2021年河北邢臺中考數(shù)學試題及答案
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1、2021年河北邢臺中考數(shù)學試題及答案 一、選擇題(本大題有16個小題,共42分。1~10小題各3分,11~16小題各2分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.如圖,已知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上,請借助直尺判斷該線段是( ?。? A.a(chǎn) B.b C.c D.d 2.不一定相等的一組是( ?。? A.a(chǎn)+b與b+a B.3a與a+a+a C.a(chǎn)3與a?a?a D.3(a+b)與3a+b 3.已知a>b,則一定有﹣4a□﹣4b,“□”中應(yīng)填的符號是( ?。? A.> B.< C.≥ D.= 4.與結(jié)果相同的是( ?。? A
2、.3﹣2+1 B.3+2﹣1 C.3+2+1 D.3﹣2﹣1 5.能與﹣(﹣)相加得0的是( ?。? A.﹣﹣ B.+ C.﹣+ D.﹣+ 6.一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7,它的展開圖如圖,下列判斷正確的是( ) A.A代 B.B代 C.C代 D.B代 7.如圖1,?ABCD中,AD>AB,∠ABC為銳角.要在對角線BD上找點N,M,使四邊形ANCM為平行四邊形,現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案,則正確的方案( ) A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 8.圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示
3、,此時液面AB=( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 9.若取1.442,計算﹣3﹣98的結(jié)果是( ?。? A.﹣100 B.﹣144.2 C.144.2 D.﹣0.01442 10.如圖,點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點,S△AFO=8,S△CDO=2,則S正六邊邊ABCDEF的值是( ?。? A.20 B.30 C.40 D.隨點O位置而變化 11.(2分)如圖,將數(shù)軸上﹣6與6兩點間的線段六等分,這五個等分點所對應(yīng)數(shù)依次為a1,a2,a3,a4,a5,則下列正確的是( ) A.a(chǎn)3>0 B.|a1|=|a4| C.a(chǎn)1+a2+
4、a3+a4+a5=0 D.a(chǎn)2+a5<0 12.(2分)如圖,直線l,m相交于點O.P為這兩直線外一點,且OP=2.8.若點P關(guān)于直線l,m的對稱點分別是點P1,P2,則P1,P2之間的距離可能是( ?。? A.0 B.5 C.6 D.7 13.(2分)定理:三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. 已知:如圖,∠ACD是△ABC的外角.求證:∠ACD=∠A+∠B. 證法1:如圖, ∵∠A+∠B+∠ACB=180(三角形內(nèi)角和定理), 又∵∠ACD+∠ACB=180(平角定義), ∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代換). ∴∠ACD=∠A+∠B(等式性
5、質(zhì)). 證法2:如圖, ∵∠A=76,∠B=59, 且∠ACD=135(量角器測量所得) 又∵135=76+59(計算所得) ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代換). 下列說法正確的是( ) A.證法1還需證明其他形狀的三角形,該定理的證明才完整 B.證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理 C.證法2用特殊到一般法證明了該定理 D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證,就能證明該定理 14.(2分)小明調(diào)查了本班每位同學最喜歡的顏色,并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2(柱的高度從高到低排列).條形圖不小心被撕了一塊,圖2中“( ?。睉?yīng)填的顏色是( ?。? A.藍 B
6、.粉 C.黃 D.紅 15.(2分)由(﹣)值的正負可以比較A=與的大小,下列正確的是( ?。? A.當c=﹣2時,A= B.當c=0時,A≠ C.當c<﹣2時,A> D.當c<0時,A< 16.(2分)如圖,等腰△AOB中,頂角∠AOB=40,用尺規(guī)按①到④的步驟操作: ①以O(shè)為圓心,OA為半徑畫圓; ②在⊙O上任取一點P(不與點A,B重合),連接AP; ③作AB的垂直平分線與⊙O交于M,N; ④作AP的垂直平分線與⊙O交于E,F(xiàn). 結(jié)論Ⅰ:順次連接M,E,N,F(xiàn)四點必能得到矩形; 結(jié)論Ⅱ:⊙O上只有唯一的點P,使得S扇形FOM=S扇形AOB. 對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷
