2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十三章 排列組合與概率.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十三章 排列組合與概率 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1．加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法。 3．排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)(m≤n)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n, 注：一般地=1，0！=1，=n!。 4．N個(gè)不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!。 5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出m個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用表示： 6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。 [證明]將r個(gè)相同的小球裝入n個(gè)不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個(gè)裝法對(duì)應(yīng)B的唯一一個(gè)解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對(duì)應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個(gè)解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個(gè)裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個(gè)小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個(gè)空格中選n-1個(gè)，將球分n份，共有種。故定理得證。 推論1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 推論2 從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個(gè)不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為 8．二項(xiàng)式定理：若n∈N+,則(a+b)n=.其中第r+1項(xiàng)Tr+1=叫二項(xiàng)式系數(shù)。 9．隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)= 11.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An). 12．對(duì)立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生，則A，B叫對(duì)立事件，記A的對(duì)立事件為。由定義知p(A)+p()=1. 13．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。 14．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An). 15.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):若n次重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的. 16.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:如果在一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=?pk(1-p)n-k. 17．離散型隨機(jī)為量的分布列：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫隨機(jī)變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果隨機(jī)變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量。 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個(gè)值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表 ξ x1 x2 x3 … xi … p p1 p2 p3 … pi … 為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡稱方差。叫隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差。 18．二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)=, ξ的分布列為 ξ 0 1 … xi … N p … … 此時(shí)稱ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p. 19.幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所做試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)隨機(jī)變量，若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p). 二、方法與例題 1．乘法原理。 例1 有2n個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每兩個(gè)人結(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？ [解] 將整個(gè)結(jié)對(duì)過程分n步，第一步，考慮其中任意一個(gè)人的配對(duì)者，有2n-1種選則；這一對(duì)結(jié)好后，再從余下的2n-2人中任意確定一個(gè)。第二步考慮他的配對(duì)者，有2n-3種選擇，……這樣一直進(jìn)行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對(duì)，由乘法原理，不同的結(jié)對(duì)方式有 (2n-1)(2n-3)…31= 2．加法原理。 例2 圖13-1所示中沒有電流通過電流表，其原因僅因?yàn)殡娮钄嗦返目赡苄怨灿袔追N？ [解] 斷路共分4類：1）一個(gè)電阻斷路，有1種可能，只能是R4；2）有2個(gè)電阻斷路，有-1=5種可能；3）3個(gè)電阻斷路，有=4種；4）有4個(gè)電阻斷路，有1種。從而一共有1+5+4+1=11種可能。 3．插空法。 例3 10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱4個(gè)舞蹈，要求每兩個(gè)舞蹈之間至少安排一個(gè)演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？ [解] 先將6個(gè)演唱節(jié)目任意排成一列有種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個(gè)位置中選出4個(gè)安排舞蹈有種方法，故共有=604800種方式。 4．映射法。 例4 如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時(shí)滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？ [解] 設(shè)S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若，令，則(a1,a2,a3)∈T,這樣就建立了從到T的映射，它顯然是單射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令，則，從而此映射也是滿射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120種。 5．貢獻(xiàn)法。 例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個(gè)數(shù)之和。 [解] 設(shè)所求的和為x，因?yàn)锳的每個(gè)元素a，含a的A的子集有29個(gè)，所以a對(duì)x的貢獻(xiàn)為29，又|A|=10。所以x=1029. [另解] A的k元子集共有個(gè)，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素個(gè)數(shù)之和為1029。 6．容斥原理。 例6 由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個(gè)至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個(gè)？ [解] 用I表示由1，2，3組成的n位數(shù)集合，則|I|=3n，用A1，A2，A3分別表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3組成的n位數(shù)的集合，則|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。 所以由容斥原理|A1A2A3|==32n-3.所以滿足條件的n位數(shù)有|I|-|A1A2A3|=3n-32n+3個(gè)。 7．遞推方法。 例7 用1，2，3三個(gè)數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個(gè)這樣的n位數(shù)？ [解] 設(shè)能構(gòu)造an個(gè)符合要求的n位數(shù)，則a1=3，由乘法原理知a2=33-1=8.當(dāng)n≥3時(shí)：1）如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1；2）如果n位數(shù)的第一個(gè)數(shù)字是1，那么第二位只能是2或3，這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).這里數(shù)列{an}的特征方程為x2=2x+2，它的兩根為x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+ c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以 8．算兩次。 例8 m,n,r∈N+，證明： ① [證明] 從n位太太與m位先生中選出r位的方法有種；另一方面，從這n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有種，k=0,1,…,r。所以從這n+m人中選出r位的方法有種。綜合兩個(gè)方面，即得①式。 9．母函數(shù)。 例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍(lán)各10張，編號(hào)為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號(hào)均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌計(jì)為2k分，若它們的分值之和為xx，則稱這些牌為一個(gè)“好牌”組，求好牌組的個(gè)數(shù)。 [解] 對(duì)于n∈{1,2,…,xx},用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)f(x)=(1+)2?(1+)3????…?(1+)3的展開式中xn的系數(shù)（約定|x|<1），由于f(x)=[ (1+)(1+)?…?(1+)]3=3 =3。 而0≤xx<211，所以an等于的展開式中xn的系數(shù)，又由于=?=(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展開式中的系數(shù)為a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,從而，所求的“好牌”組的個(gè)數(shù)為axx=10032=1006009. 10．組合數(shù)的性質(zhì)。 例10 證明：是奇數(shù)(k≥1). [證明] =令i=?pi(1≤i≤k)，pi為奇數(shù)，則，它的分子、分母均為奇數(shù)，因是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)。 例11 對(duì)n≥2,證明： [證明] 1）當(dāng)n=2時(shí)，22<=6<42；2）假設(shè)n=k時(shí)，有2k<<4k,當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)? 又<4，所以2k+1<. 所以結(jié)論對(duì)一切n≥2成立。 11．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。 例12 若n∈N, n≥2，求證： [證明] 首先其次因?yàn)椋?2+得證。 例13 證明： [證明] 首先，對(duì)于每個(gè)確定的k，等式左邊的每一項(xiàng)都是兩個(gè)組合數(shù)的乘積，其中是(1+x)n-k的展開式中xm-h的系數(shù)。是(1+y)k的展開式中yk的系數(shù)。從而?就是(1+x)n-k?(1+y)k的展開式中xm-hyh的系數(shù)。 于是，就是展開式中xm-hyh的系數(shù)。 另一方面，== ?=(xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh項(xiàng)的系數(shù)恰為。 所以 12．概率問題的解法。 例14 如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？ [解] 把k件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列作為基本事件，總數(shù)為(a+b)n（即所有的可能結(jié)果）。設(shè)事件A表示取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品，則事件A所包含的基本事件總數(shù)為?akbn-k，故所求的概率為p(A)= 例15 將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 設(shè)每次拋硬幣正面朝上的概率為p，則擲5次恰好有k次正面朝上的概率為(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由題設(shè)，且0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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