高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),第一章 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,1.理解最值的概念，了解最值與極值的區(qū)別. 2.會用導數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,如果在函數(shù) f(x)定義域I內存在一點x0，使得對任意的x∈I，總有 ，那么稱 f(x0)為函數(shù)的定義域上的最大值. 如果在函數(shù) f(x)定義域I內存在一點x0，使得對任意的x∈I，總有 ，那么稱 f(x0)為函數(shù)在定義域上的最小值.,知識梳理 自主學習,知識點一 函數(shù)最值的概念,,答案,f(x)≤f(x0),f(x)≥f(x0),,答案,思考 函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？,答案 函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內所有函數(shù)值中的最小值. 函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值. 當連續(xù)函數(shù) f(x)在開區(qū)間(a，b)內只有一個導數(shù)為零的點時，若在這一點處 f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定 f(x)在該點處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間.,1.求函數(shù) y＝f(x)在[a，b]上的最值的步驟： (1)求函數(shù) y＝f(x)在(a，b)內的極值； (2)將函數(shù) y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值 f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是 ，最小的一個是 . 2.函數(shù)在開區(qū)間(a，b)的最值 在開區(qū)間(a，b)內連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值；若函數(shù) f(x)在開區(qū)間I上只有一個極值，且是極大(小)值，則這個極大(小)值就是函數(shù) f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.,知識點二 求函數(shù)的最值,,答案,最大值,最小值,,,答案 沒有.,(2)函數(shù) f(x)＝ln x在[1,2]上有最值嗎？,答案 有最大值ln 2，最小值0.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求函數(shù)的最值,,解析答案,例1 求下列各函數(shù)的最值： (1) f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；,解 f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 當x變化時，f′(x)及 f(x)的變化情況如下表：,∴當x＝－3時，f(x)取最小值－60； 當x＝－1或x＝1時，f(x)取最大值4.,,解析答案,反思與感悟,(2) f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].,解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]內恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù). 故x＝－1時，f(x)最小值＝－12； x＝1時，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值為－12，最大值為2.,,反思與感悟,一般地，在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)必有最大值與最小值，在開區(qū)間(a，b)內的連續(xù)函數(shù) f(x)不一定有最大值與最小值.,跟蹤訓練1 設函數(shù) f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數(shù) f′(x)的最小值為－12. (1)求a，b，c的值；,,解析答案,解 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x). 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值為－12， ∴a＞0，b＝－12. 又直線x－6y－7＝0的斜率為 ， 因此 f′(1)＝3a＋b＝－6， 故a＝2，b＝－12，c＝0.,,(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.,,解析答案,題型二 含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,,解析答案,例2 已知a是實數(shù)，函數(shù) f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.,反思與感悟,,解析答案,,反思與感悟,,反思與感悟,,由于參數(shù)的取值范圍不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性的變化，從而導致最值的變化，所以解決這類問題常常需要分類討論，并結合不等式的知識進行求解.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練2 a為常數(shù)，求函數(shù) f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.,,解析答案,,,題型三 函數(shù)最值問題的綜合應用,,解析答案,,,解析答案,解 對 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求導， 得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.,∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1). 令 f′(x)＝0，,當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,,解析答案,反思與感悟,(2)若對x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍.,而 f(2)＝2＋c，則 f(2)＝2＋c為最大值. 要使 f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c， 解得c＜－1或c＞2. ∴c的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).,,由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，這種題型的解法有很多，其中最常用的方法就是分離參數(shù)，將其轉化為函數(shù)的最值問題，在求函數(shù)最值時，可以借助導數(shù)來求解.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 設函數(shù) f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若對任意的x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范圍；,解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). ∴當x∈(0,1)時，f′(x)＞0； 當x∈(1,2)時，f′(x)＜0； 當x∈(2,3)時，f′(x)＞0. ∴當x＝1時，f(x)取極大值 f(1)＝5＋8c.又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]時，f(x)的最大值為 f(3)＝9＋8c. ∵對任意的x∈[0,3]，有 f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9. ∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞).,,解析答案,(2)若對任意的x∈(0,3)，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.,解 由(1)知 f(x)＜f(3)＝9＋8c， ∴9＋8c≤c2， 即c≤－1或c≥9， ∴c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞).,,解析答案,求最值時因忽略極值與區(qū)間端點值的對比致誤,例4 求函數(shù) f(x)＝x3－2x2＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值與最小值.,返回,,易錯易混,防范措施,,,解析答案,∴函數(shù) f(x)在x＝0處取得最大值f(0)＝1，,錯因分析 求出函數(shù)的極值后，要與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較后方可確定函數(shù)的最值，否則會出現(xiàn)錯誤.,防范措施,,,∴函數(shù) f(x)在x＝0處取得極大值 f(0)＝1，,又 f(－1)＝－2，f(2)＝1，,∴函數(shù) f(x)的最大值是1，最小值是－2.,防范措施,,,若連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]為單調函數(shù)，則其最值必在區(qū)間端點處取得；若該函數(shù)在[a，b]上不單調，即存在極值點，則最值可能在端點處取得，也可能在極值點處取得.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.函數(shù) y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，則f′(x)( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能,解析 據題 f(x)為常數(shù)函數(shù)，故 f′(x)＝0.,A,解析答案,1,2,3,4,5,,2.函數(shù) f(x)＝x3－3x＋1在閉區(qū)間[－3,0]上的最大值、最小值分別是( ) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,解析 f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0， 即3x2－3＝0，解得x＝1. 當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0； 當x∈(－1,1)時，f′(x)＜0； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0. 所以 f(x)在x＝－1處取得極大值，f(x)極大值＝3， 在x＝1處取得極小值，f(x)極小值＝－1. 而端點處的函數(shù)值f(－3)＝－17，f(0)＝1， 比較可得f(x)的最大值為3，最小值為－17.,1,2,3,4,5,,3.函數(shù) f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( ) A.有最大值，但無最小值 B.有最大值，也有最小值 C.無最大值，但有最小值 D.既無最大值，也無最小值,解析答案,D,解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 當x∈(－1,1)時，f′(x)＜0， 所以 f(x)在(－1,1)上是單調遞減函數(shù)，無最大值和最小值， 故選D.,1,2,3,4,5,,解析答案,A. B. C. D.,,,,,A,解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x).,,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知 f(x)＝2x3－6x2＋a(a為常數(shù))在[－2,2]上有最小值3，那么f(x)在[－2,2]上的最大值是____.,43,解析 令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2. 當x∈(－2,0)時，f′(x)＞0； 當x∈(0,2)時，f′(x)＜0， x＝－2，0,2對應的 f(x)的值分別為a－40，a，a－8. 因為a－40＜a－8＜a， 所以a－40為最小值，a為最大值，則a－40＝3，a＝43， 故 f(x)在[－2,2]上的最大值是43.,,課堂小結,,返回,1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎上，還需注意：①對函數(shù)進行準確求導；②研究函數(shù)的單調性，正確確定極值和端點函數(shù)值；③比較極值與端點函數(shù)值的大小時，有時需要利用作差或作商，甚至要分類討論. 2.解決恒成立問題常用的方法是轉化為求函數(shù)最值問題. 如：①f(x)≥m恒成立，只需f(x)min≥m成立即可，也可轉化為h(x)＝f(x)－m，這樣就是求h(x)min≥0的問題. ②若對某區(qū)間D上恒有f(x)≥g(x)成立，可轉化為h(x)＝f(x)－g(x)，求h(x)min≥0的問題.,