7、正確的是( ?。? A.Ⅰ和Ⅱ都對 B.Ⅰ和Ⅱ都不對 C.Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D.Ⅰ對Ⅱ不對 二、填空題(本大題有3個小題,每小題有2個空,每空2分,共12分) 17.(4分)現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片(邊長如圖). (1)取甲、乙紙片各1塊,其面積和為 ; (2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形,先取甲紙片1塊,再取乙紙片4塊,還需取丙紙片 塊. 18.(4分)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),AE與BD的交點為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=110,則圖中∠D應(yīng) ?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”
8、) 度. 19.(4分)用繪圖軟件繪制雙曲線m:y=與動直線l:y=a,且交于一點,圖1為a=8時的視窗情形. (1)當a=15時,l與m的交點坐標為 ?。? (2)視窗的大小不變,但其可視范圍可以變化,且變化前后原點O始終在視窗中心. 例如,為在視窗中看到(1)中的交點,可將圖1中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?,其可視范圍就由?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20(如圖2).當a=﹣1.2和a=﹣1.5時,l與m的交點分別是點A和B,為能看到m在A和B之間的一整段圖象,需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模瑒t整數(shù)k=
9、 ?。? 三、解答題(本大題有7個小題,共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 20.(8分)某書店新進了一批圖書,甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本.現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書,共付款Q元. (1)用含m,n的代數(shù)式表示Q; (2)若共購進5104本甲種書及3103本乙種書,用科學記數(shù)法表示Q的值. 21.(9分)已知訓(xùn)練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個,設(shè)A品牌乒乓球有x個. (1)淇淇說:“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍.”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程:101﹣x=2x.請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確; (2)據(jù)工作人員透
10、露:B品牌球比A品牌球至少多28個,試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個. 22.(9分)某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示.嘉淇進入展廳后開始自由參觀,每走到一個十字道口,她自己可能直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),且這三種可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率; (2)補全圖2的樹狀圖,并分析嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大. 23.(9分)如圖是某機場監(jiān)控屏顯示兩飛機的飛行圖象,1號指揮機(看成點P)始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行,2號試飛機(看成點Q)一直保持在1號機P的正下方.2號機從原點O處沿45仰角爬升,到4
