角同時作用下的撓度和轉角同時作用下的撓度和轉角,就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓

29、度和轉角的疊加就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加.當當當當每一項荷載所引起的撓度為同一方向每一項荷載所引起的撓度為同一方向每一項荷載所引起的撓度為同一方向每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿如均沿如均沿如均沿w w軸方向軸方向軸方向軸方向),),其轉角其轉角其轉角其轉角是在同一平面內(nèi)是在同一平面內(nèi)是在同一平面內(nèi)是在同一平面內(nèi)(如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面內(nèi)平面內(nèi)平面內(nèi)平面內(nèi))時時時時,則疊加就是代數(shù)和則疊加就是代數(shù)和則疊加就是代數(shù)和則疊加就是代數(shù)和.這就這就這就這就是疊加原理是疊加原理是疊加原理是疊加原理.

30、一、疊加原理一、疊加原理一、疊加原理一、疊加原理 （SuperpositionSuperposition）第34頁/共72頁 1.1.1.1.載荷疊加載荷疊加載荷疊加載荷疊加（Superposition of loadsSuperposition of loads）多個載荷同時作用多個載荷同時作用多個載荷同時作用多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和的代數(shù)和的代數(shù)和的代數(shù)和.2.2.2.

31、2.結構形式疊加（逐段剛化法）結構形式疊加（逐段剛化法）結構形式疊加（逐段剛化法）結構形式疊加（逐段剛化法）第35頁/共72頁 按疊加原理求按疊加原理求按疊加原理求按疊加原理求A A點轉角和點轉角和點轉角和點轉角和C C點點點點撓度撓度撓度撓度.解解解解:（a a）載荷分解如圖載荷分解如圖載荷分解如圖載荷分解如圖（b b）由梁的簡單載荷變形表由梁的簡單載荷變形表由梁的簡單載荷變形表由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形查簡單載荷引起的變形查簡單載荷引起的變形查簡單載荷引起的變形.BqFACaaF=AB+ABq第36頁/共72頁（c c）疊加疊加疊加疊加qFF=+AAABBBCaaq第37頁

32、/共72頁例題例題例題例題4 4 一抗彎剛度為一抗彎剛度為一抗彎剛度為一抗彎剛度為EIEI的簡支梁受荷載如圖所示的簡支梁受荷載如圖所示的簡支梁受荷載如圖所示的簡支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理試按疊加原理試按疊加原理試按疊加原理求梁跨中點的撓度求梁跨中點的撓度求梁跨中點的撓度求梁跨中點的撓度 w wC C和支座處橫截面的轉角和支座處橫截面的轉角和支座處橫截面的轉角和支座處橫截面的轉角 A A ,B B。ABCq qMMe el l第38頁/共72頁 解解解解:將梁上荷載分為兩將梁上荷載分為兩將梁上荷載分為兩將梁上荷載分為兩項簡單的荷載項簡單的荷載項簡單的荷載項簡單的荷載,如圖所示如圖所示如圖所

33、示如圖所示ABCqMMe e(a)l lBAMe(c)l lAq(b)Bl lC CC()()()第39頁/共72頁例題例題例題例題5 5 試試試試利用疊加法利用疊加法利用疊加法利用疊加法,求圖求圖求圖求圖所示抗彎剛度為所示抗彎剛度為所示抗彎剛度為所示抗彎剛度為EIEI的簡支的簡支的簡支的簡支梁跨中點的撓度梁跨中點的撓度梁跨中點的撓度梁跨中點的撓度 w wC C 和兩和兩和兩和兩端截面的轉角端截面的轉角端截面的轉角端截面的轉角 A A ,B B .ABCql ll/2ABCq/2CABq/2q/2 解解解解:可視為正對稱荷載可視為正對稱荷載可視為正對稱荷載可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的

34、疊與反對稱荷載兩種情況的疊與反對稱荷載兩種情況的疊與反對稱荷載兩種情況的疊加加加加.第40頁/共72頁（1 1）正對稱荷載作用下）正對稱荷載作用下）正對稱荷載作用下）正對稱荷載作用下ABCq/2CABq/2q/2（2 2）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下 在跨中在跨中在跨中在跨中C C截面處截面處截面處截面處,撓度撓度撓度撓度 w wC C等于零等于零等于零等于零,但但但但 轉角不等于零且該截面的轉角不等于零且該截面的轉角不等于零且該截面的轉角不等于零且該截面的 彎矩也等于零彎矩也等于零彎矩也等于零彎矩也等于零 可將可將可將可將ACAC段和段和段和段和BC

