2019-2020年高中數(shù)學知識精要 4.新課標新題型教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學知識精要 4.新課標新題型教案 新人教A版 xx年全國數(shù)學考試大綱（課標版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新意識。其中創(chuàng)新意識指對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識：首先是能獨立思考、善于發(fā)現(xiàn)、提出有價值的問題，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題. xx年山東數(shù)學考試說明對創(chuàng)新意識的界定是：能夠獨立思考，靈活和綜合地運用所學數(shù)學的知識、思想和方法，創(chuàng)造性地提出問題、分析問題和解決問題． 創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強. 對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查.在考試中創(chuàng)設新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學問題，要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性.精心設計考查數(shù)學主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)的試題；反映數(shù)、形運動變化的試題；研究型、探索型、開放型的試題. 一、開放型 開放型問題是指那些題目條件不完備、結(jié)論不明確、或者答案不唯一，給學生留有較大探索余地的試題．一般有題設開放型、結(jié)論開放型、題設和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．其中結(jié)論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論;題設開放型探索性問題的特點是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的．就視為正確的；全開放型，題設、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。 1. 條件開放型 這類題目的特點是給出了題目的結(jié)論，但沒有給出滿足結(jié)論的條件，并且這類條件常常是不唯一的，需要解題者從結(jié)論出發(fā)，通過逆向思維去判斷能夠追溯出產(chǎn)生結(jié)論的條件，并通過推理予以確認．這種條件探究性問題實質(zhì)上是尋找使命題為真的充分條件（未必是充要條件）．解決此類問題的策略有兩種，一種是將結(jié)論作為已知條件，逐步探索，找出結(jié)論成立所需的條件，這也是我們通常所說的"分析法"；第二種是假設題目中指定的探索條件，把它作為已知，并結(jié)合其他題設進行推導，如果能正確推導出結(jié)論，則此探索條件就可以作為題設條件，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答． 1．在四棱錐中，四條側(cè)棱長都相等，底面是梯形，，．為保證頂點P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需滿足條件___________________（填上你認為正確的一個條件即可）． 講解： 條件給我們以啟示．由于四條側(cè)棱長都相等，所以，頂點P在底面上的射影O到梯形四個頂點的距離相等．即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是O．顯然梯形必須為等腰梯形． 再看結(jié)論．結(jié)論要求這個射影在梯形的外部，事實上，我們只需找出使這個結(jié)論成立的一個充分條件即可． 顯然，點B、C應該在過A的直徑AE的同側(cè)．不難發(fā)現(xiàn)，應該為鈍角三角形． 故當（且AC>BC）時可滿足條件．其余等價的或類似的條件可以隨讀者想象． 點評：本題為條件探索型題目，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分條件，可將題設和結(jié)論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件．這類題要求學生變換思維方向，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力． 2.如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件__________時，有A1C⊥B1D1（注：填上你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況） 分析：本題是條件探索型試題，即尋找結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分條件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一條斜線A1C與面內(nèi)的一條直線B1D1互相垂直），容易聯(lián)想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1與CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。顯然，CA1在平面A1C1上的射影為A1C1，故當B1D1⊥A1C1時，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而B1D1∥BD，A1C1∥AC。因此，當BD⊥AC時，有A1C⊥B1D1。由于本題是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分條件，故當四邊形ABCD為菱形或正方形時，依然有BD⊥AC，從而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四邊形ABCD為菱形，或③四邊形ABCD為正方形中的任一個條件即可。 點評: AC⊥BD是結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件． 本例中，滿足題意的充分條件不唯一，具有開放性特點，這類試題重在考查基礎知識的靈活運用以及歸納探索能力。 3.