2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（2） 滬教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊 14.3《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案（2） 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 空間的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，前面我們已研究了兩異面直線所成的角，本節(jié)研究直線與平面所成的角 課本通過一個標(biāo)槍的實(shí)例說明了直線與平面所成的角有它的實(shí)際背景.接著借助圖14—22引出了一系列概念. 對于空間角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力． 求直線和平面所成的角的方法是： 射影轉(zhuǎn)化法.具體步驟如下：①找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③把該角置于三角形中計(jì)算. 注：①斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 理解并掌握斜線在平面內(nèi)的射影、直線和平面所成角的概念，根據(jù)概念先找直線射影后確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角，培養(yǎng)化歸能力、分析能力、觀察思考能力和空間想象能力等. 培養(yǎng)立體感、數(shù)學(xué)美感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)特別是立體幾何的興趣. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 斜線在平面內(nèi)的射影、直線和平面所成角的概念，求直線與平面 所成角的基本方法，難點(diǎn)是確定直線在平面上的射影 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 投影儀，ppt演示 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 鞏固 探究 引入 作業(yè) 總結(jié) 應(yīng)用 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 運(yùn)動員起跑時，腿部與地面給你怎樣一種形象？運(yùn)動員投出的標(biāo)槍落地以后，標(biāo)槍一定會垂直地面嗎？大都是怎樣的狀態(tài)？ [說明] 運(yùn)動員投出的標(biāo)槍落地以后，大多是插在地面上的，它們的狀態(tài)有時“偏陡”些，有時“偏平”些，如何描述標(biāo)槍落地時“偏陡”或“偏平”的程度呢？這就涉及到標(biāo)槍所在的直線與地面所成角的大小了，這節(jié)課我們要研究直線與平面所成的角 二、學(xué)習(xí)新課 問題1：（1）前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直，這其實(shí)是直線和平面相交的一種特殊情況，我們對它的研究，是將其轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的位置關(guān)系來進(jìn)行的，它體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？ （2）類比上述數(shù)學(xué)思想方法，我們該如何刻畫一條直線與一個平面所成的角呢？ [說明] 引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面垂直的位置關(guān)系研究中體現(xiàn)的“平面化、降維”的數(shù)學(xué)思想方法，通過對已學(xué)知識與思想方法的回憶，尋找新知識的“生長點(diǎn)”，同時滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法. 定義： 1．平面的斜線 當(dāng)直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，叫做平面的斜線. 斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個點(diǎn)到平面的斜線段．如圖14—22 2．射影 如圖14—22，設(shè)直線與平面斜交于點(diǎn)，過上任意點(diǎn)，作平面的垂線，垂足為，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)在平面上的射影，直線叫做直線在平面上的射影， 3．直線和平面所成角 規(guī)定直線與其平面上的射影所成的銳角叫做直線與平面所成的角． 我們規(guī)定，當(dāng)直線與平面垂直時，它們所成的角等于； 圖 14—22 若直線與平面平行或直線在平面上時，它們所成的角為； [說明]教師邊畫出課本圖形14-22，邊講解． 點(diǎn)O—點(diǎn)A在平面上的射影 AO—點(diǎn)A到平面的垂線段 直線AM—平面的一條斜線 M—斜足 線段AM—斜線段 直線OM—斜線AM在平面上的射影 線段OM—斜線段AM在平面上的射影 問題2： 1．直線與平面所成的角的大小與點(diǎn)在上的取法有關(guān)嗎？ 2．直線和平面所成角的范圍是多少？ 3．證明：與平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)的直線所成的所有角中，最?。? [說明] 直線與平面所成的角的大小與點(diǎn)在上的取法無關(guān)；直線和平面所成角的范圍是；斜線和平面所成角的范圍是 2．例題分析 例1．