2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.4 函數(shù)的奇偶性教案 新人教B版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.4 函數(shù)的奇偶性教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析　　　　　 本節(jié)討論函數(shù)的奇偶性是描述函數(shù)整體性質(zhì)的．教材沿用了處理函數(shù)單調(diào)性的方法，即先給出幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象，讓學(xué)生通過(guò)圖象直觀獲得函數(shù)奇偶性的認(rèn)識(shí)，然后利用表格探究數(shù)量變化特征，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量特征對(duì)定義域中的“任意”值都成立，最后在這個(gè)基礎(chǔ)上建立了奇(偶)函數(shù)的概念．因此教學(xué)時(shí)，充分利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，會(huì)使數(shù)與形的結(jié)合更加自然． 三維目標(biāo)　　　　　 1．理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力． 2．學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義． 教學(xué)難點(diǎn)：判斷函數(shù)的奇偶性的方法與書寫過(guò)程格式． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.同學(xué)們，我們生活在美的世界中，有過(guò)許多對(duì)美的感受，請(qǐng)大家想一下有哪些美呢？(學(xué)生回答可能有和諧美、自然美、對(duì)稱美……)今天，我們就來(lái)討論對(duì)稱美，請(qǐng)大家想一下哪些事物給過(guò)你對(duì)稱美的感覺呢？(學(xué)生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當(dāng)勞的標(biāo)志)生活中的美引入我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當(dāng)勞的標(biāo)志為例，給它適當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系，那么大家發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)呢？(學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．)數(shù)學(xué)中對(duì)稱的形式也很多，這節(jié)課我們就同學(xué)們談到的與y軸對(duì)稱的函數(shù)展開研究． 思路2.結(jié)合軸對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的定義，請(qǐng)同學(xué)們觀察圖形，說(shuō)出函數(shù)y＝x2和y＝x3的圖象各有怎樣的對(duì)稱性？引出課題：函數(shù)的奇偶性． 推進(jìn)新課　　　　　 ①如下圖所示，觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性． ②那么如何利用函數(shù)的解析式描述函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱呢？填寫下面兩表，你發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的解析式具有什么共同特征？ x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| ③請(qǐng)給出偶函數(shù)的定義？ ④偶函數(shù)的圖象有什么特征？ ⑤函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數(shù)嗎？ ⑥偶函數(shù)的定義域有什么特征？ ⑦觀察函數(shù)f(x)＝x和f(x)＝的圖象，類比偶函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，給出奇函數(shù)的定義和性質(zhì)？ 活動(dòng)：教師從以下幾點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生： ①觀察圖象的對(duì)稱性． ②學(xué)生給出這兩個(gè)函數(shù)的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數(shù)稱為偶函數(shù)． ③利用函數(shù)的解析式來(lái)描述． ④偶函數(shù)的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． ⑤函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]的圖象關(guān)于y軸不對(duì)稱；對(duì)定義域[－1,2]內(nèi)x＝2，f(－2)不存在， 即其函數(shù)的定義域中任意一個(gè)x的相反數(shù)－x不一定也在定義域內(nèi)，即f(－x)＝f(x)不恒成立． ⑥偶函數(shù)的定義域中任意一個(gè)x的相反數(shù)－x一定也在定義域內(nèi)，此時(shí)稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． ⑦先判斷它們的圖象的共同特征是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再列表格觀察自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值的變化情況，進(jìn)而抽象出奇函數(shù)的概念，再討論奇函數(shù)的性質(zhì)． 給出偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義后，要指明：(1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；(2)由函數(shù)的奇偶性定義，可知函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(4)可以利用圖象判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為定義法；(5)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的性質(zhì)是“整體”性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的子集上的性質(zhì)是“局部”性質(zhì)． 討論結(jié)果：①這兩個(gè)函數(shù)之間的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱． ②填表如下． x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| 3 2 1 0 1 2 3 這兩個(gè)函數(shù)的解析式都滿足： f(－3)＝f(3)； f(－2)＝f(2)； f(－1)＝f(1)． 可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意的兩個(gè)相反數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，也就是說(shuō)對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)． ③設(shè)函數(shù)y＝g(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)， 則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)． ④偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． ⑤不是偶函數(shù)． ⑥偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱． ⑦設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，其定義域關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱． 思路1 例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性： (1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1； (3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]． 解：(1)函數(shù)f(x)＝x＋x3＋x5的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R. 因?yàn)閒(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)． (2)函數(shù)f(x)＝x2＋1的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R. 因?yàn)閒(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， 所以f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)＝x＋1的定義域是R，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R. 因?yàn)閒(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)， 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)． 因此，f(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (4)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]，所以f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：在奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義中，都要求x∈D，－x∈D，這就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域都一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)就失去了是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的前提條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，對(duì)定義域內(nèi)任意x，其相反數(shù)－x也在函數(shù)的定義域內(nèi)，此時(shí)稱為定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： ①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系． ③作出相應(yīng)結(jié)論： 若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數(shù). 變式訓(xùn)練 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x4； (2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋； (4)f(x)＝. 活動(dòng)：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義，利用定義來(lái)判斷其奇偶性．先求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么再判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)． 解：(1)函數(shù)的定義域是R，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x， 都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x4是偶函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域是R，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x5是奇函數(shù)． (3)函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x＋是奇函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x， 都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝是偶函數(shù)． 　例2研究函數(shù)y＝的性質(zhì)并作出它的圖象． 解：已知函數(shù)的定義域是x≠0的實(shí)數(shù)集，即{x∈R|x≠0}． 由函數(shù)的解析式可以推知：對(duì)任意的x值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＞0，函數(shù)的圖象在x軸的上方；函數(shù)的圖象在x＝0處斷開，函數(shù)的圖象被分為兩部分，且f(－x)＝f(x)，這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)x的絕對(duì)值變小時(shí)，函數(shù)值增大得非常快，當(dāng)x的絕對(duì)值變大時(shí)，函數(shù)的圖象向x軸的兩個(gè)方向上靠近x軸．