如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為，A、B為直線a上兩定點，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動的長度為2p的線段. （1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求△AMN的外心C的軌跡E； （2）接上問，當△AMN的外心C在E上什么位置時，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）. 解：（1）以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標系. 設△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由題意，有|CA|=|CM| ∴,化簡，得x2=2py 它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線. （2）由（1）得，直線C恰為軌跡E的準線. 由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0,）是拋物線的焦點. ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜ 由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點 直線BF的方程為聯(lián)立方程組 得. 即C點坐標為(). 此時d+｜BC｜的最小值為｜BF｜=. 2.結(jié)論開放型 這類題目的特點是給出一定的條件，要求從條件出發(fā)去探索結(jié)論，而結(jié)論往往是不唯一的，甚至是不確定的，或給出特例后通過歸納得出一般性結(jié)論. 解決此類問題的策略有：從已知條件出發(fā)，運用所學過的知識進行推理、探究或?qū)嶒灥贸鼋Y(jié)論；通過歸納得出一般性結(jié)論，再去證明；對多種結(jié)論進行優(yōu)化（內(nèi)含分類討論）等. 3．老師給出一個函數(shù)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)： 甲：對于，都有； 乙：在上函數(shù)遞減； 丙：在上函數(shù)遞增； ?。翰皇呛瘮?shù)的最小值． 如果其中恰有三個人說得正確，請寫出一個這樣的函數(shù)：____________． 講解：首先看甲的話，所謂“對于，都有”，其含義即為：函數(shù)的圖像關于直線對稱．數(shù)形結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)：甲與丙的話相矛盾．（在對稱軸的兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性相反） 因此，我們只需選擇滿足甲、乙、?。ɑ蛞?、丙、?。l件的函數(shù)即可． 如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數(shù)，則需要認識到：所謂函數(shù)在上單調(diào)遞減，并不是說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間只有．考慮到關于直線的對稱性，我們不妨構(gòu)造函數(shù)，使之在上單調(diào)遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質(zhì)．如即可． 如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數(shù)，則分段函數(shù)是必然的選擇．如． 點評：本題考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握．思考這樣的問題，常常需要從熟悉的函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等）入手，另外，分段函數(shù)往往是解決問題的關鍵． （xx年全國高考) 、是兩個不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷： ①⊥； ②⊥； ③⊥； ④⊥． 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：____________________________．②③④①／①③④②； 4.（xx年全國高考試題）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是_____________（要求把可能的圖形的序號都填上） 分析：本題為結(jié)論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。 解：由于正方體的6個面可分為互為平行的三對，而四邊形BFD1E的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：在上、下兩面上的射影為圖②；b：在前、后兩面上的射影為圖②；c：在左、右兩面上的射影為圖③. 綜上可知，在正方體各面上的射影是圖②或圖③。 點評：這也是一道結(jié)論探索型問題，結(jié)論不唯一，應從題設出發(fā)，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結(jié)論。 3.條件和結(jié)論都開放型 有些題目條件和結(jié)論都是不確定的，但是給出了一定量的信息和情景，要求解題者在題目給出的情景中，自行設定條件，自己尋找結(jié)論，自己構(gòu)建命題并進行演繹推理． 5.設f(x) 是定義域為R的一個函數(shù)，給出下列五個論斷： ① f(x)的值域為R； ② f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)； ③ f(x)是奇函數(shù)； ④ f(x)在任意區(qū)間[a, b] (a f(b)； ⑤ f(x)有反函數(shù)． 以其中某一論斷為條件，另一論斷為結(jié)論（例如：⑤①），至少寫出你認為正確的三個命題： . 講解：本題考察對于函數(shù)性質(zhì)的理解． 根據(jù)單調(diào)性的定義，不難知道：②⑤等價，又由于單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，所以，不難寫出三個正確命題：②⑤；④⑤；②④（或④②）． 進一步思考，函數(shù)的值域與單調(diào)性、奇偶性并無直接聯(lián)系，而且單調(diào)性與是否存在反函數(shù)之間也不是等價的關系．所以，可以知道，只有上述三個正確命題． 6．已知是實數(shù)，給出下列四個論斷： （1）；（2）； （3）；（4） 以其中的兩個論斷為條件，其余兩個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題． __________________________________． 講解 ：顯然，（1）、（2）等價，它們的含義均為：同號．