35、BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為段分別視為受均布線荷載作用且長度為段分別視為受均布線荷載作用且長度為段分別視為受均布線荷載作用且長度為l l /2/2 的簡支梁的簡支梁的簡支梁的簡支梁第41頁/共72頁CABq/2q/2可得到：可得到：可得到：可得到：Bq/2ACq/2將相應的位移進行疊加將相應的位移進行疊加將相應的位移進行疊加將相應的位移進行疊加,即得即得即得即得()()()第42頁/共72頁例題例題例題例題6 6 一抗彎剛度為一抗彎剛度為一抗彎剛度為一抗彎剛度為 EI EI 的外伸梁受荷載如圖所示的外伸梁受荷載如圖所示的外伸梁受荷載如圖所示的外伸梁受荷載如圖所示,試按疊加原理試按疊加

36、原理試按疊加原理試按疊加原理并利用附表并利用附表并利用附表并利用附表,求截面求截面求截面求截面B B的轉角的轉角的轉角的轉角 B B以及以及以及以及A A端和端和端和端和BCBC中點中點中點中點D D的撓度的撓度的撓度的撓度w wA A 和和和和w wDD .ABCDaa2a2qq第43頁/共72頁解解解解:將外伸梁沿將外伸梁沿將外伸梁沿將外伸梁沿B B截面截成兩截面截成兩截面截成兩截面截成兩段段段段,將將將將AB AB 段看成段看成段看成段看成B B端端端端固定的懸固定的懸固定的懸固定的懸臂梁臂梁臂梁臂梁,BCBC段看成簡支梁段看成簡支梁段看成簡支梁段看成簡支梁.ABCDaa2a2qqBCD

37、q2qa2qAB2qaB B截面兩側的相互作用為：截面兩側的相互作用為：截面兩側的相互作用為：截面兩側的相互作用為：第44頁/共72頁 簡支梁簡支梁簡支梁簡支梁BCBC的受力情況與的受力情況與的受力情況與的受力情況與外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁AC AC 的的的的BCBC段的受力情段的受力情段的受力情段的受力情況相同況相同況相同況相同 由簡支梁由簡支梁由簡支梁由簡支梁BCBC求得的求得的求得的求得的 B B,w wDD就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的的的 B B,w,wDD2qaBCDqqBCDBCD 簡支梁簡支梁簡支梁簡支梁BCBC的變形就是的變形就是的變形就是的變形就是MM

38、B B和均布荷載和均布荷載和均布荷載和均布荷載q q分別引起變形的分別引起變形的分別引起變形的分別引起變形的疊加疊加疊加疊加.第45頁/共72頁由疊加原理得由疊加原理得由疊加原理得由疊加原理得:DBC2qaBCDqDBC（1 1）求）求）求）求 B B ,w wDD第46頁/共72頁（2 2）求求求求w wA A 由于簡支梁上由于簡支梁上由于簡支梁上由于簡支梁上B B截面的轉動截面的轉動截面的轉動截面的轉動,帶動帶動帶動帶動ABAB段一起作剛體運動段一起作剛體運動段一起作剛體運動段一起作剛體運動,使使使使A A端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度w w1 1 懸臂梁懸臂梁懸臂梁懸臂梁ABA

39、B本身的彎曲變形本身的彎曲變形本身的彎曲變形本身的彎曲變形,使使使使A A端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度w w2 2A2qB2qaAC2qaBDq 因此因此因此因此,A A端的總撓度應為端的總撓度應為端的總撓度應為端的總撓度應為 由表由表由表由表6-16-16-16-1查得查得查得查得第47頁/共72頁二、剛度條件二、剛度條件二、剛度條件二、剛度條件（Stiffness conditionStiffness condition）1.1.1.1.數(shù)學表達式數(shù)學表達式數(shù)學表達式數(shù)學表達式（Mathematical formulaMathematical formula）2.2.2.2.剛

40、度條件的應用剛度條件的應用剛度條件的應用剛度條件的應用（Application of stiffness conditionApplication of stiffness condition）（1 1）校核剛度校核剛度校核剛度校核剛度（Check the stiffness of the beamCheck the stiffness of the beam）（2 2）設計截面尺寸設計截面尺寸設計截面尺寸設計截面尺寸（Determine the allowable load on the beamDetermine the allowable load on the beam）（3 3）求許

41、可載荷求許可載荷求許可載荷求許可載荷 （Determine the required dimensions of the beamDetermine the required dimensions of the beam）是構件的許可撓度和轉角是構件的許可撓度和轉角是構件的許可撓度和轉角是構件的許可撓度和轉角.和和和和第48頁/共72頁例例例例7 7 下圖為一空心圓桿下圖為一空心圓桿下圖為一空心圓桿下圖為一空心圓桿,內(nèi)外徑分別為內(nèi)外徑分別為內(nèi)外徑分別為內(nèi)外徑分別為:d d=40mm=40mm,D D=80mm=80mm,桿的桿的桿的桿的E E=210GPa=210GPa,工程規(guī)定工程規(guī)定工程規(guī)

