高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)“2＋1＋2”壓軸滿分練（四）理（重點(diǎn)生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、“2＋1＋2”壓軸滿分練(四) 1．已知函數(shù)f(x)＝－1－nln x(m>0,0≤n≤e)在區(qū)間[1，e]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A.　　　　 B. C. D． 解析：選A　f′(x)＝－－＝－，當(dāng)n＝0時(shí)，f′(x)＝－＜0，當(dāng)0＜n≤e時(shí)，令f′(x)＝0，則x＝－＜0，所以函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，由函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]內(nèi)有唯一零點(diǎn)， 得即即 或即又m＞0,0≤n≤e， 所以(1)或(2) 所以m，n滿足的可行域如圖(1)或圖(2)中的陰影部分所示，則＝表示點(diǎn)(m，n)與點(diǎn)(－1，－2)所在直線的斜率， 當(dāng)m，n滿足不等

2、式組(1)時(shí)，的最大值在點(diǎn)(1，e)處取得，為＝＋1， 當(dāng)m，n滿足不等式組(2)時(shí)，的最小值在A點(diǎn)處取得，根據(jù)得所以最小值為，故選A. 2．已知P為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B分別位于第一、四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)＝時(shí)，△AOB的面積為2b，則雙曲線C的實(shí)軸長為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 由＝， 得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)， 則x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2， 所以－＝1. 易知點(diǎn)

3、A在直線y＝x上，點(diǎn)B在直線y＝－x上， 則y1＝x1，y2＝－x2， 所以－＝1， 即b22－a22＝a2b2， 化簡可得a2＝x1x2. 由漸近線的對(duì)稱性可得sin∠AOB＝sin 2∠AOx＝＝＝＝， 所以△AOB的面積為|OA||OB|sin∠AOB＝××sin∠AOB ＝ × × ＝x1x2 × × ＝a2×× ＝a2××＝ab＝2b， 得a＝，所以雙曲線C的實(shí)軸長為. 3．已知數(shù)列{an}共16項(xiàng)，且a1＝1，a8＝4.記關(guān)于x的函數(shù)fn(x)＝x3－anx2＋(a－1)x，n∈N*.若x＝an＋1(1≤n≤15)是函數(shù)fn(x)的極值點(diǎn)，且曲線y＝f8(x

4、)在點(diǎn)(a16，f8(a16))處的切線的斜率為15，則滿足條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為________． 解析：fn′(x)＝x2－2anx＋a－1＝[x－(an＋1)][x－(an－1)]，令fn′(x)＝0，得x＝an＋1或x＝an－1，所以an＋1＝an＋1或an－1＝an＋1(1≤n≤15)，所以|an＋1－an|＝1(1≤n≤15)，又f8′(x)＝x2－8x＋15，所以a－8a16＋15＝15，解得a16＝0或a16＝8， 當(dāng)a16＝0時(shí)，a8－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝3， 得ai＋1－ai(1≤i≤7，i∈N*)的值有2個(gè)為－1,5個(gè)為1；

5、 由a16－a8＝(a9－a8)＋(a10－a9)＋…＋(a16－a15)＝－4， 得ai＋1－ai(8≤i≤15，i∈N*)的值有6個(gè)為－1,2個(gè)為1. 所以此時(shí)數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為CC＝588， 同理可得當(dāng)a16＝8時(shí)，數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為CC＝588. 綜上，數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為2CC＝1 176. 答案： 1 176 4．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，離心率為，點(diǎn)B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，△ABF1面積的最大值為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中垂線為l′.若直線l′與

6、直線l相交于點(diǎn)P，與直線x＝2相交于點(diǎn)Q，求的最小值． 解：(1)由已知得e＝＝，即a2＝2c2. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝c. 設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0(y0≠0)， 則S△ABF1＝(a－c)·|y0|≤(a－c)b＝， 即(b－b)b＝－1，∴b＝1，a＝. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由(1)可知F1(－1,0)， 由題意知直線l的斜率不為0，故設(shè)直線l：x＝my－1， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)． 聯(lián)立，得消去x， 得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 此時(shí)Δ＝8(m2＋1)＞0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝

7、－. 由弦長公式，得|MN|＝|y1－y2| ＝ ＝2·. 又yP＝＝，∴xP＝myP－1＝， ∴|PQ|＝|xP－2|＝·， ∴＝＝·＝（＋）≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝±1時(shí)等號(hào)成立， ∴當(dāng)m＝±1，即直線l的斜率為±1時(shí)，取得最小值2. 5．已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax＋1，a∈R. (1)當(dāng)x＞0時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍； (2)當(dāng)n∈N*時(shí)，證明：＜(ln 2)2＋2＋…＋2＜. 解：(1)由f(x)≥0，得xln x＋ax＋1≥0(x＞0)， 即－a≤ln x＋恒成立，即－a≤min. 令F(x)＝ln x＋(x＞0)，則

8、F′(x)＝－＝， ∴函數(shù)F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)F(x)＝ln x＋的最小值為F(1)＝1， ∴－a≤1，即a≥－1， ∴a的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)證明：∵為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和， ∴只需證明＜2＜即可． 由(1)知，當(dāng)a＝－1時(shí)，xln x－x＋1≥0，即ln x≥1－， 令x＝＞1，得ln >1－＝， ∴2＞2＞. 現(xiàn)證明2＜， 即2ln ＜＝＝ － .(*) 現(xiàn)證明2ln x＜x－(x＞1)， 構(gòu)造函數(shù)G(x)＝x－－2ln x(x＞1)， 則G′(x)＝1＋－＝＞0， ∴函數(shù)G(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 即G(x)＞G(1)＝0， 即2ln x＜x－成立． 令x＝ ，則(*)式成立． 綜上，得＜2＜. 對(duì)數(shù)列，，分別求前n項(xiàng)和，得＜(ln 2)2＋2＋…＋2＜.