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正確的命題為：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）． 點評：對于這一類只給出了一個特定的情境，而命題的條件、結(jié)論及推理論證的過程均不確定的開放性試題，應該靈活運用數(shù)學知識，回顧相近的題型、結(jié)論、方法，進行類比猜想．在給定的情境中自己去假設，去求解，去調(diào)整方法，去確定結(jié)果． 7.（xx年全國高考試題）α,β是兩個不同的平面，m , n是平面α,β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：① m ⊥ n ，② α ⊥ β ，③ n ⊥ β ，④ m ⊥ α ．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題． 8.已知函數(shù) ,給出以下三個條件: (1) 存在，使得； (2) 成立； (3) 在區(qū)間上是增函數(shù). 若同時滿足條件 和 （填入兩個條件的編號），則的一個可能的解析式為 . 答案：滿足條件(1)(2)時,等；滿足條件(1)(3)時,等；滿足條件(2)(3)時,等. 二、信息遷移型 這類題目的特點是通過文字或圖表等給出了中學數(shù)學內(nèi)容中沒有遇到過的新知識，這些新知識可以是新概念，新定義，新定理和新規(guī)則，新情境，并且這些解題的信息有可能不是直接給出的，要求解題者通過觀察，閱讀，歸納，探索進行遷移，即讀懂新概念，理解新情境，獲取有用的新信息，然后運用這些有用的信息進一步演算和推理，從而考察在新的信息，新的情景下，獨立獲取和運用新信息的能力，綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力和探索能力．解答此類問題的方法主要是讀懂和理解題中給出的新概念，并能將陌生的情景和熟悉的知識內(nèi)容之間產(chǎn)生聯(lián)想，使知識產(chǎn)生遷移，進而解決問題。 信息遷移題，由于信息呈現(xiàn)的方式不同，又可分為定義信息型，圖表信息型，圖像圖形信息型等． 1.定義信息型 1.（xx年上海春季高考）若記號“*”表示求兩個實數(shù)與的算術平均數(shù)的運算，即，則兩邊均含有運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實當選、、都能成立的一個等式可以是__________________． 答案：，等. 2.已知數(shù)列 的前 項的“均倒數(shù)”為 ． （1）求 的通項公式； （2）設 ，試判斷并說明 的符號； （3）設函數(shù) ，是否存在最大的實數(shù) ，當 時，對于一切自然數(shù) ，都有 ． 講解　(1)由題意，得關系式　 ， 從而有． 將兩式相減，得 ，而 ． (2)應用（１）的結(jié)論，得 ， 于是　 . (3) 由（2）知 是數(shù)列 中的最小項， ∵ 時，對于一切自然數(shù) ，都有 ，即 ， ∴ ，即 ， 解之，得 ， ∴取 ． 點評　“均倒數(shù)”是指已知數(shù)列 的前 項的算術平均數(shù)的倒數(shù)． 3．在 ，且對任何 都有： （i） ； （ii） ； （iii） ，給出以下三個結(jié)論： （1） ； （2） ； （3） 其中正確的個數(shù)為（A ）． A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個 4.（北京卷）下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段、、的機動車輛數(shù)（假設：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則 （A） （B） （C） （D） 解：依題意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1‖AB‖. 其中真命題的個數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點，定義它們之間的一種“距離”： ①若點C在線段AB上，設C點坐標為(x0，y0)，x0在x1、x2之間，y0在y1、y2之間，則= ③在中， > = ∴命題① ③成立，而命題②在中，若則明顯不成立，選B. 6.（廣東卷）對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：，當且僅當；運算“”為：；運算“”為：，設，若，則 A. B. C. D. 解析：由得, 所以,故選B. O M（ ， ） 7.（遼寧卷）設是R上的一個運算,A是R的非空子集,若對任意有,則稱A對運算封閉,下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是 (A)自然數(shù)集 (B)整數(shù)集(C)有理數(shù)集 (D)無理數(shù)集 解析： A中1－2＝－1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿足條件；B中12＝0.5不是整數(shù)，即整數(shù)集不滿足條件；C中有理數(shù)集滿足條件；D中不是無理數(shù)，即無理數(shù)集不滿足條件，故選擇答案C。 【點評】本題考查了閱讀和理解能力，同時考查了做選擇題的一般技巧排除法。 8．（山東卷）定義集合運算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為 （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 解：當x＝0時，z＝0，當x＝1，y＝2時，z＝6，當x＝1，y＝3時，z＝12，故所有元素之和為18，選D 9．(陜西卷)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 解析：當接收方收到密文14，9，23，28時， 則，解得，解密得到的明文為C． 10．(上海卷)(理) 如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對（，）是點M的“距離坐標”．已知常數(shù)≥0，≥0，給出下列命題： ①若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且 僅有1個； ②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為（，） 的點有且僅有2個； ③若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有 且僅有4個． 