2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4 空間直角坐標(biāo)系 2.4.1 空間直角坐標(biāo)系教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.4 空間直角坐標(biāo)系 2.4.1 空間直角坐標(biāo)系教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 教材介紹了空間直角坐標(biāo)系有關(guān)概念．本節(jié)難度不大，可以讓學(xué)生自己閱讀教材，留給學(xué)生足夠的空間．值得注意的是課前讓學(xué)生自己制作空間直角坐標(biāo)系模型，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程． 三維目標(biāo)　　　　　 1．掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力． 2．會求空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，提高解決問題的能力． 重點難點　　　　　 教學(xué)重點：在空間直角坐標(biāo)系中確定點的坐標(biāo)． 教學(xué)難點：通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系確定空間點的坐標(biāo)，以及相關(guān)應(yīng)用． 課時安排　　　　　 1課時 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計1.大家先來思考這樣一個問題，飛機飛行的速度非?？?，即使民航飛機速度也非?？?，有很多飛機時速在1 000 km以上，而全世界又這么多飛機，這些飛機在空中風(fēng)馳電掣，速度是如此的快，豈不是很容易撞機嗎？但事實上，飛機的失事率是極低的，比火車，汽車要低得多，原因是，飛機都是沿著國際統(tǒng)一劃定的航線飛行，而在劃定某條航線時，不僅要指出航線在地面上的經(jīng)度和緯度，還要指出航線距離地面的高度．為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)計2.我們知道數(shù)軸上的任意一點M都可用對應(yīng)的一個實數(shù)x表示，建立了平面直角坐標(biāo)系后，平面上任意一點M都可用對應(yīng)的一對有序?qū)崝?shù)(x，y)表示．那么假設(shè)我們建立一個空間直角坐標(biāo)系時，空間中的任意一點是否可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)表示出來呢？為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系． 推進新課　　　　　 1．在初中，我們學(xué)過數(shù)軸，那么什么是數(shù)軸？決定數(shù)軸的因素有哪些？數(shù)軸上的點怎樣表示？ 2．在初中，我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，那么如何建立平面直角坐標(biāo)系？決定平面直角坐標(biāo)系的因素有哪些？平面直角坐標(biāo)系上的點怎樣表示？ 3．閱讀教材，在空間怎樣確定點的位置？ 4．閱讀教材，在空間直角坐標(biāo)系中怎樣確定點的坐標(biāo)？ 5．閱讀教材，坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)有什么特點？ 6．閱讀教材，說出八個卦限． 討論結(jié)果： 1．在初中，我們學(xué)過數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．決定數(shù)軸的因素有原點、正方向和單位長度．這是數(shù)軸的三要素．?dāng)?shù)軸上的點可用與這個點對應(yīng)的實數(shù)x來表示． 2．在初中，我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系是以一點為原點O，過原點O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy，xOy稱平面直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系具有以下特征：兩條數(shù)軸互相垂直；原點重合；通常取向右、向上為正方向；單位長度一般取相同的．平面直角坐標(biāo)系上的點用它對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示，括號里橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面，它們是一對有序?qū)崝?shù)(x，y)． 3．為了確定空間點的位置，我們在平面直角坐標(biāo)系xOy的基礎(chǔ)上，通過原點O，再作一條數(shù)軸z，使它與x軸，y軸都垂直(如上圖)，這樣它們中的任意兩條都互相垂直；軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90能與y軸的正半軸重合．這時，我們說在空間建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做坐標(biāo)原點． 4．