42、定工程規(guī)定C C點的點的點的點的 w w/L L=0.00001=0.00001,B B點的點的點的點的 =0.001=0.001弧度弧度弧度弧度,試試試試核此桿的剛度核此桿的剛度核此桿的剛度核此桿的剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB第49頁/共72頁解解解解:（1 1 1 1）結構變換結構變換結構變換結構變換,查表求簡查表求簡查表求簡查表求簡單載荷變形單載荷變形單載荷變形單載荷變形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC圖圖2圖圖3

43、+F2BCDAM=圖圖1F1=1kNDC第50頁/共72頁（2 2）疊加求復雜載荷下的變形疊加求復雜載荷下的變形疊加求復雜載荷下的變形疊加求復雜載荷下的變形F2=2kN=+圖圖1圖圖2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC圖圖3F2BDAMACCF2第51頁/共72頁（3 3）校核剛度校核剛度校核剛度校核剛度:（radrad）第52頁/共72頁一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 （Basic conceptsBasic concepts）1.1.1.1.超靜定梁超靜定梁超靜定梁超靜定梁（s s s statically indeterminat

44、e tatically indeterminate beamsbeams）7-57-5 靜不定梁的解法靜不定梁的解法靜不定梁的解法靜不定梁的解法（Solution methods Solution methods forfors s s statically indeterminate beamstatically indeterminate beams）單憑靜力平衡方程不能求出單憑靜力平衡方程不能求出單憑靜力平衡方程不能求出單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁全部支反力的梁全部支反力的梁全部支反力的梁,稱為超靜定梁稱為超靜定梁稱為超靜定梁稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC第53頁

45、/共72頁2.2.2.2.“多余多余多余多余”約束約束約束約束（Redundant constraintRedundant constraint）多于維持其靜力平衡所必需的多于維持其靜力平衡所必需的多于維持其靜力平衡所必需的多于維持其靜力平衡所必需的約束約束約束約束3.3.3.3.“多余多余多余多余”反力反力反力反力（Redundant Redundant reactionreaction）“多余多余多余多余”與與與與相應的支座反相應的支座反相應的支座反相應的支座反力力力力FRBABCFFABFRAFRC4.4.4.4.超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)（Degree ofDegree

46、of staticallystatically indeterminate problem indeterminate problem）超靜定梁的超靜定梁的超靜定梁的超靜定梁的“多余多余多余多余”約束約束約束約束的的的的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).n n=未知力的個數(shù)未知力的個數(shù)未知力的個數(shù)未知力的個數(shù) -獨立平衡方程的數(shù)目獨立平衡方程的數(shù)目獨立平衡方程的數(shù)目獨立平衡方程的數(shù)目第54頁/共72頁二、求解超靜定梁的步驟二、求解超靜定梁的步驟二、求解超靜定梁的步驟二、求解超靜定梁的步驟 (procedure for solving a

47、statically (procedure for solving a statically indeterminateindeterminate)1.1.1.1.畫靜定基建立相當系統(tǒng)畫靜定基建立相當系統(tǒng)畫靜定基建立相當系統(tǒng)畫靜定基建立相當系統(tǒng)：將可動絞鏈支座作看將可動絞鏈支座作看將可動絞鏈支座作看將可動絞鏈支座作看多余約多余約多余約多余約束束束束,解除多余約束代之以約束反力解除多余約束代之以約束反力解除多余約束代之以約束反力解除多余約束代之以約束反力 R RB B.得到原超靜定梁的基本靜定系得到原超靜定梁的基本靜定系得到原超靜定梁的基本靜定系得到原超靜定梁的基本靜定系.2.2.2.2.列列列

48、列幾何方程幾何方程幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 超靜定梁在多余約束處的約超靜定梁在多余約束處的約超靜定梁在多余約束處的約超靜定梁在多余約束處的約束條件束條件束條件束條件,梁的梁的梁的梁的 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件ABqqABFRB 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程:變形幾何方程為變形幾何方程為變形幾何方程為變形幾何方程為第55頁/共72頁 3.3.3.3.列列列列物理方程物理方程物理方程物理方程變形與力的關系變形與力的關系變形與力的關系變形與力的關

