2019-2020年高考數學總復習 專題3.2 導數的應用試題（含解析）.doc

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2019-2020年高考數學總復習 專題3.2 導數的應用試題（含解析） 【三年高考】 1．【xx江蘇，20】 已知函數有極值,且導函數的極值點是的零點.（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值） （1）求關于 的函數關系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個函數的所有極值之和不小于，求的取值范圍. 【答案】（1）（2）見解析（3） 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點是. 從而， 因此，定義域為. （2）由（1）知，. 設，則. 當時，，從而在上單調遞增. 因為，所以，故，即. 因此. 因此a的取值范圍為. 【考點】利用導數研究函數單調性、極值及零點 【名師點睛】涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖像交點個數問題，一般先通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路. 2．【xx高考江蘇，19】已知函數 （1）設. ①求方程=2的根； ②若對任意，不等式恒成立，求實數m的最大值； （2）若，函數有且只有1個零點，求ab的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】 試題分析：（1）①根據指數間倒數關系轉化為一元二次方程，求方程根；②根據指數間平方關系，將不等式轉化為一元不等式，再利用變量分離轉化為對應函數最值，最后根據基本不等式求最值；（2）根據導函數零點情況，確定函數單調變化趨勢，結合圖象確定唯一零點必在極值點取得，從而建立等量關系，求出ab的值. 試題解析：（1）因為，所以. ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由條件知. 因為對于恒成立，且， 所以對于恒成立. 而，且， 所以，故實數的最大值為4. （2）因為函數只有1個零點，而， 所以0是函數的唯一零點. 因為，又由知， 所以有唯一解. 令，則， 從而對任意，，所以是上的單調增函數， 于是當，；當時，. 因而函數在上是單調減函數，在上是單調增函數. 下證. 若，則，于是， 又，且函數在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數的唯一零點”矛盾. 若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 【考點】指數函數、基本不等式、利用導數研究函數單調性及零點 【名師點睛】對于函數零點個數問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖等確定其中參數的范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關系，要充分利用零點存在定理及函數單調性嚴格說明函數零點個數. 3.【xx高考江蘇，19】已知函數. （1）試討論的單調性； （2）若（實數c是a與無關的常數），當函數有三個不同的零點時，a 的取值范圍恰好是，求c的值. 【答案】（1）當時， 在上單調遞增； 當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減； 當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減． （2） 【解析】（1），令，解得，． 當時，因為（），所以函數在上單調遞增； 當時，時，，時，， 所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減； 當時，時，，時，， 所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減． （2）由（1）知，函數的兩個極值為，，則函數有三個 零點等價于，從而或． 又，所以當時，或當時，． 設，因為函數有三個零點時，的取值范圍恰好是 ，則在上，且在上均恒成立， 從而，且，因此． 此時，， 因函數有三個零點，則有兩個異于的不等實根， 所以，且， 解得． 綜上． 【考點定位】利用導數求函數單調性、極值、函數零點 4.【xx課標1，理21】已知函數. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發(fā)現式子特點后要及時進行因式分解，在對按，進行討論，寫出單調區(qū)間；（2）根據第（1）題，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當有2個零點，設正整數滿足，則 .由于，因此在有一個零點.所以的取值范圍為. 【考點】含參函數的單調性，利用函數零點求參數取值范圍. 【名師點睛】研究函數零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函數有2個零點求參數取值范圍，第一種方法是分離參數，構造不含參數的函數，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證有最小值兩邊存在大于0的點. 5.【xx課標II，理】已知函數，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點，且。 【答案】(1)； (2)證明略。 【解析】 （2）由（1）知 ，。 設，則。 當 時， ；當 時， ， 所以 在單調遞減，在 單調遞增。 【考點】 利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值 【名師點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系。 (2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數。 (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題。 (4)考查數形結合思想的應用。 6.【xx課標3，理21】已知函數 . （1）若 ，求a的值； （2）設m為整數，且對于任意正整數n ，求m的最小值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 試題分析：(1)由原函數與導函數的關系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得 ； (2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得，結合可知實數 的最小值為 【考點】 導數研究函數的單調性；導數研究函數的最值；利用導數證明不等式 【名師點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數形結合思想的應用． 7.【xx山東，理20】已知函數，，其中是自然對數的底數. （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）令，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）綜上所述： 當時，在上單調遞減，在上單調遞增， 函數有極小值，極小值是； 當時，函數在和和上單調遞增，在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值， 極大值是 極小值是； 當時，函數在上單調遞增，無極值； 當時，函數在和上單調遞增， 在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. （Ⅱ）由題意得 ， 因為 ， 令 則 所以在上單調遞增. 因為 所以 當時， 當時， 極大值為， 當時取到極小值，極小值是 ； ②當時，， 所以 當時，，函數在上單調遞增，無極值； 當時，函數在上單調遞增，無極值； 當時，函數在和上單調遞增， 在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. 【考點】1.導數的幾何意義.2.應用導數研究函數的單調性、極值.3.分類討論思想. 【名師點睛】1.函數f (x)在點x0處的導數f ′(x0)的幾何意義是曲線y＝f (x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f ′(x0)(x?x0)．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同． 2. 本題主要考查導數的幾何意義、應用導數研究函數的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等. 8.【xx北京，理19】已知函數． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 所以函數在區(qū)間上單調遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 【考點】1.導數的幾何意義；2.利用導數求函數的最值. 【名師點睛】這道導數題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點是需要求二階導數，因為不能判斷函數的單調性，所以需要再求一次導數，設 ，再求，一般這時就可求得函數的零點，或是恒成立，這樣就能知道函數的單調性，根據單調性求最值，從而判斷的單調性，求得最值. 9.【xx天津，理20】設，已知定義在R上的函數在區(qū)間內有一個零點，為的導函數. （Ⅰ）求的單調區(qū)間； （Ⅱ）設，函數，求證：； （Ⅲ）求證：存在大于0的常數，使得對于任意的正整數，且 滿足. 【答案】 （1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是.（2）（3）證明見解析 當x變化時，的變化情況如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以，的單調遞增區(qū)間是，，單調遞減區(qū)間是. （III）證明：對于任意的正整數 ，，且， 令，函數. 由（II）知，當時，在區(qū)間內有零點； 當時，在區(qū)間內有零點. 所以在內至少有一個零點，不妨設為，則. 由（I）知在上單調遞增，故， 于是. 因為當時，，故在上單調遞增， 所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故. 又因為，，均為整數，所以是正整數， 從而. 所以.所以，只要取，就有. 【考點】導數的應用 【名師點睛】判斷的單調性，只需對函數求導，根據的導數的符號判斷函數的單調性，求出單調區(qū)間，有關函數的零點問題，先利用函數的導數判斷函數的單調性，了解函數的圖象的增減情況，再對極值點作出相應的要求，可控制零點的個數. 10.【xx浙江，20】（本題滿分15分）已知函數f(x)=（x–）（）． （Ⅰ）求f(x)的導函數； （Ⅱ）求f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）[0， ]． 【解析】 （Ⅱ）由 解得或． 因為 x [來源:] （） 1 （） （） - 0 + 0 - f（x） ↓ 0 ↑ ↓ 又，所以f（x）在區(qū)間[）上的取值范圍是． 【考點】導數的應用 【名師點睛】本題主要考查導數的兩大方面的應用：（一）函數單調性的討論：運用導數知識來討論函數單調性時，首先考慮函數的定義域，再求出，有的正負，得出函數的單調區(qū)間；（二）函數的最值（極值）的求法：由確認的單調區(qū)間，結合極值點的定義及自變量的取值范圍，得出函數極值或最值． 11．【xx高考新課標1文數改編】若函數在單調遞增,則a的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：對恒成立, 故,即恒成立, 即對恒成立,構造,開口向下的二次函數的最小值的可能值為端點值,故只需保證,解得． 