11、km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行,再過1min到達B處開始沿直線BC降落,要求1min后到達C(10,3)處. (1)求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式,并直接寫出2號機的爬升速度; (2)求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式,并預(yù)計2號機著陸點的坐標; (3)通過計算說明兩機距離PQ不超過3km的時長是多少. [注:(1)及(2)中不必寫s的取值范圍] 24.(9分)如圖,⊙O的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型,其中整鐘點為An(n為1~12的整數(shù)),過點A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點P. (1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長; (2)連接A7A11,則A7A11和PA
12、1有什么特殊位置關(guān)系?請簡要說明理由; (3)求切線長PA7的值. 25.(10分)如圖是某同學正在設(shè)計的一動畫示意圖,x軸上依次有A,O,N三個點,且AO=2,在ON上方有五個臺階T1~T5(各拐角均為90),每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階T1到x軸距離OK=10.從點A處向右上方沿拋物線L:y=﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P. (1)求點A的橫坐標,且在圖中補畫出y軸,并直接指出點P會落在哪個臺階上; (2)當點P落到臺階上后立即彈起,又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C的解析式,并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點; (3)在x軸上從左到
13、右有兩點D,E,且DE=1,從點E向上作EB⊥x軸,且BE=2.在△BDE沿x軸左右平移時,必須保證(2)中沿拋物線C下落的點P能落在邊BD(包括端點)上,則點B橫坐標的最大值比最小值大多少? [注:(2)中不必寫x的取值范圍] 26.(12分)在一平面內(nèi),線段AB=20,線段BC=CD=DA=10,將這四條線段順次首尾相接.把AB固定,讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角α(α>0)到某一位置時,BC,CD將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置. 論證:如圖1,當AD∥BC時,設(shè)AB與CD交于點O,求證:AO=10; 發(fā)現(xiàn):當旋轉(zhuǎn)角α=60時,∠ADC的度數(shù)可能是多少? 嘗試:取線段CD的中點
14、M,當點M與點B距離最大時,求點M到AB的距離; 拓展:①如圖2,設(shè)點D與B的距離為d,若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P,直接寫出BP的長(用含d的式子表示); ②當點C在AB下方,且AD與CD垂直時,直接寫出a的余弦值. 參考答案 一、選擇題(本大題有16個小題,共42分。1~10小題各3分,11~16小題各2分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.如圖,已知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上,請借助直尺判斷該線段是( ) A.a(chǎn) B.b C.c D.d 【參考答案】解:利用直尺畫出圖形如下: 可以看
15、出線段a與m在一條直線上. 故答案為:a. 故選:A. 2.不一定相等的一組是( ) A.a(chǎn)+b與b+a B.3a與a+a+a C.a(chǎn)3與a?a?a D.3(a+b)與3a+b 【參考答案】解:A:因為a+b=b+a,所以A選項一定相等; B:因為a+a+a=3a,所以B選項一定相等; C:因為a?a?a=a3,所以C選項一定相等; D:因為3(a+b)=3a+3b,所以3(a+b)與3a+b不一定相等. 故選:D. 3.已知a>b,則一定有﹣4a□﹣4b,“□”中應(yīng)填的符號是( ?。? A.> B.< C.≥ D.= 【參考答案】解:根據(jù)不等式的性質(zhì),不等式兩邊同
16、時乘以負數(shù),不等號的方向改變. ∵a>b, ∴﹣4a<﹣4b. 故選:B. 4.與結(jié)果相同的是( ) A.3﹣2+1 B.3+2﹣1 C.3+2+1 D.3﹣2﹣1 【參考答案】解:===2, ∵3﹣2+1=2,故A符合題意; ∵3+2﹣1=4,故B不符合題意; ∵3+2+1=6,故C不符合題意; ∵3﹣2﹣1=0,故D不符合題意. 故選:A. 5.能與﹣(﹣)相加得0的是( ?。? A.﹣﹣ B.+ C.﹣+ D.﹣+ 【參考答案】解:﹣(﹣)=﹣+,與其相加得0的是﹣+的相反數(shù). ﹣+的相反數(shù)為+﹣, 故選:C. 6.一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7,它的展
