2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3《數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3《數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教A版選修2-2 第一課時(shí) 2.3 數(shù)學(xué)歸納法（一） 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書(shū)寫. 教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 問(wèn)題1： 在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式. （過(guò)程：，，，由此得到：） 2. 問(wèn)題2：，當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 過(guò)程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，… =1 601．但是=1 681=412是合數(shù) 3. 問(wèn)題3：多米諾骨牌游戲. 成功的兩個(gè)條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒. 二、講授新課： 1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法概念： ① 給出定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點(diǎn)：由特殊→一般. 不完全歸納法：根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫不完全歸納法. 完全歸納法：把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法. ② 討論：?jiǎn)栴}1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？對(duì)所有的正整數(shù)n是否成立？ ③ 提出數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（ii）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0， k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立. 原因：在基礎(chǔ)和遞推關(guān)系都成立時(shí)，可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立. 關(guān)鍵：從假設(shè)n=k成立，證得n=k+1成立. 2. 教學(xué)例題： ① 出示例1：. 分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？ 待證的目標(biāo)式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？ 小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從假設(shè)出發(fā)，對(duì)比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形. ② 練習(xí)： 求證：. ③ 出示例2：設(shè)a＝++…+ (n∈N*)，求證：a<(n＋1). 關(guān)鍵：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2) 小結(jié)：放縮法，對(duì)比目標(biāo)發(fā)現(xiàn)放縮途徑. 變式：求證a>n(n＋1) 3. 小結(jié)：書(shū)寫時(shí)必須明確寫出兩個(gè)步驟與一個(gè)結(jié)論，注意“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時(shí)，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等. 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材108 練習(xí)1、2題 2. 作業(yè)：教材108 B組1、2、3題. 第二課時(shí) 2.3 數(shù)學(xué)歸納法（二） 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書(shū)寫. 教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷試值、猜想、歸納、證明的過(guò)程來(lái)解決問(wèn)題. 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 練習(xí)：已知，猜想的表達(dá)式，并給出證明？ 過(guò)程：試值，，…，→ 猜想 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 2. 提問(wèn)：數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟？ 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例1：已知數(shù)列，猜想的表達(dá)式，并證明. 分析：如何進(jìn)行猜想？（試值→猜想） → 學(xué)生練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明 → 討論：如何直接求此題的？ （裂項(xiàng)相消法） 小結(jié)：探索性問(wèn)題的解決過(guò)程（試值→猜想、歸納→證明） ② 練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論. 解題要點(diǎn)：試值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 數(shù)學(xué)歸納法證明 2. 練習(xí)： ① 已知 ，考察；；之后，歸納出對(duì)也成立的類似不等式，并證明你的結(jié)論. ② （89年全國(guó)理科高考題）是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10） 1對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論 3. 小結(jié)：探索性問(wèn)題的解決模式為“一試驗(yàn)→二歸納→三猜想→四證明”. 三、鞏固練習(xí)： 1. 平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2－n+2個(gè)部分. 2. 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對(duì)任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （答案：m=36） 3. 試證明面值為3分和5分的郵票可支付任何的郵資. 證明：（1）當(dāng)時(shí)，由可知命題成立； （2）假設(shè)時(shí)，命題成立. 則 當(dāng)時(shí)，由（1）及歸納假設(shè)，顯然時(shí)成立.根據(jù)（1）和（2），可知命題成立. 小結(jié)：新的遞推形式，即（1）驗(yàn)證 成立；（2）假設(shè)成立，并在此基礎(chǔ)上,推出成立. 根據(jù)(1)和(2)，對(duì)一切自然數(shù),命題都成立. 2. 作業(yè)：