考點：三角變換及導數的應用 【名師點睛】本題把導數與三角函數結合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解關鍵是把函數單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數值域或最值有關的問題,要注意弦函數的有界性. 12．【xx高考四川文科改編】已知函數的極小值點，則= ． 【答案】2 【解析】 試題分析：，令得或，易得在上單調遞減，在上單調遞增，故極小值為，由已知得． 考點：函數導數與極值. 【名師點睛】本題考查函數的極值．在可導函數中函數的極值點是方程的解，但是極大值點還是極小值點，需要通過這點兩邊的導數的正負性來判斷，在附近，如果時，，時，則是極小值點，如果時，，時，，則是極大值點， 13．【xx高考山東理數】(本小題滿分13分) 已知. （I）討論的單調性； （II）當時，證明對于任意的成立. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求的導函數，對a進行分類討論，求的單調性； （Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據單調性求解. 試題解析： （Ⅰ）的定義域為； . 當， 時，，單調遞增； ，單調遞減. 當時，. （1），， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減； （2）時，，在內，，單調遞增； （3）時，， 當或時，，單調遞增； 當時，，單調遞減. 綜上所述， 當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減； 當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增； 當時，在內單調遞增； 當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，時， ，， 令，. 則， 由可得，當且僅當時取得等號. 又， 設，則在單調遞減， 因為， 所以在上存在使得 時，時，， 所以函數在上單調遞增；在上單調遞減， 由于，因此，當且僅當取得等號， 所以， 即對于任意的恒成立。 考點：1.應用導數研究函數的單調性、極值；2.分類討論思想. 【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函數的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等. 14．【xx高考天津理數】 設函數,，其中 (I)求的單調區(qū)間； (II) 若存在極值點，且，其中，求證：； （Ⅲ）設，函數，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求函數的導數：，再根據導函數零點是否存在情況，分類討論：①當時，有恒成立，所以的單調增區(qū)間為.②當時，存在三個單調區(qū)間（Ⅱ）由題意得，計算可得再由及單調性可得結論（Ⅲ）實質研究函數最大值：主要比較，的大小即可，分三種情況研究①當時，，②當時，，③當時，. 試題解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分兩種情況討論： （1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為. （2）當時，令，解得，或. 當變化時，，的變化情況如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即， 進而. 又 ，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足 ，且，因此，所以； （Ⅲ）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況同理： （1）當時，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 ，所以. （2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . （3）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此 . 綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于. 考點：導數的運算，利用導數研究函數的性質、證明不等式 【名師點睛】1.求可導函數單調區(qū)間的一般步驟 (1)確定函數f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)； (2)求導函數f′(x)； (3)在函數f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數f(x)的單調增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數時，可分類討論求得單調區(qū)間． 2．由函數f(x)在(a，b)上的單調性，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到． 15．【xx高考北京文數】（本小題13分） 設函數 （I）求曲線在點處的切線方程； （II）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍； （III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求函數f(x)的導數，根據，求切線方程； （Ⅱ）根據導函數判斷函數f(x)的單調性，由函數有三個不同零點，求c的取值范圍； （III）從兩方面必要性和不充分性證明，根據函數的單調性判斷零點個數. 試題解析：（I）由，得． 因為，， 所以曲線在點處的切線方程為． （II）當時，， 所以． 令，得，解得或． 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當且時，存在，， ，使得． 