高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.1.2 復數(shù)的幾何意義課件 新人教版選修2-2.ppt

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3.1.2 復數(shù)的幾何意義,第三章 3.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念,1.理解用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量表示復數(shù)，及它們之間的一一對應關系. 2.掌握實軸、虛軸、模等概念. 3.掌握用向量的模表示復數(shù)的模的方法.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 復平面的概念和復數(shù)的幾何意義,1.復平面的概念 根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)z＝a＋bi，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)唯一確定.因為有序?qū)崝?shù)對(a，b)與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數(shù)與平面直角坐標系中的點之間可以建立一一對應. 如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z＝a＋bi可用點Z(a，b)表示.,,答案,這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做 ，x軸叫做 ，y軸叫做 . 顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).,復平面,實軸,虛軸,2.復數(shù)的幾何意義 按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應.因此，復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應的，即復數(shù)z＝a＋bi 復平面內(nèi)的點 ，這是復數(shù)的一種幾何意義.,Z(a，b),3.復數(shù)集與復平面中的向量的一一對應關系 在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應的.這樣，我們還可以用平面向量來表示復數(shù).,,因此，復數(shù)集C與復平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對應的(實數(shù)0與零向量對應)，即復數(shù)z＝a＋bi 平面向量 ，這是復數(shù)的另一種幾何意義.,思考 (1)虛軸上的點都對應著唯一的純虛數(shù)嗎？,答案,答案 不是.,(2)象限內(nèi)的點與復數(shù)有何對應關系？,答案 第一象限的復數(shù)特點：實部為正，且虛部為正； 第二象限的復數(shù)特點：實部為負，且虛部為正； 第三象限的復數(shù)特點：實部為負，且虛部為負； 第四象限的復數(shù)特點：實部為正，且虛部為負.,知識點二 復數(shù)的模,,答案,2.復數(shù)的模的性質(zhì)，設z1，z2是任意兩個復數(shù)，則,,思考 復數(shù)的模的幾何意義是什么？,答案 復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z，復數(shù)z0在復平面內(nèi)對應的點為Z0，r表示一個大于0的常數(shù)，則： ①滿足條件|z|＝r的點Z的軌跡為以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|＜r表示圓的內(nèi)部，|z|＞r表示圓的外部； ②滿足條件|z－z0|＝r的點Z的軌跡為以Z0為圓心，r為半徑的圓，|z－z0|＜r表示圓的內(nèi)部，|z－z0|＞r表示圓的外部.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 復數(shù)與復平面內(nèi)的點,,解析答案,反思與感悟,例1 在復平面內(nèi)，若復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對應的點：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直線y＝x上，分別求實數(shù)m的取值范圍.,,反思與感悟,解 復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10. (1)由題意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4.,,,反思與感悟,復數(shù)實部、虛部分別對應了復平面內(nèi)相應點的橫坐標和縱坐標，在復平面內(nèi)復數(shù)所表示的點所處的位置，決定了復數(shù)實部、虛部的取值特征.,跟蹤訓練1 實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)對應的點在x軸上方；,,解析答案,解 由m2－2m－150， 得m5， 所以當m5時，復數(shù)z對應的點在x軸上方.,(2)對應的點在直線x＋y＋4＝0上.,,題型二 復數(shù)的模的幾何意義,,解析答案,例2 設z∈C，在復平面內(nèi)對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形. (1)|z|＝2；,解 方法一 |z|＝2說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z到原點的距離為2， 這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓. 方法二 設z＝a＋bi，由|z|＝2， 得a2＋b2＝4.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.,,(2)1≤|z|≤2.,不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點的集合. 不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合. 這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合. 如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.,解析答案,反思與感悟,,解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應把握兩個關鍵點： 一是|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形； 二是利用復數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.,反思與感悟,,解析答案,,解析 設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，,2π,,題型三 復數(shù)的模及其應用,,解析答案,反思與感悟,例3 已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|4，求實數(shù)a的取值范圍.,解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，,,,利用模的定義將復數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實、虛部滿足的條件，是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想；根據(jù)復數(shù)模的意義，結(jié)合圖形，也可利用平面幾何知識解答本題.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 已知復數(shù)|z|＝1，求復數(shù)3＋4i＋z的模的最大值及最小值.,,,解析答案,復數(shù)與函數(shù)的綜合應用,對于求復數(shù)的題目，一般的解題思路是： 先設出復數(shù)的代數(shù)形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用題目給出的條件，結(jié)合復數(shù)的相關概念和性質(zhì)，列出方程(或方程組)，求出a，b，最后將復數(shù)的代數(shù)形式寫出來. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求復數(shù)z.,返回,,方法技巧,,分析 題目中出現(xiàn)了f(z)與f(－z)的關系式，可由f(z)得到f(－z)的另一種關系式. 要求復數(shù)z，只需設z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可. 利用復數(shù)相等的充要條件即可列方程組求解.,解析答案,解 設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R). ∵f(z)＝|2＋z|－z， ∴f(－z)＝|2－z|＋z. 又∵f(－z)＝3＋5i， ∴|2－z|＋z＝3＋5i， ∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.,,∴復數(shù)z＝－10＋5i.,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝i＋2i2對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i， ∴實部小于0，虛部大于0， 故復數(shù)z對應的點位于第二象限.,B,解析答案,1,2,3,4,5,,2.在復平面內(nèi)，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是( ) A.4＋8i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i,C,解析答案,解析 由題意知點A的坐標為(6,5)，點B的坐標為(－2,3). 由中點坐標公式，得線段AB的中點C的坐標為(2,4)， 故點C對應的復數(shù)為2＋4i.,1,2,3,4,5,,3.復數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么實數(shù)a的取值范圍是 .,解析答案,(－1,1),解得－1＜a＜1.,1,2,3,4,5,,解析答案,9,,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.,,,課堂小結(jié),,返回,1.復數(shù)的幾何意義有兩種：復數(shù)和復平面內(nèi)的點一一對應，復數(shù)和復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應. 2.研究復數(shù)的問題可利用復數(shù)問題實數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實、虛部的問題，也可以結(jié)合圖形利用幾何關系考慮.,