上述命題中，正確命題的個數(shù)是 （ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：選（D） ① 正確，此點為點； ② 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； ③ 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點； (上海卷)（文）如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對是點的“距離坐標”，根據(jù)上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點的個數(shù)是____________. 11．(上海卷)如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是 （A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 解析：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”； 12．（四川卷）非空集合關于運算滿足：（1）對任意、，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱關于運算為“融洽集”?，F(xiàn)給出下列集合和運算： ①{非負整數(shù)}，為整數(shù)的加法。 ②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法。 ③{平面向量}，為平面向量的加法。 ④{二次三項式}，為多項式的加法。 ⑤{虛數(shù)}，為復數(shù)的乘法。 其中關于運算為“融洽集”的是 （寫出所有“融洽集”的序號） 解析：非空集合關于運算滿足：（1）對任意，都有； （2）存在，使得對一切，都有，則稱關于運算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運算： ①,滿足任意，都有，且令，有，所以①符合要求； ②,若存在，則，矛盾， ∴ ②不符合要求； ③,取，滿足要求，∴ ③符合要求； ④，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，所以④不符合要求； ⑤，兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實數(shù)，∴ ⑤不符合要求， 這樣關于運算為“融洽集”的有①③。 13.若記號“*”表示兩個實數(shù)a與b的算術平均的運算，即，則兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，且對于任意3個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是_______________。 解析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不惟一。這題要把握住，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數(shù)，而且等式兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，則可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正確的結(jié)論還有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。 試題（陌生的情境） 聯(lián)想 已有知識網(wǎng)絡 審題（閱讀、理解、探索） 遷移、提取相關信息 獲解 確認（熟悉的情境） 點評：通過閱讀，正確理解和運用新定義，是解決問題的關鍵． 2.圖表信息型 14．一個正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）： 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7 … … 則第9行中的第4個數(shù)是（C ）． A. 132 B. 255 C. 259 D. 260 15. 向明中學的甲、乙兩同學利用暑假到某縣進行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進行調(diào)查研究，得到如下兩個不同的信息圖： （A）圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞; （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個. 請你根據(jù)提供的信息解答下列問題： （1）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？ （2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？ 講解 （1）設第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為，平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只， 由圖（B）可知, =30，且點在一直線上， 從而 由圖（A）可知, 且點在一直線上， 于是 =（萬只），（萬只） 第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只； （2）由 （萬只）， 第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只. 有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的. 16.（xx年全國高考試題）《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累進計算： 全月應納稅所得額 稅率 不超過500元的部分 5% 超過500元至xx元的部分 10% 超過xx元至5000元的部分 15% 某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于（ ）元． （A）800～900 （B）900～1200 （C）1200～1500 （D）1500～2800 17.（xx年上海高考題）一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關系．圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫，圖（2）表示某家庭在這年12個月中每月的用電量．根據(jù)這些信息，以下關于該家庭用電量與氣溫間關系的敘述中，正確的是：（ ） （A） 氣溫最高時，用電量最多． （B） 氣溫最低時，用電量最少． （C） 當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加． （D） 當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫降低而增加． 