由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點． （III）當時，，， 此時函數在區(qū)間上單調遞增，所以不可能有三個不同零點． 當時，只有一個零點，記作． 當時，，在區(qū)間上單調遞增； 當時，，在區(qū)間上單調遞增． 所以不可能有三個不同零點． 綜上所述，若函數有三個不同零點，則必有． 故是有三個不同零點的必要條件． 當，時，，只有兩個不同 點， 所以不是有三個不同零點的充分條件． 因此是有三個不同零點的必要而不充分條件． 考點：利用導數研究曲線的切線；函數的零點 【名師點睛】 1．證明不等式問題可通過作差或作商構造函數，然后用導數證明． 2．求參數范圍問題的常用方法：(1)分離變量；(2)運用最值． 3．方程根的問題：可化為研究相應函數的圖象，而圖象又歸結為極值點和單調區(qū)間的討論． 4．高考中一些不等式的證明需要通過構造函數，轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵． 16．【xx高考新課標Ⅲ文數】設函數． （I）討論的單調性； （II）證明當時，； （III）設，證明當時，. 【答案】（Ⅰ）當時，單調遞增；當時，單調遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先求出導函數，然后通過解不等式或可確定函數的單調性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構造新函數，然后通過利用導數研究函數的單調性來處理． 試題解析：（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得. 當時，，單調遞增；當時，，單調遞減. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為， 所以當時，， 故當時，，，即. ………………7分 （Ⅲ）由題設，設，則． 令，解得. 當時，，單調遞增；當時，，單調遞減. ……………9分 由（Ⅱ）知，，故．又，故當時，， 所以當時，. ………………12分 考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、不等式的證明與解法． 【思路點撥】求解導數中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函數的單調性，再利用單調性進行證明；（2）根據不等式結構構造新函數，通過求導研究新函數的單調性或最值來證明． 17．【xx高考福建，文12】“對任意，”是“”的_______________條件.（在充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件和既不充分也不必要條件四個中選擇一個填空） 【答案】必要而不充分條件 【解析】當時，，構造函數，則．故在單調遞增，故，則； 當時，不等式等價于，構造函數，則，故在遞增，故，則．綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件． 18.【xx高考北京，文19】（本小題滿分13分）設函數，． （I）求的單調區(qū)間和極值； （II）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點． 【解析】（Ⅰ）由，（）得.由解得. 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；在處取得極小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點.當時，在區(qū)間上單調遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點. 19.【xx高考山東，文20】設函數. 已知曲線 在點處的切線與直線平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存在自然數，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由； （Ⅲ）設函數（表示，中的較小值），求的最大值. 【解析】（I）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，又所以. （II）時，方程在內存在唯一的根.設 當時，.又所以存在，使. 因為所以當時，，當時，， 所以當時，單調遞增.所以時，方程在內存在唯一的根. （III）由（II）知，方程在內存在唯一的根，且時，，時，，所以.當時，若 若由可知故當時，由可得時，單調遞增；時，單調遞減；可知且.綜上可得函數的最大值為. 【xx年高考命題預測】 導數的應用是高考的熱點，年年都出題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，解答題作為把關題存在，在考查導數的概念及其運算的基礎上，又注重考查解析幾何的相關知識．導數是研究函數的工具，導數進入新教材之后，給函數問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數問題的命題空間．所以把導數與函數綜合在一起是順理成章的事情，對函數的命題已不再拘泥于一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等，對研究函數的目標也不僅限于求定義域，值域，單調性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數，分式函數，指數型，對數型函數，以及初等基本函數的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數，導數，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調性，極值，最值，切線，方程的根，參數的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏．解題中需用到函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與劃歸思想．