2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《平面幾何證明》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《平面幾何證明》 1． 線(xiàn)段或角相等的證明 （1）利用全等△或相似多邊形； （2）利用等腰△； （3）利用平行四邊形； （4）利用等量代換； （5）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)或利用比例關(guān)系 （6）利用圓中的等量關(guān)系等。 2． 線(xiàn)段或角的和差倍分的證明 （1）轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題。如要證明a=bc，可以先作出線(xiàn)段p=bc，再去證明a=p，即所謂“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，角的問(wèn)題仿此進(jìn)行。 （2）直接用已知的定理。例如：中位線(xiàn)定理，Rt△斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。 3． 兩線(xiàn)平行與垂直的證明 （1）利用兩線(xiàn)平行與垂直的判定定理。 （2）利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰△的“三線(xiàn)合一”可證明垂直。 （3）利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。 例題講解 1．從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線(xiàn)PA、PB和割線(xiàn)PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD。 2．△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧 AB上的一點(diǎn)，過(guò)P作OA、OB的垂線(xiàn)，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。 3．已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線(xiàn)P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：∠O1AO2=∠M1AM2。 4．在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=。. 5．∠ABC的頂點(diǎn)B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過(guò)BA與圓的交點(diǎn)K引∠ABC平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，交⊙O于P，交BC于M。 求證：線(xiàn)段PM為圓心到∠ABC平分線(xiàn)距離的2倍。 6．在△ABC中，AP為∠A的平分線(xiàn)，AM為BC邊上的中線(xiàn)，過(guò)B作BH⊥AP于H，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交BH于Q，求證：PQ∥AB。 7．菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線(xiàn)交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。 求證：MQ∥NP。 8．ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線(xiàn)交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N分別作BD、AC的垂線(xiàn)交于K。求證：KP⊥AB。 9．以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過(guò)D、E作BC的垂線(xiàn)，垂足分別是F、G，線(xiàn)段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AM⊥BC。 例題答案： 1. 分析1：構(gòu)造兩個(gè)全等△。 連結(jié)ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF← ← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 分析2：利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB。 ←∠PFB=∠POB← ← 注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可。 2. 分析：只需證， PMPN=MSNT。 （∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN →→PMPN=AMBN （∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA →→MSNT=AMBN 3. 分析：設(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點(diǎn)，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線(xiàn)。 在O1M上截取MO3=MO2，則∠M1AO3=∠M2AO2。 故只需證∠O1AM1=∠O3AM1，即證。 由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。 4. 分析：方法1、2AE=AB-AC ← 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA ← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。 方法2、延長(zhǎng)CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG ← 連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG ← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。 5.分析：若角平分線(xiàn)過(guò)O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。 若角平分線(xiàn)不過(guò)O，則延長(zhǎng)DO至D‘，使OD’=OD，則只需證DD‘=PM。連結(jié)D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。 過(guò)O作m⊥PK，則DD’,KP，∴∠D‘PK=∠DKP BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK的中垂線(xiàn)→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM， ∴DMPD‘為平行四邊形。 6.分析：方法1、結(jié)合中線(xiàn)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。 倍長(zhǎng)中線(xiàn)：延長(zhǎng)AM至M’，使AM=MA‘，連結(jié)BA’，如圖6-1。 PQ∥AB←←← ← ∠A‘BQ=180-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180-90-∠CAP=90-∠BAP=∠ABQ 方法2、結(jié)合角平分線(xiàn)和BH⊥AH聯(lián)想對(duì)稱(chēng)知識(shí)。 延長(zhǎng)BH交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于B’，如圖6-2。則H為BB‘的中點(diǎn)，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HM，則HM∥B/C。延長(zhǎng)HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。延長(zhǎng)MO至M’，使OM‘=OM，連結(jié)M’A、M‘B，則AM’BM是平行四邊形， ∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，，所以PQ∥AB。 7.分析：由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN， 結(jié)合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN←，AMCN=AQCP。 連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則 ∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180-2φ。 ∴∠BON=90-∠NOF-∠COF=90-β-φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是， ∴AMCN=AOCO 同理，AQCP=AOCO。 8. 分析：延長(zhǎng)KP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90， 即只需證∠PDC+∠KPC=90，只需證∠PDC=∠PKF， 因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。 ←←←△DME∽△CNF 9. 分析：連結(jié)BE、CD交于H，則H為垂心，故AH⊥BC。（同一法） 設(shè)AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。 OM1∥DF→→OM1=。 OM2∥EG→→OM2=。 只需證OGDF=EGOF，即 ←Rt△OEG∽R(shí)t△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。