如上圖所示，過點P作一個平面平行于平面yOz(這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸)，這個平面與x軸的交點記為Pz，它在x軸上的坐標(biāo)為x(圖中為2)，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標(biāo)． 過點P作一個平面平行于平面xOz(垂直于y軸)，這個平面與y軸的交點記為Py，它在y軸上的坐標(biāo)為y(圖中為3)，這個數(shù)y就叫做點P的y坐標(biāo)． 過點P作一個平面平行于坐標(biāo)平面xOy(垂直于z軸)，這個平面與z軸的交點記為Pz，它在z軸上的坐標(biāo)為z(圖中為5)，這個數(shù)z就叫做點P的z坐標(biāo)． 這樣，我們對空間中的一個點，定義了三個實數(shù)的有序數(shù)組作為它的坐標(biāo)，記作P(x，y，z)(圖中為P(2,3,5))．其中x，y，z也可稱為點P的坐標(biāo)分量． 反之，任意給定三個實數(shù)的有序數(shù)組(x，y，z)，就能夠確定空間一個點的位置與之對應(yīng)．為此，按照剛才作圖的相反順序，在坐標(biāo)軸上分別作出點Px，Py，Pz，使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x，y，z.再分別通過這些點作平面平行于平面yOz，xOz，xOy，這三個平面的交點，就是所求的點P. 這樣，在空間任意一點與三個實數(shù)的有序數(shù)組(點的坐標(biāo))之間，我們就建立起一一對應(yīng)關(guān)系． 每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐標(biāo)平面． 5．xOy平面(通過x軸和y軸的平面)是坐標(biāo)形如(x，y,0)的點構(gòu)成的點集，其中x，y為任意的實數(shù)； xOz平面(通過x軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(x,0，z)的點構(gòu)成的點集，其中x，z為任意的實數(shù)； yOz平面(通過y軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(0，y，z)的點構(gòu)成的點集，其中y，z為任意的數(shù)； x軸是坐標(biāo)形如(x,0,0)的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)； y軸是坐標(biāo)形如(0，y,0)的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù)； z軸是坐標(biāo)形如(0,0，z)的點構(gòu)成的點集，其中z為任意實數(shù)． 通過點P作平行于坐標(biāo)平面的平面與坐標(biāo)軸的交點Px，Py，Pz，其過程也就是作點P在坐標(biāo)軸上的投影．即，從點P向坐標(biāo)軸引垂線，它們的垂足分別為Px，Py，Pz. 所以點P的空間坐標(biāo)為點P在坐標(biāo)軸上的投影在這些坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)． 6．三個坐標(biāo)平面把空間分為八部分，每一部分都稱為一個卦限．在坐標(biāo)平面xOy上方，分別對應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個象限的卦限，稱為第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限稱為第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限(如下圖)． 在每個卦限內(nèi)，點的坐標(biāo)各分量的符號是不變的．例如在第Ⅰ卦限，三個坐標(biāo)分量x，y，z都為正數(shù)；在第Ⅱ卦限，x為負數(shù)，y，z都為正數(shù)…… 思路1 例1如下圖，點P′在x軸正半軸上，|OP′|＝2，P′P在xOz平面上，且垂直于x軸，|P′P|＝1.求點P′和P的坐標(biāo)． 解：點P′的坐標(biāo)為(2,0,0)， 點P的坐標(biāo)為(2,0,1)． 變式訓(xùn)練 　已知點P′在x軸正半軸上，|OP′|＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x軸，|PP′|＝1，求點P′和P的坐標(biāo)． 解：顯然，P′在x軸上，它的坐標(biāo)為(2,0,0)． 若點P在xOy平面上方，則點P的坐標(biāo)為(2,0,1)． 若點P在xOy平面下方，則點P的坐標(biāo)為(2,0，－1)． 例2在空間直角坐標(biāo)系中作出點P(3，－2,4)． 分析：已知點P(x，y，z)，可以先確定P′(x，y,0)在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|，如果z＝0，則點P即點P′；如果z>0，則點P與z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)；如果z<0， 則點P與z軸的負半軸在xOy平面的同側(cè)，即可依此方法作出P點． 解：先確定P′(3，－2,0)在xOy平面上的位置．因為點P的z坐標(biāo)為4，則|P′P|＝4，且點P和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就確定了點P在空間直角坐標(biāo)系中的位置，如下圖． 