49、系 查表得查表得查表得查表得qAB將力與變形的關系代入將力與變形的關系代入將力與變形的關系代入將力與變形的關系代入變形幾何方程得補充方程變形幾何方程得補充方程變形幾何方程得補充方程變形幾何方程得補充方程4.4.4.4.建立補充方程建立補充方程建立補充方程建立補充方程BAFRBqABFRB第56頁/共72頁補充方程為補充方程為補充方程為補充方程為由該式解得由該式解得由該式解得由該式解得5.5.5.5.求解其它問題（反力求解其它問題（反力求解其它問題（反力求解其它問題（反力,應力應力應力應力,變形等）變形等）變形等）變形等）qABFRBFRAMA求出該梁固定端的兩個支反力求出該梁固定端的兩個支反力

50、求出該梁固定端的兩個支反力求出該梁固定端的兩個支反力qABBAFRB第57頁/共72頁 代以與其相應的多余反代以與其相應的多余反代以與其相應的多余反代以與其相應的多余反力偶力偶力偶力偶 MMA A 得基本靜定系得基本靜定系得基本靜定系得基本靜定系.變形相容條件為變形相容條件為變形相容條件為變形相容條件為 請同學們自行完成請同學們自行完成請同學們自行完成請同學們自行完成 ！方法二方法二方法二方法二 取支座取支座取支座取支座 A A 處阻止梁轉動處阻止梁轉動處阻止梁轉動處阻止梁轉動的約束為多余約束的約束為多余約束的約束為多余約束的約束為多余約束.ABqlABqlMA第58頁/共72頁例題例題例題例

51、題8 8 梁梁梁梁ACAC如圖所示如圖所示如圖所示如圖所示,梁的梁的梁的梁的A A端用一鋼桿端用一鋼桿端用一鋼桿端用一鋼桿ADAD與梁與梁與梁與梁ACAC鉸接鉸接鉸接鉸接,在梁受在梁受在梁受在梁受荷載作用前荷載作用前荷載作用前荷載作用前,桿桿桿桿ADAD內(nèi)沒有內(nèi)力內(nèi)沒有內(nèi)力內(nèi)沒有內(nèi)力內(nèi)沒有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成已知梁和桿用同樣的鋼材制成已知梁和桿用同樣的鋼材制成已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材材材材料的彈性模量為料的彈性模量為料的彈性模量為料的彈性模量為E E,鋼梁橫截面的慣性矩為鋼梁橫截面的慣性矩為鋼梁橫截面的慣性矩為鋼梁橫截面的慣性矩為I I,拉桿橫截面的面積為拉桿橫截面的面積為拉

52、桿橫截面的面積為拉桿橫截面的面積為A A,其余尺寸見圖其余尺寸見圖其余尺寸見圖其余尺寸見圖,試求鋼桿試求鋼桿試求鋼桿試求鋼桿ADAD內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力F FNN.a2aABCq2qDl第59頁/共72頁CADBq2qAFNFN A A點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A A點點點點.即即即即解解解解:這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題.將將將將ADAD桿與梁桿與梁桿與梁桿與梁ACAC之間的連結絞看作多余之間的連

53、結絞看作多余之間的連結絞看作多余之間的連結絞看作多余約束約束約束約束.拉力拉力拉力拉力F FNN為多余反力為多余反力為多余反力為多余反力.基本靜定系如圖基本靜定系如圖基本靜定系如圖基本靜定系如圖ADBCq2qFNFNA A1 1第60頁/共72頁變形幾何方程為變形幾何方程為變形幾何方程為變形幾何方程為根據(jù)疊加法根據(jù)疊加法根據(jù)疊加法根據(jù)疊加法A A端的撓度為端的撓度為端的撓度為端的撓度為BCq2qFNBCq2q在例題在例題在例題在例題 中已求得中已求得中已求得中已求得可算出可算出可算出可算出:CFNB第61頁/共72頁拉桿拉桿拉桿拉桿 ADAD 的伸長為的伸長為的伸長為的伸長為:補充方程為補充方

54、程為補充方程為補充方程為:由此解得由此解得由此解得由此解得:ADBCq2qFNFN第62頁/共72頁例題例題例題例題 9 9 求圖示梁的支反力求圖示梁的支反力求圖示梁的支反力求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖并繪梁的剪力圖和彎矩圖并繪梁的剪力圖和彎矩圖并繪梁的剪力圖和彎矩圖.已知已知已知已知 EIEI=5 =5 10 103 3 kNmkNm3 3.4m3m2mABDC30kN20kN/m第63頁/共72頁解解解解:這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題 取支座取支座取支座取支座 B B 截面上的截面上的截面上的截面上的相對轉動約束為多余約束相對轉動約束