在xx年高考仍將以導數的幾何意義為背景設置成的導數的綜合題為主要考點．也有可能利用導數的幾何意義出一道中等難度試題，如求切線，或求參數值，重點考查運算及數形結合能力，以及構造新函數等能力． 【xx年高考考點定位】 高考對導數的應用的考查主要有導數的幾何意義，利用導數判斷單調性，求最值，證明不等式，證明恒成立，以及存在性問題等，難度較大，往往作為把關題存在． 考點一、借助導數研究函數單調性 【備考知識梳理】一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減； 【規(guī)律方法技巧】求函數單調區(qū)間的一般步驟.（1）求函數的導數（2）令解不等式，得的范圍就是單調增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調減區(qū)間（3）對照定義域得出結論. 【考點針對訓練】 1.若函數f (x)＝mx2＋lnx－2x在定義域內是增函數，則實數m的取值范圍是_________． 【答案】[,＋∞) 【解析】 f (x)＝2mx＋－2≥0對x＞0恒成立，2mx2＋1－2x≥0∴2m≥＝－＋，令t＝＞0∴2m≥－t2＋2t，∵max＝1，∴2m≥1，∴m≥． 2．已知函數． （1）當時，求的單調減區(qū)間； （2）若方程恰好有一個正根和一個負根，求實數的最大值． 【解析】（1）當時， ，當時，，由，解得，所以的單調減區(qū)間為，當時，，由，解得或，所以的單調減區(qū)間為， 綜上：的單調減區(qū)間為，． （2） 當時，，則，令，得或， x 0 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以有極大值，極小值，當時， 同（1）的討論可得，在上增，在上減，在上增，在上減，在上增，且函數有兩個極大值點， ， ， 且當時，， 所以若方程恰好有正根， 則（否則至少有二個正根）．又方程恰好有一個負根，則．令，則， 所以在時單調減，即，等號當且僅當時取到．所以，等號當且僅當時取到．且此時，即，所以要使方程恰好有一個正根和一個負根，的最大值為． 考點二、借助導數研究函數的極值 【備考知識梳理】若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數的極值的步驟:(1)確定函數的定義區(qū)間，求導數f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值. 【考點針對訓練】 1.已知函數，其中，為自然對數的底數 （1）若函數的圖像在處的切線與直線垂直，求的值． （2）關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍． （3）討論極值點的個數． 【答案】（1）（2）（3）當時，有且僅有一個極值點，當時，有三個極值點． 【解析】 試題分析：（1）利用導數幾何意義得，而，因此（2）不等式恒成立問題，一般利用變量分離，轉化為對應函數最值：，因此（3）先求函數導數：，這是一個三次函數與指數函數的乘積，因此導函數的零點為一個或三個，即只有一個極值點或有三個極值點.再分類討論：當與x軸有且僅有一個交點時，分兩種情形，一是為單調遞增函數（無極值），二是極值同號．當與x軸有且僅有三個交點時，極值異號． 試題解析：(1) 由題意，， 因為的圖象在處的切線與直線垂直， 所以，解得. (2) 法一：由，得， 即對任意恒成立， 即對任意恒成立， 因為，所以， 記，因為在上單調遞增，且， 所以，即的取值范圍是． 法二：由，得， 即在上恒成立， 因為等價于， ①當時，恒成立， 所以原不等式的解集為，滿足題意． ②當時，記，有， 所以方程必有兩個根，且， 原不等式等價于，解集為，與題設矛盾， 所以不符合題意． 綜合①②可知，所求的取值范圍是． (3) 因為由題意，可得， 所以只有一個極值點或有三個極值點. 令， ①若有且只有一個極值點，所以函數的圖象必穿過x軸且只穿過一次， 即為單調遞增函數或者極值同號． ⅰ）當為單調遞增函數時，在上恒成立，得…12分 ⅱ）當極值同號時，設為極值點，則， 由有解，得，且， 所以， 所以 ， 同理，， 所以， 化簡得， 所以，即， 所以． 所以，當時，有且僅有一個極值點； ②若有三個極值點，所以函數的圖象必穿過x軸且穿過三次，同理可得； 綜上，當時，有且僅有一個極值點， 當時，有三個極值點． 2.函數在區(qū)間上存在極值點，則實數的取值范圍為 ． 【答案】； 考點三、借助導數研究函數最值 【備考知識梳理】求函數最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點函數值. （3）比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導數研究函數的最值問題是要養(yǎng)成列表的習慣，這樣能使解答過程直觀條理； 2、會利用導函數的圖象提取相關信息； 3、極值點不一定是最值點，最值點也不一定是極值點，但若函數在開區(qū)間內只有一個極值點，則這個極值點也一定是最值點. 【考點針對訓練】 1.已知函數，． （1）求的單調增區(qū)間和最小值； （2）若函數與函數在交點處存在公共切線，求實數的值； （3）若時，函數的圖象恰好位于兩條平行直線，之間，當與間的距離最小時，求實數的值． 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 試題分析：（1）求出的導數，求得單調區(qū)間和極值，也為最值；（2）分別求出導數，設公切點處的橫坐標為，分別求出切線方程，再聯立解方程，即可得到a；（3）求出兩直線的距離，再令，求出導數，運用單調性即可得到最小值，進而說明當d最小時，． 試題解析：（1）因為，由，得， 所以的單調增區(qū)間為， 又當時，，則在上單調減， 當時，，則在上單調增， 所以的最小值為． （2）因為，， 設共切點處的橫坐標為，則與相切的直線方程為：， 與相切的直線方程為：， 所以， 解之得，由（1）知，所以． （3）若直線過，則k=2，此時有（為切點處的橫坐標）， 所以， 當時，有 ，且， 所以兩平行線間的距離 令 ，因為 ， 所以當時，，則在上單調減； 當時，，則在 上單調增， 所以有最小值h（x）=0，即函數的圖象均在 的上方， 令 ， 則 ， 所以當時，， 所以當d最小時， ． 