17、開圖如圖,下列判斷正確的是( ) A.A代 B.B代 C.C代 D.B代 【參考答案】解:根據(jù)正方體的表面展開圖,相對的面之間一定相隔一個正方形, A與點數(shù)是1的對面,B與點數(shù)是2的對面,C與點數(shù)是4的對面, ∵骰子相對兩面的點數(shù)之和為7, ∴A代表的點數(shù)是6,B代表的點數(shù)是5,C代表的點數(shù)是4. 故選:A. 7.如圖1,?ABCD中,AD>AB,∠ABC為銳角.要在對角線BD上找點N,M,使四邊形ANCM為平行四邊形,現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案,則正確的方案( ) A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 【參考答案
18、】解:方案甲中,連接AC,如圖所示: ∵四邊形ABCD是平行四邊形,O為BD的中點, ∴OB=OD,OA=OC, ∵BN=NO,OM=MD, ∴NO=OM, ∴四邊形ANCM為平行四邊形,方案甲正確; 方案乙中: ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABN=∠CDM, ∵AN⊥B,CM⊥BD, ∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD, 在△ABN和△CDM中, , ∴△ABN≌△CDM(AAS), ∴AN=CM, 又∵AN∥CM, ∴四邊形ANCM為平行四邊形,方案乙正確; 方案丙中:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠BAD=∠BC
19、D,AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABN=∠CDM, ∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD, ∴∠BAN=∠DCM, 在△ABN和△CDM中, , ∴△ABN≌△CDM(ASA), ∴AN=CM,∠ANB=∠CMD, ∴∠ANM=∠CMN, ∴AN∥CM, ∴四邊形ANCM為平行四邊形,方案丙正確; 故選:A. 8.圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時液面AB=( ?。? A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【參考答案】解:如圖:過O作OM⊥CD,垂足為M,過O作ON⊥AB,垂足為N, ∵CD∥AB,
20、∴△CDO∽ABO,即相似比為, ∴=, ∵OM=15﹣7=8,ON=11﹣7=4, ∴=, =,∴ AB=3, 故選:C. 9.若取1.442,計算﹣3﹣98的結(jié)果是( ) A.﹣100 B.﹣144.2 C.144.2 D.﹣0.01442 【參考答案】解:∵取1.442, ∴原式=(1﹣3﹣98) =1.442(﹣100) =﹣144.2. 故選:B. 10.如圖,點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點,S△AFO=8,S△CDO=2,則S正六邊邊ABCDEF的值是( ?。? A.20 B.30 C.40 D.隨點O位置而變化 【參考答案】解:
21、設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為x, 過E作FD的垂線,垂足為M,連接AC, ∵∠FED=120,F(xiàn)E=ED, ∴∠EFD=∠FDE, ∴∠EDF=(180﹣∠FED) =30, ∵正六邊形ABCDEF的每個角為120. ∴∠CDF=120﹣∠EDF=90. 同理∠AFD=∠FAC=∠ACD=90, ∴四邊形AFDC為矩形, ∵S△AFO=FOAF, S△CDO=ODCD, 在正六邊形ABCDEF中,AF=CD, ∴S△AFO+S△CDO=FOAF+ODCD =(FO+OD)AF =FDAF =10, ∴FDAF=20, DM=cos30DE=x, DF
22、=2DM=x, EM=sin30DE=, ∴S正六邊形ABCDEF=S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC =AFFD+2S△EFD =x?x+2x?x =x2+x2 =20+10 =30, 故選:B. 11.(2分)如圖,將數(shù)軸上﹣6與6兩點間的線段六等分,這五個等分點所對應(yīng)數(shù)依次為a1,a2,a3,a4,a5,則下列正確的是( ?。? A.a(chǎn)3>0 B.|a1|=|a4| C.a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5=0 D.a(chǎn)2+a5<0 【參考答案】解:﹣6與6兩點間的線段的長度=6﹣(﹣6)=12, 六等分后每個等分的線段的長度=126=2, ∴a1,a2,a3,
23、a4,a5表示的數(shù)為:﹣4,﹣2,0,2,4, A選項,a3=﹣6+23=0,故該選項錯誤; B選項,|﹣4|≠2,故該選項錯誤; C選項,﹣4+(﹣2)+0+2+4=0,故該選項正確; D選項,﹣2+4=2>0,故該選項錯誤; 故選:C. 12.(2分)如圖,直線l,m相交于點O.P為這兩直線外一點,且OP=2.8.若點P關(guān)于直線l,m的對稱點分別是點P1,P2,則P1,P2之間的距離可能是( ?。? A.0 B.5 C.6 D.7 【參考答案】解:連接OP1,OP2,P1P2, ∵點P關(guān)于直線l,m的對稱點分別是點P1,P2, ∴OP1=OP=2.8,OP=OP2=2