55、為多余約束相對轉動約束為多余約束相對轉動約束為多余約束.基本靜定系為在基本靜定系為在基本靜定系為在基本靜定系為在 B B 支支支支座截面上安置鉸的靜定梁座截面上安置鉸的靜定梁座截面上安置鉸的靜定梁座截面上安置鉸的靜定梁,如圖所示如圖所示如圖所示如圖所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m 多余反力為分別作用多余反力為分別作用多余反力為分別作用多余反力為分別作用于簡支梁于簡支梁于簡支梁于簡支梁AB AB 和和和和 BC BC 的的的的 B B端端端端處的一對彎矩處的一對彎矩處的一對彎矩處的一對彎矩 MMB B.變形相容條件為，簡變形相容條件為，簡變形

56、相容條件為，簡變形相容條件為，簡支梁支梁支梁支梁ABAB的的的的 B B 截面轉角和截面轉角和截面轉角和截面轉角和 BCBC梁梁梁梁 B B 截面的轉角相等截面的轉角相等截面的轉角相等截面的轉角相等.MB第64頁/共72頁由表中查得由表中查得由表中查得由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC第65頁/共72頁補充方程為補充方程為補充方程為補充方程為:解得解得解得解得:負號表示負號表示負號表示負號表示B B截面彎截面彎截面彎截面彎矩與假設相反矩與假設相反矩與假設相反矩與假設相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC第

57、66頁/共72頁 由基本靜定系的平衡方程由基本靜定系的平衡方程由基本靜定系的平衡方程由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力 在基本靜定系上繪出剪力圖在基本靜定系上繪出剪力圖在基本靜定系上繪出剪力圖在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖和彎矩圖和彎矩圖和彎矩圖.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.64+-25.6831.8023.281.603m-+第67頁/共72頁 7-6 7-6 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關影響梁彎曲變形

58、的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關,而而而而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關.所以所以所以所以,要想提要想提要想提要想提高彎曲剛度高彎曲剛度高彎曲剛度高彎曲剛度,就應從上述各種因素入手就應從上述各種因素入手就應從上述各種因素入手就應從上述各種因素入手.一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EIEI二、減小跨度或增加支

59、承二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置第68頁/共72頁（1 1）增大梁的抗彎剛度）增大梁的抗彎剛度）增大梁的抗彎剛度）增大梁的抗彎剛度EIEI 工程中常采用工字形工程中常采用工字形工程中常采用工字形工程中常采用工字形,箱形截面箱形截面箱形截面箱形截面 為了減小梁的位移為了減小梁的位移為了減小梁的位移為了減小梁的位移,可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施（2 2）調(diào)整跨長和改變結構）調(diào)整跨長和改變結構）調(diào)整跨長和改變結構）調(diào)整跨長和改變結構

60、設法縮短梁的跨長設法縮短梁的跨長設法縮短梁的跨長設法縮短梁的跨長,將能顯著地減小其撓度和轉角將能顯著地減小其撓度和轉角將能顯著地減小其撓度和轉角將能顯著地減小其撓度和轉角.這是提高這是提高這是提高這是提高梁的剛度的一個很又效的措施梁的剛度的一個很又效的措施梁的剛度的一個很又效的措施梁的剛度的一個很又效的措施.第69頁/共72頁 橋式起重機的鋼梁通常采用橋式起重機的鋼梁通常采用橋式起重機的鋼梁通常采用橋式起重機的鋼梁通常采用兩端外伸的結構就是為了縮短跨兩端外伸的結構就是為了縮短跨兩端外伸的結構就是為了縮短跨兩端外伸的結構就是為了縮短跨長而減小梁的最大撓度值長而減小梁的最大撓度值長而減小梁的最大撓

61、度值長而減小梁的最大撓度值.ABql l 同時同時同時同時,由于梁的外伸部分的自由于梁的外伸部分的自由于梁的外伸部分的自由于梁的外伸部分的自重作用重作用重作用重作用,將使梁的將使梁的將使梁的將使梁的ABAB跨產(chǎn)生向上跨產(chǎn)生向上跨產(chǎn)生向上跨產(chǎn)生向上的撓度的撓度的撓度的撓度,從而使從而使從而使從而使ABAB跨向下的撓度跨向下的撓度跨向下的撓度跨向下的撓度能夠被抵消一部分能夠被抵消一部分能夠被抵消一部分能夠被抵消一部分,而有所減小而有所減小而有所減小而有所減小.qqABl l 增加梁的支座也可以減小梁增加梁的支座也可以減小梁增加梁的支座也可以減小梁增加梁的支座也可以減小梁的撓度的撓度的撓度的撓度.第70頁/共72頁第71頁/共72頁