2.已知函數(其中是自然對數的底數)，，． ⑴記函數，當時，求的單調區(qū)間； ⑵若對于任意的，，，均有成立，求實數 的取值范圍． 【答案】（1）單調增區(qū)間為：，，減區(qū)間為；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求單調區(qū)間的方法是求出的解，確定（或）的取值區(qū)間，即函數的單調區(qū)間，此可用列表方法得出（同時可得出極值）；（2）本小題不等式或有絕對值符號，有兩個參數，由于函數是增函數，因此設，則有，原問題等價于恒成立， 分兩個問題，恒成立和恒成立，前面轉化為，可以考慮函數在上是單調遞增的，后面一個轉化為，可以考慮函數在上是單調遞增的． 試題解析：⑴， ， 得或， 列表如下：（，） 極大值 [來源:] 極小值 ……………………………………………………………………………………4分 的單調增區(qū)間為：，，減區(qū)間為； ⑵設，是單調增函數，， ； ①由得：， 即函數在上單調遞增， 在上恒成立， 在上恒成立； 令，， 時，；時，； ， ； ②由得：， 即函數在上單調遞增， 在上恒成立， 在上恒成立； 函數在上單調遞減，當時，， ， 綜上所述，實數的取值范圍為． 【兩年模擬詳解析】 1. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級第三次調研考試】已知函數，. （1）當時，求函數的單調區(qū)間； （2）設函數，.若函數的最小值是，求的值； （3）若函數，的定義域都是，對于函數的圖象上的任意一點，在函數的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數的底數，為坐標原點，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析（2）1（3） 【解析】 解:(1) 當時，，． 因為在上單調增，且， 所以當時，；當時，． 所以函數的單調增區(qū)間是． （2），則，令得， 當時，，函數在上單調減； 當時，，函數在上單調增． 所以． ①當，即時， 函數的最小值， 即，解得或（舍），所以； ②當，即時， 函數的最小值，解得（舍）． 綜上所述，的值為1． （3）由題意知，，． 考慮函數，因為在上恒成立， 所以函數在上單調增，故． 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立． 設，則在上恒成立， 所以在上單調減，所以． 設， 則在上恒成立， 所以在上單調增，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 2. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）】已知函數，，為實數，，為自然對數的底數，. （1）當，時，設函數的最小值為，求的最大值； （2）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同實數解，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】 解：（1）當時，函數， 則 ， 令，得，因為時，， 所以 ， 令， 則，令，得， 且當時，有最大值1， 所以的最大值為1（表格略），（分段寫單調性即可），此時. （2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個不同實數解， 所以在區(qū)間上有兩個不同的實數解， 即函數圖象與函數圖象有兩個不同的交點， 因為，令，得， 所以當時，， 當時，， 所以，滿足的關系式為，即的取值范圍為. 3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分16分) 設函數，（） （1）當時，解關于的方程（其中為自然對數的底數）； （2）求函數的單調增區(qū)間； （3）當時，記，是否存在整數，使得關于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由. （參考數據：，） 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）當時，的增區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為；時，的增區(qū)間為.（III）的最小值為. 【解析】 解：（1）當時，方程即為，去分母，得 ，解得或， …………2分 故所求方程的根為或. ………4分 （2）因為， 所以（）， ……6分 ①當時，由，解得； ②當時，由，解得； ③當時，由，解得； ④當時，由，解得； ⑤當時，由，解得. 綜上所述，當時，的增區(qū)間為； 當時，的增區(qū)間為； 時，的增區(qū)間為. ………10分 （3）方法一：當時，，， 所以單調遞增，，， 所以存在唯一，使得，即， ……………12分 當時，，當時，， 所以， 記函數，則在上單調遞增， ……14分 所以，即， 由，且為整數，得， 所以存在整數滿足題意，且的最小值為. ………16分 方法二：當時，，所以， 由得，當時，不等式有解， ……………12分 下證：當時，恒成立，即證恒成立. 顯然當時，不等式恒成立， 只需證明當時，恒成立. 即證明.令， 所以，由，得， ………14分 當，；當，； 所以. 所以當時，恒成立. 綜上所述，存在整數滿足題意，且的最小值為. .……………16分 4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】已知函數，（為常數）． （1）若函數與函數在處有相同的切線，求實數的值； （2）若，且，證明：； （3）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍． 