高考數學二輪復習 特訓“2＋1＋2”壓軸滿分練（五）理（重點生含解析）-人教版高三數學試題

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1、“2＋1＋2”壓軸滿分練(五) 1．函數f(x)＝2sin(ω＞0)的圖象在[0,1]上恰有兩個極大值點，則ω的取值范圍為(　　) A．[2π，4π]　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　法一：由函數f(x)在[0,1]上恰有兩個極大值點，及正弦函數的圖象可知ω＋∈，則≤ω＜. 法二：取ω＝2π，則f(x)＝2sin， 由2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z， 則在[0,1]上只有x＝，不滿足題意，排除A、B、D，故選C. 2．過點P(2，－1)作拋物線x2＝4y的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，M兩點，O為坐標原點，則△PEM與

2、△OAB的面積的比值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨令x1＜x2， 則y1＝，y2＝，由y＝x2得y′＝x， 則直線PA的方程為y－y1＝x1(x－x1)， 即y－＝x1(x－x1)，則E， 將P(2，－1)代入得x1－y1＋1＝0， 同理可得直線PB的方程為x2－y2＋1＝0，M， ∴直線AB的方程為x－y＋1＝0， 則AB過定點F(0,1)， S△AOB＝|OF|(x2－x1)＝(x2－x1)， S△PEM＝×1×＝(x2－x1)， ∴＝. 3．在四面體ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，則

3、當四面體的體積最大時，它的外接球半徑R＝________. 解析：當平面ADC與平面BCD垂直時，四面體ABCD的體積最大，因為AD＝AC＝1， 所以可設等腰三角形ACD的底邊CD＝2x，高為h，則x2＋h2＝1， 此時四面體的體積V＝××2x×h2＝x(1－x2)，則V′＝－x2，令V′＝0，得x＝，從而h＝， 則CD＝AB＝，故可將四面體ABCD放入長、寬、高分別為a，b，c的長方體中，如圖， 則解得a2＝c2＝，b2＝，則長方體的體對角線即四面體ABCD的外接球直徑，(2R)2＝a2＋b2＋c2＝，R＝. 答案： 4．已知橢圓?！茫?，過點P(1,1)作斜率互為相反數

4、的兩條不同直線l1，l2，設l1與橢圓Γ交于A，B兩點，l2與橢圓Γ交于C，D兩點． (1)若P(1,1)為AB的中點，求直線l1的方程； (2)記λ＝，求λ的取值范圍． 解：(1)易知直線l1的斜率存在且不為0，設直線AB的斜率為k，則其方程為y－1＝k(x－1)，代入x2＋2y2＝4中， 得x2＋2[kx－(k－1)]2－4＝0， ∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4＝0. 判別式Δ＝[4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4] ＝8(3k2＋2k＋1)＞0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∵AB的中點為P(1,1)，

5、∴(x1＋x2)＝＝1，則k＝－. ∴直線l1的方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. (2)由(1)知|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝. 由題可得直線l2的方程為y－1＝－k(x－1)(k≠0)， 同理可得|CD|＝， ∴λ＝＝ (k≠0)， ∴λ2＝1＋＝1＋. 令t＝3k＋， 則g(t)＝1＋，t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)． 易知g(t)在(－∞，－2 ]，[2，＋∞)上單調遞減， ∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋， 故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋， 即λ∈∪. 5．已知函數f(x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R. (1

6、)當a＝e時，判斷f(x)的單調性； (2)若f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍． 解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 當a＝e時，f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝1， ∴f(x)在(0,1)上為減函數；在(1，＋∞)上為增函數． (2)記t＝ln x＋x，則t＝ln x＋x在(0，＋∞)上單調遞增，且t∈R. ∴f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at. ∴f(x)在x＞0上有兩個零點等價于g(t)＝et－at在t∈R上有兩個零點． ①當a＝0時，g(t)＝et，在R上單調遞增，且g(t)＞0，故g(t)無零點； ②當a

7、＜0時，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上單調遞增，又g(0)＝1＞0， g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一個零點； ③當a＞0時，由g′(t)＝et－a＝0可知g(t)在t＝ln a時有唯一的一個極小值g(ln a)＝a(1－ln a)． 若0＜a＜e，g(t)極小值＝a(1－ln a)＞0，g(t)無零點； 若a＝e，g(t)極小值＝0，g(t)只有一個零點； 若a＞e，g(t)極小值＝a(1－ln a)＜0，而g(0)＝1＞0， 由y＝在x＞e時為減函數，可知 當a＞e時，ea＞ae＞a2，從而g(a)＝ea－a2＞0， ∴g(x)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一個零點． 綜上，當a＞e時，f(x)有兩個零點，即實數a的取值范圍是(e，＋∞)．