18.（xx年上海市高考試題）據(jù)報道，我國目前已成為世界上受荒漠化危害最嚴重的國家之一，下左圖表示我國土地沙化總面積在上個世紀五六十年代，七八十年代，九十年代的變化情況．由圖中的相關信息，可將上述有關年代中，我國年平均土地沙化面積在下右圖圖示為 講解：本題考察讀圖的能力． 從1950年到xx年的土地沙化總面積為一條折線，說明這一段的土地沙化總面積不是勻速增長的．但相應于這條折線的每一段線段，都代表其對應年份的土地沙化總面積勻速增長，即這一段的年平均土地沙化面積為定值．因此，分三段計算，不難得出結(jié)論，如圖． 點評：函數(shù)三種表示法（解析式、列表、圖像表示法）中，學生較為熟悉的是解析式表示法．然而，由于另外兩種表示法具有直觀、形象的特點，在實際應用中較為常見．因此，學會讀圖非常重要． 圖形、圖像信息型 19.（xx年全國高考試題）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情知，從一月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示，西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線線段表示． 圖1 圖2 （Ⅰ）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式 P =f(t)； 寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q =g(t)． （Ⅱ）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收 益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天） ． 解：（I）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關系為 　　　　　　　　　　　　 由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關系為 　　　　　　　　 　?。↖I）設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得 　　h(t)=f(t)-g(t) 　　即　　　　 　　當0≤t ≤200時，配方整理得 　　 　　所以，當t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100； 　　當200< t ≤300時，配方整理得 　　 　　所以，當t=300時，h(t)取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5．　　 　　綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大． 三、歸納型 規(guī)律性探索型命題是指從命題給出的多個具體的關系式，通過觀察、歸納、分析、比較，得出一般規(guī)律的命題。解題策略是：通過研究題設的變化規(guī)律，猜想結(jié)論，然后證明。 1.（xx廣東）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用表示）. xx年北京卷14圖 思路分析:法一：由題可知f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20，下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層的個數(shù)，而第一層的個數(shù)滿足1，3，6，10，15，…，通項公式是(不妨，，，…，，累加整理即得通項公式)，所以f(2)=f(1)+3=4，f(3)=f(2)+6=10，f(4)=f(3)+15=35，f(5)=f(4)+15=35，以此類推f(n)=f(n-1)+,于是累加得f(n)== =。所以答案應填10；. 點評 將數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和融合到xx年4月24至5月1日舉行的世乒賽這一實際情景當中，重點考察累加法求通項公式和常規(guī)數(shù)列的求和，此外觀察分析數(shù)據(jù)的能力也是本題考查的一個重要方面。當然要順利解出此題，個人的空間想象能力也是一個非常重要的方面，要求考生在頭腦中能清晰建立起“堆成正三棱錐”這一空間模型，并要注意相鄰兩堆個數(shù)變化的根本原因. 2. 若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 講解 (1)采用反證法. 若，即, 解得 從而與題設,相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因為 又,所以, 因為上式是關于變量的恒等式，故可解得、. 3.觀察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=， 寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 . 答案： sin2α+cos2(α+30)+sinαcos(α+30)= 四、類比型 類比在數(shù)學解題中有著十分重要的作用。 類比推理可用如下圖式描述：根據(jù) 其中分別與相同或相似， 推論：B類對象也具有與d相同或相似的屬性d。 這種題目的特點是給出一個數(shù)學情境或一個數(shù)學命題，要求解題者發(fā)散思維去聯(lián)想，類比，推廣，轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，推廣的命題，深入的命題. 常用的類比有： 1、平面與空間的類比 1.（xx年上海春季高考）如下圖．若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點與點，則三角形面積之比．若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點，點和點，則類似的結(jié)論為：______________________________． 把立體幾何知識與相關的平面幾何知識類比，是實現(xiàn)知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。 如，關于勾股定理，可有幾個類比： 勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中，有 類比1：長、寬、高分別為p,q,r,對角線長為d的長方體中，有 類比2：長方體交于某一頂點的三個長方形面的對角線長分別為p,q,r,長方體對角線長為d，則有 類比3：四面體交于一個頂點O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，則有： 我們知道正三角形內(nèi)任一點P到各邊距離之和為常數(shù)。