高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)（二）課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.1.2 瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)(二),第 1章 1.1 導(dǎo)數(shù)的概念,1.理解曲線的切線的含義. 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程. 4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 曲線的切線 如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的 . (1)曲線y＝f(x)在某點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)的位置有關(guān)； (2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)， 可以有多個(gè)，甚至可以有無(wú)窮多個(gè). 思考 有同學(xué)認(rèn)為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的 切線l與曲線y＝f(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，你認(rèn)為正確嗎？ 答案 不正確.曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與 曲線y＝f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，如圖所示.,,答案,切線,,知識(shí)點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的 . 思考 (1)曲線的割線與切線有什么關(guān)系？ 答案 曲線的切線是由割線繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)割線與曲線的另一交點(diǎn)無(wú)限接近這一點(diǎn)時(shí)趨于的直線.曲線的切線并不一定與曲線有一個(gè)交點(diǎn). (2)曲線在某點(diǎn)處的切線與在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？ 答案 函數(shù)f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)表示的曲線必有切線，且在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該切線的斜率. 函數(shù)f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)＝ 在x＝0處有切線，但不可導(dǎo).,斜率,答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 求曲線的切線方程 1.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程 例1 求曲線y＝f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程. 解 因?yàn)辄c(diǎn)(1,3)在曲線上，且f(x)在x＝1處可導(dǎo)，,＝(Δx)2＋3Δx＋2， 當(dāng)Δx→0時(shí)，(Δx)2＋3Δx＋2→2，故f′(1)＝2. 故所求切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，其切線只有一條，點(diǎn)P(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，且是切點(diǎn)，其切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 (1)曲線f(x)＝ x3－x2＋5在x＝1處切線的傾斜角為_(kāi)_____.,解析 設(shè)切線的傾斜角為α，,由導(dǎo)數(shù)幾何意義得tan α＝－1.,,解析答案,(2)曲線y＝f(x)＝x3在點(diǎn)P處切線斜率為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______________.,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1).,(－1，－1)或(1,1),,解析答案,2.求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程 例2 求過(guò)點(diǎn)(－1，－2)且與曲線y＝2x－x3相切的直線方程.,反思與感悟,,＝2－3x2－3xΔx－(Δx)2，,當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于2－3x2.,又∵切線過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，,解析答案,反思與感悟,,當(dāng)切點(diǎn)為(0,0)時(shí)，切線斜率為2，切線方程為y＝2x；,即19x＋4y＋27＝0. 綜上可知，過(guò)點(diǎn)(－1，－2)且與曲線相切的直線方程為y＝2x或19x＋4y＋27＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若題中所給點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 求過(guò)點(diǎn)P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.,,當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于2x. 設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0，y0). ∵點(diǎn)A在曲線y＝x2上，,又∵A是切點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率,,解析答案,∵所求切線過(guò)P(3,5)和A(x0，y0)兩點(diǎn)，,解得x0＝1或x0＝5.,從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25). 當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為k1＝2x0＝2； 當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為k2＝2x0＝10. ∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.,,解析答案,題型二 求導(dǎo)函數(shù),解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x),反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1). 解 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－1－(x2－1) ＝2Δxx＋(Δx)2，,故當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于2x. 得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.,,解析答案,題型三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值. 解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，,由題意知f′(x)最小值是－12，,反思與感悟,,反思與感悟,與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí)，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練4 (1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，則k1，k2，k3之間的大小關(guān)系為_(kāi)_________.(請(qǐng)用“＞”連接),解析 結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知， k1就是曲線在點(diǎn)A處切線的斜率， k2則為在點(diǎn)B處切線的斜率， 而k3則為割線AB的斜率， 由圖易知它們的大小關(guān)系.,k1＞k3＞k2,,解析答案,故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).,曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處切線方程為l2：2x－y－1＝0.,,易錯(cuò)易混,因?qū)Α霸谀滁c(diǎn)處”“過(guò)某點(diǎn)”分不清致誤,例5 已知曲線y＝f(x)＝x3上一點(diǎn)Q(1,1)，求過(guò)點(diǎn)Q的切線方程.,解析答案,返回,防范措施,,錯(cuò)解 因y′＝3x2，f′(1)＝3. 錯(cuò)因分析 上述求解過(guò)程中，忽略了當(dāng)點(diǎn)Q不是切點(diǎn)這一情形，導(dǎo)致漏解. 正解 當(dāng)Q(1,1)為切點(diǎn)時(shí)，可求得切線方程為y＝3x－2.,所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，,綜上，所求切線的方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.,故切線方程為3x－y－2＝0.,防范措施,,防范措施,解題前，養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，其次，弄清“在某點(diǎn)處的切線”與“過(guò)某點(diǎn)的切線”，點(diǎn)Q(1,1)盡管在所給曲線上，但它可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn).,,返回,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.下列說(shuō)法中正確的有_____. ①和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是曲線的切線； ②和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線一定不是曲線的切線； ③曲線的切線與曲線不可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)； ④曲線的切線與曲線有可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).,④,,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為_(kāi)___.,當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于8.即k＝8.,8,,1,2,3,4,5,3.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0， 則a＝___，b＝___.,解析答案,解析 由題意，知k＝y(tǒng)′|x＝0＝1，∴a＝1. 又(0，b)在切線上，∴b＝1.,1,1,,解析答案,1,2,3,4,5,故當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于x，∴y′|x＝1＝1.,45,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____.,＝2Δx＋4x0＋4， 當(dāng)Δx→0時(shí)，其值趨近于4＋4x0. 令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).,(3,30),,課堂小結(jié),,返回,1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即 →f′(x0)，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度. 2.“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個(gè)函數(shù)值. 3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).,