【答案】（1）（2）詳見解析（3） 【解析】 解：（1），則且. ……1分 所以函數在處的切線方程為：， ……2分 從而，即. ……4分 （2）由題意知：設函數，則. ……5分 設，從而對任意恒成立， ……6分 所以，即， 因此函數在上單調遞減， ……7分 即， 所以當時，成立. ……8分 設函數， 從而對任意，不等式恒成立. 又， 當，即恒成立時， 函數單調遞減. ……10分 設，則， 所以，即，符合題意； ……12分 當時，恒成立，此時函數單調遞增. 于是，不等式對任意恒成立，不符合題意； ……13分 當時，設， 則 ……14分 當時，，此時單調遞增， 所以， 故當時，函數單調遞增. 于是當時，成立，不符合題意； ……15分 綜上所述，實數的取值范圍為：. ……16分 5. 【xx年第二次全國大聯考江蘇卷】（本小題滿分16分）設函數 （1）若不等式對恒成立，求的值； （2）若在內有兩個極值點，求負數的取值范圍； （3）已知，若對任意實數，總存在實數，使得成立，求正實數的取值集合． 【解析】解（1）若 ，則當時，，不合題意； 若 ，則當時，，不合題意； 若 ，則當時，，當時，，當時，，滿足題意，因此的值為 ……………4分 （2）, 令，則 所以在上單調遞減，在上單調遞增，因此………6分 (i)當時， 在內至多有一個極值點； (ii) 當時，由于 所以 ，而，因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有一個零點，在內有且僅有一個極值點；………………………8分 (iii)當時，因此在上有且僅有一個零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有兩個零點，在內有且僅有兩個極值點； 綜上負數的取值范圍為………………………10分 （3）因為對任意實數，總存在實數，使得成立，所以函數的值域為． 在上是增函數，其值域為 ………………11分 對于函數，當時，， 當時，，函數在上為單調減函數， 當時，，函數在上為單調增函數． 若，則函數在上是增函數，在上是減函數，其值域為， 又，不符合題意，舍去；………………13分 若，則函數在上是增函數，值域為， 由題意得，即 ① 記則 當時，，在上為單調減函數． 當時，，在上為單調增函數， 所以，當時，有最小值， 從而恒成立(當且僅當時，) ②………………15分 由①②得，，所以 綜上所述，正實數的取值集合為．………………16分 6. 【xx年第三次全國大聯考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知函數，常數 （1）若，求函數在點處切線方程； （2）若對，恒有，求的取值范圍； （3）若函數有兩個零點且，求實數的取值范圍． 【解析】（1）由得，所以當時，， 因此切線斜率為，切線方程為即．………4分 （2）由題意得在上單調遞減． 當時，；當時，，皆為上單調增函數，不合題意； 當時，． 當時，，，在上單調遞增； 當時，，，在上單調遞減； 所以，即的取值范圍為………………………9分 （3）由（2）知當時，皆為上單調增函數，至多一個零點，不合題意． 當時，在上單調遞增，在上單調遞減；所以取最小值． 若，則至多一個零點，因此即解得 當時，，而，在上單調遞減，所以在上有且僅有一個零點；而，，在上單調遞增，所以在上有且僅有一個零點；所以有兩個零點． 當時，，而，在上單調遞減，所以在上有且僅有一個零點；，因為 ，所以，即，又，在上單調遞增，所以在上有且僅有一個零點；因此有兩個零點． 綜上，實數的取值范圍為………………………16分 7. 【xx年第一次全國大聯考江蘇卷】（本小題滿分16分）設函數，其中，且. （1） 求值； （2） 若，為自然對數的底數，求證：當時，； （3） 若函數為上的單調函數，求實數的取值范圍. 【解析】（1）依題意.……………2分 （2）記，則， 設,則當時,因此函數在上是單調增函數，且， 所以由零點存在定理知，在上存在唯一的零點,……………5分 令得， 列表： ↘ 極小值 ↗ 所以，故……………8分 （3）依題意，，記. 當時， ①若為上的單調增函數，則，即在上恒成立 因為為上的單調增函數 所以，從而，舍去. ……………10分 ②若為上的單調減函數，則，即在上恒成立 因為， 所以在上不恒成立，舍去. ……………12分 當時， ①若為上的單調增函數，則，即在上恒成立 由得， 列表： + 0 - ↗ 極大值 ↘ 所以 所以，即，故……………14分 ②若為上的單調減函數，則，即在上恒成立 由①知，當時，；當， 所以，不成立，舍去 綜上，……………16分 8. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（一）】已知函數（為正實數，且為常數）. （1）若函數在區(qū)間上單調遞增，求實數的取值范圍； （2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍. 解：（1），. ……1分 因在上單調遞增，則，恒成立. 令，則， ……2分 x － ＋ 減 極小值 增 因此，，即. ……6分 （2）當時，由（1）知，當時，單調遞增. ……7分 又，當，；當時，. ……9分 故不等式恒成立． ……10分 若，， 設，令，則. …12分 當時，，單調遞減，則， 則，所以當時，單調遞減， ……14分 則當時，，此時，矛盾. ……15分 因此，. ……16分 9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分16分） 已知函數． （1）求曲線與直線垂直的切線方程； （2）求的單調遞減區(qū)間； （3）若存在，使函數成立，求實數的取值范圍． 【答案】（1）；（2）減區(qū)間為和；（3）. 【解析】 （1）由已知，2分 設切點坐標為，令，解得，所以，因此切線方程為，即；4分 （2）函數的定義域為， ，由，解得或， 所以函數的單調遞減區(qū)間為和．8分 （3）因為， 由已知，若存在使函數成立， 則只需滿足當時，即可．9分 又， 則，10分 ①若，則在上恒成立， 所以在上單調遞增， ， ∴，又∵，∴．13分 ②若，則在上單調遞減，在上單調遞增， 所以在上的最小值是，15分 又∵，而，所以一定滿足條件， 綜上所述，的取值范圍是．16分 10. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷02（江蘇卷）】（本小題滿分16分）已知函數． （Ⅰ）若函數的最小值為，求的值； （Ⅱ）設，求函數的單調區(qū)間； （Ⅲ）設函數與函數的圖像的一個公共點為,若過點有且僅有一條公切線，求點的坐標及實數的值． （Ⅱ）因（），故----------（5分） ①若，則，函數在上單調遞增；--------（6分） ②若，則當，即，也即時，在時，，函數單調遞減；在時，，函數單調遞增；在時，，函數單調遞減；------------------------------------------------------（8分） 當，即，也即時，在時，，函數單調遞減；在時，，函數單調遞增；在時，，函數單調遞減.---------------------------------------------------（10分） 綜上： 當，函數的單調遞增區(qū)間是； 當時，函數的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是和 當時，函數的單調遞減區(qū)間是； 當時，函數的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是和.--------（11分） (Ⅱ)設點,因,故,即;--------(12分) 又設切線方程為,將代入可得;將代入可得,借助切線唯一可得,即,也即,所以方程只有一個實數根.---------------------------(13分) 構造函數,顯然函數只有一個零點. 下證當與時,函數都是單調函數,且都沒有零點. -----------(14分) 因,故當時,,函數單調遞增;且,故在區(qū)間上無零點;當時, ,函數單調遞減;且,故在區(qū)間上無零點.即方程只有一個實數根,所以可得,由可得.-----------------(16分) 11. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷03（江蘇卷）】（本小題滿分14分）某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知，曲線段是以點為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在上，且一個頂點落在曲線段上，問應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大用地面積． 【解析】如圖，以所在的直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．依題意設拋物線方程為，由題意點，代入可得，則曲線段的方程為．-----------------（3分） 設是曲線段上的任意一點，如圖，則，所以該工業(yè)園區(qū)的面積，---------------（5分） 則，故當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取最大值，----------------------------（10分） ，此時．-------（12） 答：當工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為，寬為時，園區(qū)的面積最大，其最大值為．-----（14分） 12. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷03（江蘇卷）】（本小題滿分16分）設． (Ⅰ) 求函數的單調區(qū)間； (Ⅱ) 若函數有兩個零點，且，求實數的取值范圍； (Ⅲ) 若函數有兩個零點，且，證明：． 【解析】（Ⅰ）首先，函數定義域為，因，則當時，，函數在上單調遞增；------（3分） 當，且時，，函數在上單調遞減；時，，函數在上單調遞增，--------------------------------------------------（4分） 故當時，函數的單調遞增區(qū)間是；當時，函數的遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是．-------------------------------------------------------------（5分） （Ⅱ）由題設有兩個零點，顯然，故，記，當時，單調增；當時，單調減．-------------------------（7分） 所以當，即時，函數有兩個零點，所求實數的取值范圍是．----（9分） （Ⅲ）構造函數，-----（12分） 則當時，單調增，所以，即，------（14分） 又由（Ⅱ）知，函數有兩個零點，就是方程的兩個根，因此滿足，所以，且，又時，單調增，所以，從而有----------------------（16分） 13. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬】（本小題滿分16分） 已知函數f (x)＝ex－ax－1，其中e為自然對數的底數，a∈R． （1）若a＝e，函數g (x)＝(2－e)x． ①求函數h(x)＝f (x)－g (x)的單調區(qū)間； ②若函數F(x)＝的值域為R，求實數m的取值范圍； （2）若存在實數x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1， 求證：e－1≤a≤e2－e． 解：（1）當a＝e時，f (x)＝ex－ex－1． ① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2． 由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2． 所以函數h(x)的單調增區(qū)間為 (ln2，＋∞)，單調減區(qū)間為 (－∞，ln2)． ………………… 3分 ② f ′ (x)＝ex－e． 當x＜1時，f′ (x)＜0，所以f (x)在區(qū)間(－∞，1)上單調遞減； 當x＞1時，f′ (x)＞0，所以f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增． 1 當m≤1時，f (x)在(－∞，m]上單調遞減，值域為[em－em－1，＋∞)， g(x)＝(2－e