24、.8, OP1+OP2>P1P2, P1P2<5.6, 故選:B. 13.(2分)定理:三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. 已知:如圖,∠ACD是△ABC的外角.求證:∠ACD=∠A+∠B. 證法1:如圖, ∵∠A+∠B+∠ACB=180(三角形內(nèi)角和定理), 又∵∠ACD+∠ACB=180(平角定義), ∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代換). ∴∠ACD=∠A+∠B(等式性質(zhì)). 證法2:如圖, ∵∠A=76,∠B=59, 且∠ACD=135(量角器測量所得) 又∵135=76+59(計算所得) ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代換
25、). 下列說法正確的是( ?。? A.證法1還需證明其他形狀的三角形,該定理的證明才完整 B.證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理 C.證法2用特殊到一般法證明了該定理 D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證,就能證明該定理 【參考答案】解:∵證法1按照定理證明的一般步驟,從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C,得出結(jié)論的正確,具有一般性,無需再證明其他形狀的三角形, ∴A的說法不正確,不符合題意; ∵證法1按照定理證明的一般步驟,從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C,得出結(jié)論的正確, ∴B的說法正確,符合題意; ∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C,不能用特殊情形來說明, ∴C的說法不
26、正確,不符合題意; ∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C,與測量次解答數(shù)的多少無關(guān), ∴D的說法不正確,不符合題意; 綜上,B的說法正確. 故選:B. 14.(2分)小明調(diào)查了本班每位同學最喜歡的顏色,并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2(柱的高度從高到低排列).條形圖不小心被撕了一塊,圖2中“( ?。睉?yīng)填的顏色是( ) A.藍 B.粉 C.黃 D.紅 【參考答案】解:根據(jù)題意得: 510%=50(人), 1650%=32%, 則喜歡紅色的人數(shù)是:5028%=14(人), 50﹣16﹣5﹣14=15(人), ∵柱的高度從高到低排列, ∴圖2中“( ?。睉?yīng)填的顏色
27、是紅色. 故選:D. 15.(2分)由(﹣)值的正負可以比較A=與的大小,下列正確的是( ?。? A.當c=﹣2時,A= B.當c=0時,A≠ C.當c<﹣2時,A> D.當c<0時,A< 【參考答案】解:A選項,當c=﹣2時,A==﹣,故該選項不符合題意; B選項,當c=0時,A=,故該選項不符合題意; C選項,﹣ =﹣ =, ∵c<﹣2, ∴2+c<0,c<0, ∴2(2+c)<0, ∴>0, ∴A>,故該選項符合題意; D選項,當c<0時,∵2(2+c)的正負無法確定, ∴A與的大小就無法確定,故該選項不符合題意; 故選:C. 16.(2分)如圖,等腰
28、△AOB中,頂角∠AOB=40,用尺規(guī)按①到④的步驟操作: ①以O(shè)為圓心,OA為半徑畫圓; ②在⊙O上任取一點P(不與點A,B重合),連接AP; ③作AB的垂直平分線與⊙O交于M,N; ④作AP的垂直平分線與⊙O交于E,F(xiàn). 結(jié)論Ⅰ:順次連接M,E,N,F(xiàn)四點必能得到矩形; 結(jié)論Ⅱ:⊙O上只有唯一的點P,使得S扇形FOM=S扇形AOB. 對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是( ?。? A.Ⅰ和Ⅱ都對 B.Ⅰ和Ⅱ都不對 C.Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D.Ⅰ對Ⅱ不對 【參考答案】解:如圖,連接EM,EN,MF.NF. ∵OM=ON,OE=OF, ∴四邊形MENF是平行四邊形, ∵EF=MN