由以上分析，以x＝0為中心，在x軸的兩個(gè)方向上對(duì)稱地選取若干個(gè)自變量的值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，列出x，y的對(duì)應(yīng)值表： x … －3 －2 －1 － … 0 … 1 2 3 … y … 1 4 … 不存在 … 4 1 … 在直角坐標(biāo)系中，描點(diǎn)、連成光滑曲線，就得到這個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖所示．由圖象可以看出，這個(gè)函數(shù)在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)y＝f(x)不是基本初等函數(shù)時(shí)，通常利用其性質(zhì)來(lái)畫其圖象，即根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性來(lái)估計(jì)其圖象的特點(diǎn). 變式訓(xùn)練 　畫出函數(shù)y＝的圖象． 解：函數(shù)定義域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，因此其圖象與兩坐標(biāo)軸均無(wú)交點(diǎn)． 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴函數(shù)y＝是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝在(0，＋∞)上的圖象，再作出該部分關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象，這兩部分合起來(lái)就是函數(shù)y＝的圖象． 如下圖所示． 思路2 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝x2，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋. 活動(dòng)：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義和函數(shù)的定義域的求法．先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．在(4)中注意定義域的求法，對(duì)任意x∈R，有＞＝|x|≥－x，則＋x＞0.則函數(shù)的定義域是R. 解：(1)因?yàn)樗亩x域[－1,2]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)． (2)因?yàn)樗亩x域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}，并不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f(x)＝既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)． (3)∵x2－4≥0且4－x2≥0， ∴x＝2， 即f(x)的定義域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0， ∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)． ∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性． 定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟是(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱時(shí)，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷f(－x)與f(x)或－f(x)是否相等；(2)當(dāng)f(－x)＝f(x)時(shí)，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(－x)＝－f(x)時(shí)，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)時(shí)，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 變式訓(xùn)練 1．函數(shù)f(x)＝2x2＋x4，x∈[a,1＋a]是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案：－ 2．判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)y＝x2，x∈[－1,1)； (2)y＝x3＋； (3)y＝. 答案：(1)非奇非偶函數(shù)；(2)奇函數(shù)；(3)偶函數(shù). 例2已知函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)f(x)＞0，f(2)＝1， (1)求證：f(x)是偶函數(shù)； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； (3)試比較f(－)與f()的大小． 分析：(1)轉(zhuǎn)化為證明f(－x)＝f(x)，利用賦值法證明f(－x)＝f(x)；(2)利用定義法證明單調(diào)性，證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是“去比賽”；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小，利用函數(shù)的奇偶性，將函數(shù)值f(－)和f()轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值． (1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[－1(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函數(shù)． (2)證明：設(shè)x2＞x1＞0，則 f(x2)－f(x1)＝f(x1)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()． ∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f()＞0，即f(x2)－f(x1)＞0. ∴f(x2)＞f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (3)解：由(1)知f(x)是偶函數(shù)，則有f(－)＝f()． 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f()＞f()．∴f(－)＞f()． 點(diǎn)評(píng)：本題是抽象函數(shù)問題，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其綜合應(yīng)用．判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性通常應(yīng)用定義法，比較抽象函數(shù)值的大小通常利用抽象函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較．其關(guān)鍵是將所給的關(guān)系式進(jìn)行有效的變形和恰當(dāng)?shù)馁x值. 變式訓(xùn)練 　已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x、y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)． (1)求f(1)、f(－1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由． 分析：(1)利用賦值法，令x＝y(tǒng)＝1得f(1)的值，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數(shù)，要借助于賦值法得f(－x)＝－f(x)． 解：(1)∵f(x)對(duì)任意x、y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令x＝y(tǒng)＝1時(shí)，有f(11)＝1f(1)＋1f(1)．∴f(1)＝0. ∴令x＝y(tǒng)＝－1時(shí)，有f[(－1)(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函數(shù)． ∵f(x)對(duì)任意x、y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)． 將f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù). 1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，則f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)． ∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－3 2．f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝__________，b＝__________. 解析：∵偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a－1＋2a＝0.∴a＝. ∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函數(shù)，∴b＝0. 答案：　0 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為(　　) A．－1　　　　　　　B．0　　　　　　　C．1　　　　　　　D．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)． 又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0. 答案：B 問題：利用圖象討論基本初等函數(shù)的奇偶性． 探究：利用判斷函數(shù)的奇偶性的方法：圖象法，可得 正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)是奇函數(shù)； 反比例函數(shù)y＝(k≠0)是奇函數(shù)； 一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，當(dāng)b＝0時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 課本本節(jié)練習(xí)B　1、2. 單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，而本節(jié)設(shè)計(jì)的題目不多，因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以利用課余時(shí)間補(bǔ)充，讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個(gè)性質(zhì)．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，注意培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，以便滿足高考要求． 奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． (2)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立． (3)f(－x)＝f(x) f(x)是偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函數(shù)． (4)f(－x)＝f(x) f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x) f(x)＋f(－x)＝0. (5)兩個(gè)奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù)． 奇偶性相同的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個(gè)函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù)；如果函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是偶函數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是奇函數(shù)，簡(jiǎn)稱為“同偶異奇”． (6)如果函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相同的單調(diào)性；如果函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相反的單調(diào)性． (7)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意函數(shù)f(x)可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，即f(x)＝＋. (8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函數(shù)，則f(0)＝0； 若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)； 若函數(shù)y＝f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則有f(x)＝0.