已知正方體中的棱長為， （1） 求直線和平面所成的角； （2）求直線和平面所成的角； （3）求直線和平面所成的角 解：（1）；（2）；（3）. [說明] 通過本例熟練掌握正方體的棱與面、對角線與面的關(guān)系，掌握求平面的斜線與平面所成角的其本步驟：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來. O A C B 例2．如圖, ∠BOC在α內(nèi),OA是α的斜線, ∠AOB=∠AOC=60,OA=OB=OC=a,求:OA和平面α所成角的大小 分析：此題關(guān)鍵是確定在內(nèi)的射影. 在本例中，可直接作于，進(jìn)而證明，從而確認(rèn)是在內(nèi)的射影. 也可過作于，進(jìn)而證明在上. 可求得OA和平面α所成角的大小為. [說明]正確確定點(diǎn)在平面上的射影的位置，是求直線與平面所成角的關(guān)鍵，只有確定了射影的位置，才能將空間問題順利地轉(zhuǎn)化為平面的問題. 確定點(diǎn)在平面上的射影位置有以下幾種方法： （1） 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； （2） 利用已知的垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影. 例3．在例1的正方體中，若分別是的中點(diǎn)，求和平面所成的角. 分析：在本例中仍可“一找二證三求”來求和平面所成的角.但是正方體的體對角線，而平面是正方體的面對角線所在的面，因此可以通過證明來說明和平面所成的角為. [說明] 直線和平面所成的角，包括直線和平面垂直，直線和平面平行或在平面內(nèi)，即角和角情況，所以求直線和平面所成角時，可先看是否是以上兩種特例. 3．問題拓展 例4．如圖，已知在平面內(nèi)，，， 求證：點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上． 證明：作，，垂足分別為，連結(jié)， ∵ ， ， 又∵，∴平面，∴．同理． 在和，， ∴，∴， 即點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上． [說明] 本題給出了一個很重要的結(jié)論：平面的一條斜線，如果和這個平面內(nèi)斜線為頂點(diǎn)的角的兩邊成等角，那么這條斜線在這個平面上的射影是這個角的平分線所在的直線，這個結(jié)論在解答一些問題時常常用到，如前面的例2. 三、鞏固練習(xí) P F E D C B A 練習(xí)：1.如圖,已知六邊形ABCDEF是邊長為a的正六邊形,PA垂直于六邊形ABCDEF所在的平面M,并且PA=a,求點(diǎn)P與正六邊形各頂點(diǎn)連線和平面M所成的角 2．課本頁練習(xí). [說明]通過練習(xí)進(jìn)一步掌握求直線和平面所成角的基本步驟.掌握直線與平面所成角的有關(guān)概念. 四、課堂小結(jié) 求直線與平面所成角解題的一般步驟是： （1）找出這個角；（2）證明該角符合題意；（3）作出這個角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度問題不論哪種情況都?xì)w結(jié)到兩條直線所成角的問題，即在線線成角中找到答案. 五、作業(yè)布置 1．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角. 2．A是△BCD所在平面外的點(diǎn)，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （1）求證：AB⊥CD； （2）求AB與平面BCD所成角的余弦值. [說明] 通過作業(yè)進(jìn)一步掌握求直線和平面所成角的基本步驟.掌握確定點(diǎn)在平面上的射影的方法. 六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 直線與平面所成的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念. 研究時要分清：斜線、垂線、直線，因此涉及的概念較多，為了便于學(xué)生理解記憶，要注意邊講邊畫圖，并在圖上注出有關(guān)概念的名稱. 為了更好的理解直線與平面所成的角的概念，引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面垂直的位置關(guān)系研究中體現(xiàn)的“平面化、降維”的數(shù)學(xué)思想方法，通過對已學(xué)知識與思想方法的回憶，尋找新知識的“生長點(diǎn)”，同時滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法. 接著通過例1，掌握求直線和平面所成的角的常用方法： 射影轉(zhuǎn)化法.具體步驟如下：①找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計(jì)算. 通過例2，了解正確確定點(diǎn)在平面上的射影的位置，是求直線與平面所成角的關(guān)鍵，只有確定了射影的位置，才能將空間問題順利地轉(zhuǎn)化為平面的問題.而確定點(diǎn)在平面上的射影位置有以下幾種方法： （1） 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； （2） 利用已知的垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影. 通過例3，對直線與平面所成的角的范圍更準(zhǔn)確、全面的理解. 通過例4，了解一個很重要的結(jié)論：平面的一條斜線，如果和這個平面內(nèi)斜線為頂點(diǎn)的角的兩邊成等角，那么這條斜線在這個平面上的射影是這個角的平分線所在的直線，這個結(jié)論在解答一些問題時常常用到. 總之，對于直線與平面所成的角的計(jì)算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．