29、, ∴四邊形MENF是矩形,故(Ⅰ)正確, 觀察圖象可知∠MOF≠∠AOB, ∴S扇形FOM≠S扇形AOB,故(Ⅱ)錯誤, 故選:D. 二、填空題(本大題有3個小題,每小題有2個空,每空2分,共12分) 17.(4分)現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片(邊長如圖). (1)取甲、乙紙片各1塊,其面積和為 a2+b2?。? (2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形,先取甲紙片1塊,再取乙紙片4塊,還需取丙紙片 4 塊. 【參考答案】解:(1)由圖可知:一塊甲種紙片面積為a2,一塊乙種紙片的面積為b2,一塊丙種紙片面積為ab, ∴取甲、乙紙片各1塊,其面積和為a2
30、+b2, 故答案為:a2+b2; (2)設(shè)取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個新的正方形, ∴a2+4b2+xab是一個完全平方式, ∴x為4, 故答案為:4. 18.(4分)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖),AE與BD的交點為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調(diào)整∠D的大小,使∠EFD=110,則圖中∠D應(yīng) 減小?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”) 10 度. 【參考答案】解:延長EF,交CD于點G,如圖: ∵∠ACB=180﹣50﹣60=70, ∴∠ECD=∠ACB=70. ∵∠DGF=∠DCE+∠E, ∴∠DGF=70+30=100. ∵∠EFD=110,
31、∠EFD=∠DGF+∠D, ∴∠D=10. 而圖中∠D=20, ∴∠D應(yīng)減小10. 故答案為:減小,10. 19.(4分)用繪圖軟件繪制雙曲線m:y=與動直線l:y=a,且交于一點,圖1為a=8時的視窗情形. (1)當a=15時,l與m的交點坐標為 ?。?,15)?。? (2)視窗的大小不變,但其可視范圍可以變化,且變化前后原點O始終在視窗中心. 例如,為在視窗中看到(1)中的交點,可將圖1中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?,其可視范圍就由?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20(如圖2).當a=﹣1.2和a=﹣1.5時,l與m的交點分別是點A和B,為
32、能看到m在A和B之間的一整段圖象,需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼?,則整數(shù)k= 4?。? 【參考答案】解:(1)a=15時,y=15, 由得:, 故答案為:(4,15); (2)由得, ∴A(﹣50,﹣1.2), 由得, ∴B(﹣40,﹣1.5), 為能看到m在A(﹣50,﹣1.2)和B(﹣40,﹣1.5)之間的一整段圖象,需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模? ∴整數(shù)k=4. 故答案為:4. 三、解答題(本大題有7個小題,共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 20.(8分)某書店新進了一批圖書,甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/
33、本.現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書,共付款Q元. (1)用含m,n的代數(shù)式表示Q; (2)若共購進5104本甲種書及3103本乙種書,用科學記數(shù)法表示Q的值. 【參考答案】(1)由題意可得:Q=4m+10n; (2)將m=5104,n=3103代入(1)式得: Q=45104+103103=2.3105. 21.(9分)已知訓(xùn)練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個,設(shè)A品牌乒乓球有x個. (1)淇淇說:“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍.”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程:101﹣x=2x.請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確; (2)據(jù)工作人員透露:B品牌球比A品牌球至少多28個
34、,試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個. 【參考答案】解:(1)嘉嘉所列方程為101﹣x=2x, 解得:x=33, 又∵x為整數(shù), ∴x=33不合題意, ∴淇淇的說法不正確. (2)設(shè)A品牌乒乓球有x個,則B品牌乒乓球有(101﹣x)個, 依題意得:101﹣x﹣x≥28, 解得:x≤36, 又∵x為整數(shù), ∴x可取的最大值為36. 答:A品牌球最多有36個. 22.(9分)某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示.嘉淇進入展廳后開始自由參觀,每走到一個十字道口,她自己可能直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),且這三種可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率; (