分別從三條邊相等與三個角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一點P到各邊距離之和為常數(shù)”和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一點P到各邊距離之和為常數(shù)”?？梢宰C明這兩個命題都是正確的（利用面積法證明）。 在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結(jié)論是：“設三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.” 提醒：關于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦P系作對比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長； … … 2.同類之間類比（橢圓與雙曲線類比） 2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=，則{bn}也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應地，若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0，數(shù)列{dn}滿足dn= ，則數(shù)列{dn}也為等比數(shù)列. 答案：dn=（n∈N*） 3.（xx年上海市高考試題）在等差數(shù)列{an}中，若 a10= 0 ,則有等式a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19-n (n＜19 , n ∈N +)成立．類比上述性質(zhì)，相應地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9= 1 ，則有等式__________________成立． 4.有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設直徑所在直線的斜率存在）. 定理：過圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1. （Ⅰ）寫出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明； （Ⅱ）寫出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請寫出你的結(jié)論. 解：（Ⅰ）設直徑的兩個端點分別為A、B,由橢圓的對稱性可得,A、B關于中心O（0,0）對稱,所以A、B點的坐標分別為A（,B（. P（上橢圓上任意一點,顯然, 因為A、B、P三點都在橢圓上,所以有 , ① , ②.而, 由①－②得： . 所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值. （Ⅱ）該定理在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值 該定理在有心圓錐曲線中的推廣應為：過有心圓錐曲線上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線,則兩條連線的斜率之積為定值－. 同類之間的類比在圓錐曲線中，常常以姐妹題形式出現(xiàn)，這樣對學生思維和素質(zhì)的考查具有很好的功能，而且題型新穎，避免了傳統(tǒng)的考法的單調(diào)。 3.與已知數(shù)學方法類比 5.設，利用推導等差數(shù)列前n項和的方法——倒序相加法，求的值為_______________。 解：本題類比數(shù)學方法，即利用倒序相加法，通過合情猜想即可解決。由 又∴，∴。 4.與已知概念類比 6.（xx年北京）定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列｛a｝等和數(shù)列，且，公和為5。那么的值為_______________，這個數(shù)列前n項和的計算公式為_______________。 分析：此題類比等差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類問題要認真理解所給出的定義，結(jié)合所學知識尋求正確解決方法。 解：∵｛a｝是等和數(shù)列，，公和為5， ∴，則，，…知，（n∈N*）。 ∴＝3，數(shù)列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。 ∴。 評注：這是一道新情境題型，關鍵要吃透定義，對于n為奇數(shù)時， 五、存在性型 存在性探索型命題是指在一定的條件下，判斷某種數(shù)學對象是否存在，進行演繹推理，若推出矛盾，則假設不成立，若推出結(jié)果，則假設成立，即指定的數(shù)學對象存在。 一般來說，是否存在型問題，實質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問題．相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結(jié)論較少（只有存在、不存在兩個結(jié)論，有些時候須討論），因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試的的青睞． 解答這一類問題，往往從承認結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性．探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素． 1．已知數(shù)列中，，且對于任意自然數(shù)，總有，是否存在實數(shù)，使得對于任意自然數(shù)恒成立？證明你的結(jié)論． 講解：是一個一般性的結(jié)論，為了探求是否存在，我們可從特殊的n出發(fā)，求出的值，再檢驗是否滿足一般的條件． 由，，代入，可解得． 代入檢驗，可知當時，一方面由得，另一方面，由得，矛盾． 所以，這樣的實數(shù)不存在． 點評：探索，常常遵循“從一般到特殊，再從特殊到一般”的思維方法．先從具體、特定的實例入手，從中探測出問題的結(jié)論，再經(jīng)過嚴格的論證． 2．已知函數(shù)（是自然數(shù)）是奇函數(shù)，有最大值，且． （Ⅰ）試求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）是否存在直線與的圖象只交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點的中點為（1，0）點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由． 