2019-2020年高中數(shù)學《空間幾何體的表面積和體積》教案1蘇教版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學《空間幾何體的表面積和體積》教案1蘇教版必修2 1.平面展開圖 2.概念: 直棱柱: 正棱柱: 正棱錐: 正棱臺: 3.面積公式: S直棱柱側= S正棱錐側= S正棱臺側= S圓柱側= = S圓錐側= = S圓臺側= = S球面= 相互間的關系: 4.體積公式: V長方體= = V柱體= V錐體= V臺體= V球= 相互間的關系: 空間幾何體的表面積和體積教案 例1:已知直三棱柱底面各邊的比為17∶10∶9,側棱長為16 cm,全面積為1440 cm2,求底面各邊之長. 例2:正三棱錐底面邊長為a,側棱與底面成45角,求此棱錐的側面積與全面積. 例3:從一個正方體中,如圖那樣截去4個三棱錐后,得到一個正三棱錐A—BCD,求它的體積是正方體體積的幾分之幾? 例4:假設正棱錐的底面邊長為a,側棱長為2a,求對角面的面積和側面積. 例5:如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證: (1)球的表面積等于圓柱的側面積; (2)球的表面積等于圓柱全面積的 例6:有三個球,第一個球內切于正方體的六個面,第二個球與這個正方體各條棱都相切,第三個球過這個正方體的各頂點,求這三個球的表面積之比. 例7:已知圓錐的全面積是它內切球表面積的2倍,求圓錐側面積與底面積之比. 練習: 1.已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球的半徑的一半,且AB=BC=CA=2,求球的體積. 2.一個體積為8的正方體的各個頂點都在球面上,求此球的體積. 例8:求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比. 例9:半徑為R的球的內接四面體內有一內切球,求這兩球的體積比? 空間幾何體的表面積和體積教案 例1:已知直三棱柱底面各邊的比為17∶10∶9,側棱長為16 cm,全面積為1440 cm2,求底面各邊之長. 分析:這是一道跟直棱柱側面積有關的問題,從結論出發(fā),欲 求底面各邊之長,而各邊之比已知,可分別設為17a、10a、 9a,故只須求出參數(shù)a即可,那么如何利用已知條件去求 a呢? [生]設底面三邊長分別是17a、10a、9a, S側=(17a+10a+9a)16=576a 設17a所對三角形內角α, 則cosα==-,sinα= S底=10a9a=36a2 ∴576a+72a2=1440 解得:a=2 ∴三邊長分別為34 cm,20 cm,18 cm. [師]此題中先設出參數(shù)a,再消去參數(shù),很有特色. 例2:正三棱錐底面邊長為a,側棱與底面成45角,求此棱錐的側面積與全面積. 分析:可根據(jù)正棱錐的側面積與全面積公式求得. 解:如圖所示,設正三棱錐S—ABC的高為SO,斜高為SD, 在Rt△SAO中,∴AO=SAcos45 ∵AO=AD=a ∴SA=a 在Rt△SBD中 SD= ∴S側=3aSD=a2. ∵S底=a2 ∴S全=(+)a2 例3:從一個正方體中,如圖那樣截去4個三棱錐后,得到一個正三棱錐A—BCD,求它的體積是正方體體積的幾分之幾? 分析:在準確識圖的基礎上,求出所截得的每個三棱錐的 體積和正三棱錐A—BCD的體積即可. 解:設正方體體積為Sh,則每個截去的三棱錐的體積 為 Sh=Sh. ∵三棱錐A—BCD的體積為 Sh-4Sh=Sh. ∴正三棱錐A—BCD的體積是正方體體積的. 例4:假設正棱錐的底面邊長為a,側棱長為2a,求對角面的面積和側面積. 解:如圖所示,在正四棱錐P—ABCD中,AB=a,PB=2a, 作PO⊥底面ABCD于O.連結BD,則O∈BD,且PO⊥BC, 由AB=a,得BD=a,在Rt△PAB中, PO2=PB2-BO2=(2a)2-(a)2 ∴PO=a,S對角面=POBD=a2. 又作PE⊥BC于E,這時E是BC的中點 ∴PE2=PB2-BE2=(2a)2-(a)2 ∴PE=a ∴S側=4PEBC=a2 ∴對角面面積為a2,側面積為 a2. 例5:如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證: (1)球的表面積等于圓柱的側面積; (2)球的表面積等于圓柱全面積的 證明:(1)設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R, 高為2R,得 S球=4πR2,S圓柱側=2πR2R=4πR2 ∴S球=S圓柱側 (2)∵S圓柱全=4πR2+2πR2=6πR2 S球=4πR2 ∴S球=S圓柱全 例6:有三個球,第一個球內切于正方體的六個面,第二個球與這個正方體各條棱都相切,第三個球過這個正方體的各頂點,求這三個球的表面積之比. 解:設正方體的棱長為a,則第一個球的半徑為 ,第二個球的半徑是a,第三個球的半徑為a. ∴r1∶r2∶r3=1∶∶ ∴S1∶S2∶S3=1∶2∶3 例7:已知圓錐的全面積是它內切球表面積的2倍,求圓錐側面積與底面積之比. 解:過圓錐的軸作截面截圓錐和內切球分別得軸截面SAB和球的大圓⊙O,且⊙O為 △SAB的內切圓. 設圓錐底面半徑為r,母線長為l;內切圓半徑為R,則 S錐全=πr2+πrl,S球=4πR2,∴r2+rl=8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴ ② 由②得:R2=r2代入①得:r2+rl=8r2,得: l=3r ∴ ∴圓錐側面積與底面積之比為3∶1. 練習: 1.已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球的半徑的一半,且AB=BC=CA=2,求球的體積. 2.一個體積為8的正方體的各個頂點都在球面上,求此球的體積. 例8:求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比. 解:如圖所示,等邊△SAB為圓錐的軸截面,此截面截圓柱得正方形C1CDD1,截球面得球的大圓圓O1. 設球的半徑O1O=R,則它的外切圓柱的高為2R,底面半徑為R,則有 OB=O1Ocot30=R SO=OBtan60=R=3R ∴V球=πR3,V柱=πR22R=2πR3 V錐=π(R)23R=3πR3 ∴V球∶V柱∶V錐= 4∶6∶9 [師]以上題目,通過作球及外切圓柱、等邊圓錐的公共截面暴露這些幾何體之間的相互關系. 讓我們繼續(xù)體會有關球的相接切問題. 例9:半徑為R的球的內接四面體內有一內切球,求這兩球的體積比? 解:如圖所示,大球O的半徑為R;設正四面體 A—BCD的棱長為a,它的內切球半徑為r,依題意 BO1=a=a, AO1===a 又∵BO2=BO12+OO12, ∴R2=( ∴a=R 連結OA,OB,OC,OD,內切球球心到正四面體各面距離為r, VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+VO—AOB+VO—BCD ∴ ∴r= ∴r= ∴V小球∶V大球=π(R)3∶πR3=1∶27 ∴內切球與外接球的體積比為1∶27.- 配套講稿:
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