35、2)補全圖2的樹狀圖,并分析嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大. 【參考答案】解:(1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率為; (2)補全樹狀圖如下: 共有9種等可能的結(jié)果,嘉淇經(jīng)過兩個十字道口后向西參觀的結(jié)果有3種,向南參觀的結(jié)果有2種,向北參觀的結(jié)果有2種,向東參觀的結(jié)果有2種, ∴向西參觀的概率為=,向南參觀的概率=向北參觀的概率=向東參觀的概率=, ∴向西參觀的概率大. 23.(9分)如圖是某機場監(jiān)控屏顯示兩飛機的飛行圖象,1號指揮機(看成點P)始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行,2號試飛機(看成點Q)一直保持在1號機P的正下方.2
36、號機從原點O處沿45仰角爬升,到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行,再過1min到達B處開始沿直線BC降落,要求1min后到達C(10,3)處. (1)求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式,并直接寫出2號機的爬升速度; (2)求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式,并預(yù)計2號機著陸點的坐標; (3)通過計算說明兩機距離PQ不超過3km的時長是多少. [注:(1)及(2)中不必寫s的取值范圍] 【參考答案】解:(1)∵2號飛機爬升角度為45, ∴OA上的點的橫縱坐標相同. ∴A(4,4). 設(shè)OA的解析式為:h=ks, ∴4k=4. ∴k=1. ∴OA的解析式為:h=s. ∵2號試飛機一
37、直保持在1號機的正下方, ∴它們的飛行的時間和飛行的水平距離相同. ∵2號機的爬升到A處時水平方向上移動了4km,爬升高度為4km, 又1號機的飛行速度為3km/min, ∴2號機的爬升速度為:4=3km/min. (2)設(shè)BC的解析式為h=ms+n, 由題意:B(7,4), ∴, 解得:. ∴BC的解析式為h=. 令h=0,則s=19. ∴預(yù)計2號機著陸點的坐標為(19,0). (3)∵PQ不超過3km, ∴5﹣h≤3. ∴, 解得:2≤s≤13. ∴兩機距離PQ不超過3km的時長為:(13﹣2)3=min. 24.(9分)如圖,⊙O的半徑為6,將該圓周12
38、等分后得到表盤模型,其中整鐘點為An(n為1~12的整數(shù)),過點A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點P. (1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長; (2)連接A7A11,則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系?請簡要說明理由; (3)求切線長PA7的值. 【參考答案】解:(1)由題意,∠A7OA11=120, ∴的長==4π>12, ∴比直徑長. (2)結(jié)論:PA1⊥A7A11. 理由:連接A1A7. ∵A1A7是⊙O的直徑, ∴∠A7A11A1=90, ∴PA1⊥A7A11. (3)∵PA7是⊙O的切線, ∴PA7⊥A1A7, ∴∠PA7A1=90
39、, ∵∠PA1A7=60,A1A7=12, ∴PA7=A1A7?tan60=12. 25.(10分)如圖是某同學正在設(shè)計的一動畫示意圖,x軸上依次有A,O,N三個點,且AO=2,在ON上方有五個臺階T1~T5(各拐角均為90),每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階T1到x軸距離OK=10.從點A處向右上方沿拋物線L:y=﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P. (1)求點A的橫坐標,且在圖中補畫出y軸,并直接指出點P會落在哪個臺階上; (2)當點P落到臺階上后立即彈起,又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C的解析式,并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點; (
40、3)在x軸上從左到右有兩點D,E,且DE=1,從點E向上作EB⊥x軸,且BE=2.在△BDE沿x軸左右平移時,必須保證(2)中沿拋物線C下落的點P能落在邊BD(包括端點)上,則點B橫坐標的最大值比最小值大多少? [注:(2)中不必寫x的取值范圍] 【參考答案】解:(1)圖形如圖所示,由題意臺級T4左邊的端點坐標(4.5,7),右邊的端點(6,7), 對于拋物線y=﹣x2+4x+12, 令y=0,x2﹣4x﹣12=0,解得x=﹣2或6, ∴A(﹣2,0), ∴點A的橫坐標為﹣2, 當x=4.5時,y=9.75>7, 當x=6時,y=0<7, 當y=7時,7=﹣x2+4x+1