講解：（Ⅰ）由為奇函數(shù)易知：． 又因為是自然數(shù)，所以，當時，<0；當時，．所以，的最大值必在時取得． 當時，，等號當且僅當時取得． 所以，． 又，所以，．結(jié)合是自然數(shù)，可得：． 所以，． （Ⅱ）對于“是否存在型”的問題，一般探索的方法為：假設存在，導出矛盾，或者從部分結(jié)論出發(fā)，導出其存在的必要條件，再驗證是否充分． 根據(jù)上述思路，我們可以假設存在滿足條件的直線，則、Q的坐標可為P，．且這兩點都在函數(shù)的圖像上．即： 消去，得，解得：． 所以，或． 所以，直線的方程為：． 的存在性還須通過充分性的檢驗． 把直線的方程與函數(shù)聯(lián)立，不難求得，共有三組解：． 因此，直線與的圖象共有三個交點，與“只交于兩點”矛盾．所以，滿足條件的直線不存在． 在得到這樣的解答之后，我們不妨回頭再看一看，在上述過程中，函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性）并沒有得到充分的應用．若能充分運用這個已知條件，則可以得到其他不同的探索過程． 解2：設，則由為奇函數(shù)可知：P關于原點的對稱點也在的圖像上， 又，所以，，且，故問題等價于： 是否存在直線，使得與有兩個距離為2的交點． 將代入，解之得：，令，解得：，， 所以，，此時直線的方程為 充分性的檢驗過程同上． 以上兩種解法都是從求出直線的方程入手．如果我們將著眼點放在“只交于兩點”，則可以得到下面簡潔的解法． 解3：當直線的斜率不存在時，，此時與函數(shù)的圖像只交于一點，不滿足題設，所以，可設直線的方程為：， 與聯(lián)立，消去得： （#） 由P、Q關于點（1，0）對稱，可得：點（1，0）在直線上，所以，． 對于上述方程（＃），若，則方程只有一解，不符合題意． 若，則方程（#）的實根個數(shù)可能為1個或3個．不可能有兩個．即過點（1，0）的直線與的圖象不可能只有兩個交點，所以，這樣的直線不存在． 點評：敏銳的觀察，豐富的想象，是進行有效探索的法寶． 3. 設等比數(shù)列的公比為 ，前 項和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請 明 理 由. 講解 存在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深化解題進程的. 設存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列. (i) 當 時， 代入上式得 即=0 但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列. (ii) 當 時，， 代 入 上 式 得 . 綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列. 等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 ! 4. 已知數(shù)列在直線x-y+1=0上. （1） 求數(shù)列{an}的通項公式； （2）若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值； (3)設表示數(shù)列{bn}的前n項和.試問:是否存在關于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由. 講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索. （1） （2） , （3）, . 故存在關于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立. 事實上, 數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 你知道嗎？ 六、解題策略開放型 1．（xx上海）三個同學對問題“關于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路． 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”． 丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數(shù),作出函數(shù)圖像”． 參考上述解題思路,你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論,即a的取值范圍是 ． 思路分析:采用乙說的思路.∵x∈[1,12],∴原題等價于x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恒成立. 下面求函數(shù)y=x++|x2－5x|的最小值. ∵x+≥10(當且僅當x=5∈[1,12]時,取最小值10) 且∵|x2－5x|≥0(當且僅當x=5時,取最小值0), ∴當且僅當x=5時,函數(shù)y=x++|x2－5x|取最小值10. 從而原題所求a的取值范圍是(－∞,10]. 點評 在傳統(tǒng)的求參數(shù)的取值范圍的基礎上糅合三位同學的說法，貼近生活，既考查了明辨是非的能力，也為該題本身降低了難度。知道為什么不采用另外兩條思路嗎？就甲說的而言,能否在x取同一值時取得最值值得討論；就丙說的而言,要準確無誤作出函數(shù)y=x2＋25＋|x3－5x2|的圖像比較困難；只有乙說的是常規(guī)思路,但如果觀察不出x+與|x2－5x|在同一處取得最小值這一細節(jié),求解過程也會很復雜. 2.若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是___________________（只需寫出一個可能的值）． 講解：本題為策略開放題，過程需學生自己設計． 由于四面體的棱長未一一給出，首先需探求和設計符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結(jié)論．本題只要求寫出一個可能的值，所以，我們可以盡量構(gòu)造相對簡單、易求值的圖形．如：底面為邊長為1的正三角形，側(cè)棱長均為2．不難算得，此時體積為． 作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形． 由于三角形的兩邊之長大于第三邊，所以，組成四面體各個面的三角形中，或者只有一邊長為1，或者3邊長全為1． 如果這些三角形中，有一個邊長為1的正三角形，則將其作為底面，考慮其側(cè)棱長，共四種情況：兩邊為1，一邊為2；一邊為1，兩邊長為2；三邊長全為2．簡單的考察不難知道，只有最后一種情況是可能的． 如果這些三角形中，不存在邊長為1的正三角形，則只可能有兩種情況：四面體的6條棱中，只有一組相對棱的長度為1，其余棱長全為2；只有一條棱長為1，其余棱長全為2． 綜上，共3種情況．如圖： 其體積分別為：．