（課標通用版）高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關系檢測 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、第3講 空間點、直線、平面之間的位置關系 [基礎題組練] 1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 解析：選C.若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面矛盾． 2．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是(　　) A．空間四邊形　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：選B. 如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形． 因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點， 所以EF∥

2、AC. 又FG∥BD， 所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角． 而AC與BD所成的角為90°， 所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形． 3．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若直線a，b相交，設交點為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件． 4．(20

3、19·廣州市高中綜合測試(一))在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，AB＝CD，AB⊥CD，則異面直線EF與AB所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.取BD的中點O，連接OE，OF，因為E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，AB＝CD，所以EO∥AB，OF∥CD，且EO＝OF＝CD，又AB⊥CD，所以EO⊥OF，∠OEF為異面直線EF與AB所成的角，由△EOF為等腰直角三角形，可得∠OEF＝，故選B. 5．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關系是_______________________

4、_________________________________． 解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因為AC∥A′C′， 所以MN∥A′C′. 答案：平行 6．給出下列四個命題： ①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點； ②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交； ③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面； ④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面． 其中真命題的序號是________． 解析：①正確，因為直線在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點．②正確，a，b有交點，則兩平面有公共點，則兩平面相交．③

5、正確，兩平行直線可確定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點在這兩平行直線上，所以過這兩交點的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點，但不在同一平面內(nèi)． 答案：①②③ 7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1、H、O三點共線． 證明：如圖，連接BD，B1D1， 則BD∩AC＝O， 因為BB1綊DD1， 所以四邊形BB1D1D為平行四邊形， 又H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 則H∈平面BB1D1D， 因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1， 所以H∈OD1.

6、即D1、H、O三點共線． 8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中， (1)求AC與A1D所成角的大??； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。? 解：(1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． 因為AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1. 因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1

7、C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. [綜合題組練] 1．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(　　) A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC 解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β， 又因為D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以點D在平面ABC與平面β的交線上． 又因為C∈平面ABC，C∈β， 所以點C在平面β與平面ABC的交線上， 所以平面ABC∩平面β＝CD. 2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，|AB|＝|BB1|，則AB1與BC1所成角的大小為(　　) A

8、. B. C. D. 解析：選D.將正三棱柱ABC-A1B1C1補為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補角．設|BB1|＝，則|BC|＝|CD|＝2， ∠BCD＝120°，|BD|＝2， 又因為|BC1|＝|C1D|＝，所以∠BC1D＝. 3.(2019·長沙模擬)如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B′，B′C′的中點，G為△ABC的重心．從K，H，G，B′四點中取一點作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為________．　 解析：取A′C′的中點M，連接EM，M

9、K，KF，EF，則EM綊CC′綊KF，得四邊形EFKM為平行四邊形，若取點K為P，則AA′∥BB′∥CC′∥PF，故與平面PEF平行的棱超過2條；因為HB′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，若取點H或B′為P，則平面PEF與平面EFB′A′為同一平面，與平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合題意；連接BC′，則EF∥A′B′∥AB，若取點G為P，則AB，A′B′與平面PEF平行． 答案：G 4．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________． 解析：取圓柱下底面弧

10、AB的另一中點D，連接C1D，AD， 因為C是圓柱下底面弧AB的中點， 所以AD∥BC， 所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點， 所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD， 因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝AD， 所以直線AC1與AD所成角的正切值為， 所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為. 答案： 5.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點． (1)求證：直線EF與BD是異面直線； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角． 解：(1)證明：假

11、設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線． (2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角． 又因為AC⊥BD，則FG⊥EG. 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°. 6.(綜合型)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n. (1)證明：

12、E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？ (3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH. 解：(1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD. 又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG. 所以E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)當EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形． 因為＝＝，所以EH＝BD. 同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n. 故當m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形． (3)證明：當m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角)，因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.