41、2, 解得x=﹣1或5, ∴拋物線與臺級T4有交點,設(shè)交點為R(5,7), ∴點P會落在哪個臺階T4上. (2)由題意拋物線C:y=﹣x2+bx+c,經(jīng)過R(5,7),最高點的縱坐標為11, ∴, 解得或(舍棄), ∴拋物線C的解析式為y=﹣x2+14x﹣38, 對稱軸x=7, ∵臺階T5的左邊的端點(6,6),右邊的端點為(7.5,6), ∴拋物線C的對稱軸與臺階T5有交點. (3)對于拋物線C:y=﹣x2+14x﹣38, 令y=0,得到x2﹣14x+38=0,解得x=7, ∴拋物線C交x軸的正半軸于(7+,0), 當y=2時,2=﹣x2+14x﹣38,解
42、得x=4或40, ∴拋物線經(jīng)過(10,2), Rt△BDE中,∠DEB=90,DE=1,BE=2, ∴當點D與(7+,0)重合時,點B的橫坐標的值最大,最大值為8+, 當點B與(10,2)重合時,點B的橫坐標最小,最小值為10, ∴點B橫坐標的最大值比最小值大﹣1. 26.(12分)在一平面內(nèi),線段AB=20,線段BC=CD=DA=10,將這四條線段順次首尾相接.把AB固定,讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角α(α>0)到某一位置時,BC,CD將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置. 論證:如圖1,當AD∥BC時,設(shè)AB與CD交于點O,求證:AO=10; 發(fā)現(xiàn):當旋轉(zhuǎn)角α=60時,∠AD
43、C的度數(shù)可能是多少? 嘗試:取線段CD的中點M,當點M與點B距離最大時,求點M到AB的距離; 拓展:①如圖2,設(shè)點D與B的距離為d,若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P,直接寫出BP的長(用含d的式子表示); ②當點C在AB下方,且AD與CD垂直時,直接寫出a的余弦值. 【參考答案】論證: 證明:∵AD∥BC, ∴∠A=∠B,∠C=∠D, 在△AOD和△BOC中, , ∴△AOD≌△BOC(ASA), ∴AO=BO, ∵AO+BO=AB=20, ∴AO=10; 發(fā)現(xiàn):設(shè)AB的中點為O,如圖: 當AD從初始位置AO繞A順時針旋轉(zhuǎn)60時,BC也從初始位置BC繞
44、點B順時針旋轉(zhuǎn)60, 而BO=BC=10, ∴△BCO是等邊三角形, ∴BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置,即C以O(shè)重合, ∵AO=AD=CD=10, ∴△ADC是等邊三角形, ∴∠ADC=60; 嘗試:取線段CD的中點M,當點M與點B距離最大時,D、C、B共線,過D作DQ⊥AB于Q,過M作MN⊥AB于N,如圖: 由已知可得AD=10,BD=BC+CD=20,BM=CM+BC=15, 設(shè)AQ=x,則BQ=20﹣x, ∵AD2﹣AQ2=DQ2=BD2﹣BQ2, ∴100﹣x2=400﹣(20﹣x)2, 解得x=, ∴AQ=, ∴DQ==, ∵DQ⊥AB,MN⊥AB, ∴MN
45、∥DQ, ∴=,即=, ∴MN=, ∴點M到AB的距離為; 拓展: ①設(shè)直線CP交DB于H,過G作DG⊥AB于G,連接DP,如圖: ∵BC=DC=10,CP平分∠BCD, ∴∠BHC=∠DHC=90,BH=BD=d, 設(shè)BG=m,則AG=20﹣m, ∵AD2﹣AG2=BD2﹣BG2, ∴100﹣(20﹣m)2=d2﹣m2, ∴m=, ∴BG=, ∵∠BHP=∠BGD=90,∠PBH=∠DBG, ∴△BHP∽△BGD, ∴=, ∴BP==; ②過B作BG⊥CD于G,如圖: 設(shè)AN=t,則BN=20﹣t,DN==, ∵∠D=∠BGN=90,∠AND=∠
46、BNG, ∴△ADN∽△BGN, ∴==, 即==, ∴NG=,BG=, Rt△BCG中,BC=10, ∴CG==, ∵CD=10, ∴DN+NG+CG=10, 即++=10, ∴t+(20﹣t)+20=10t, 20+20=10t,即2=t﹣2, 兩邊平方,整理得:3t2﹣40t=﹣4t, ∵t≠0, ∴3t﹣40=﹣4, 解得t=(大于20,舍去)或t=, ∴AN=, ∴cosα===. 方法二:過C作CK⊥AB于K,過F作FH⊥AC于H,如圖: ∵AD=CD=10,AD⊥DC, ∴AC2=200, ∵AC2﹣AK2=BC2﹣BK2, ∴200﹣AK2=100﹣(20﹣AK)2, 解得AK=, ∴CK==, Rt△ACK中,tan∠KAC==, Rt△AFH中,tan∠KAC==, 設(shè)FH=n,則CH=FH=n,AH=5n, ∵AC=AH+CH=10, ∴5n+n=10, 解得n=, ∴AF==n=?=, Rt△ADF中, cosα===.
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