變式訓(xùn)練 在同一個空間直角坐標(biāo)系中畫出下列各點：A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,1)，B′(3,0,1)，C′(3,2，1)，D′(0,2,1)． 解：在空間直角坐標(biāo)系中，畫出以上各點，如下圖，它們剛好是一個長方體的八個頂點． 思路2 例1如下圖，長方體OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2.寫出D′，C，A′，B′四點的坐標(biāo)． 分析：要寫出點的坐標(biāo)，首先要確定點的位置，再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點寫出．D′在z軸上，因此它的橫縱坐標(biāo)都為0；C在y軸上，因此它的橫豎坐標(biāo)都為0；A′是zOx面上的點，y＝0；B′不在坐標(biāo)面上，三個坐標(biāo)都要求． 解：D′在z軸上，而|OD′|＝2，因此它的豎坐標(biāo)為2，橫縱坐標(biāo)都為0，因此D′的坐標(biāo)是(0,0,2)．同理，C的坐標(biāo)為(0,4,0)．A′是zOx平面上的點，y＝0，A′的橫坐標(biāo)就是|OA|＝3，A′的豎坐標(biāo)就是|OD′|＝2，所以A′的坐標(biāo)就是(3,0,2)．點B′在yOx平面上的射影是點B，因此它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與B點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，在yOx平面上B點的橫坐標(biāo)為3、縱坐標(biāo)為4，點B′在z軸上的射影是D′，它的豎坐標(biāo)與D′的豎坐標(biāo)相同，點D′的豎坐標(biāo)為2，所以點B′的坐標(biāo)是(3,4,2)． 點評：能準(zhǔn)確地確定空間任意一點的坐標(biāo)是學(xué)好空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)，一定掌握如下方法，過點M作三個平面分別垂直于x軸，y軸和z軸，確定x，y和z，同時掌握一些特殊的點的坐標(biāo)特征． 變式訓(xùn)練 　如下圖，在正方體OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝2.寫出D′、C′、A′、B′四點的坐標(biāo)． 解：D′在z軸上，且OD′＝2，它的豎坐標(biāo)是2；它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y都是零，所以D′的坐標(biāo)是(0,0,2)．點C的縱坐標(biāo)是2.它的橫坐標(biāo)x與豎坐標(biāo)z都是零，所以點C的坐標(biāo)是(0,2,0)． 同理，點A′的坐標(biāo)是(2,0,2)． 點B′在xOy平面上的射影是B，因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同．在xOy平面上，點B橫坐標(biāo)x＝2，縱坐標(biāo)y＝2；點B′在z軸上的射影是D′，它的豎坐標(biāo)與點D′的豎坐標(biāo)相同，點D′的豎坐標(biāo)z＝2. 所以點B′的坐標(biāo)是(2,2,2)． 例2如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1和D1B1的中點，棱長為1，求E，F(xiàn)點的坐標(biāo)． 解：方法一：從圖中可以看出E點在xOy平面上的射影為B，而B點的坐標(biāo)為(1,1,0)，E點的豎坐標(biāo)為，所以E點的坐標(biāo)為(1,1，)；F點在xOy平面上的射影為G，而G點的坐標(biāo)為(，，0)，F(xiàn)點的豎坐標(biāo)為1，所以F點的坐標(biāo)為(，，1)． 方法二：從圖中條件可以得到B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)．E為BB1的中點，F(xiàn)為D1B1的中點，由中點坐標(biāo)公式得E點的坐標(biāo)為(，，)＝(1,1，)，F(xiàn)點的坐標(biāo)為(，，)＝(，，1)． 點評：(1)平面上的中點坐標(biāo)公式可以推廣到空間，即設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB的中點P(，，)； (2)熟記坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)和坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)特征． 變式訓(xùn)練 1．在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于平面xOy對稱的點的坐標(biāo)． 解：設(shè)所求的點為B0(x0，y0，z0)，由于B為B0B1的中點，所以解得所以B0(1,1，－1)． 2．在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于z軸對稱的點的坐標(biāo)． 解：設(shè)所求的點為P(x0，y0，z0)，由于D1為PB1的中點，因為D1(0,0,1)，所以解之，得所以P(－1，－1,1)． 1．有下列敘述，其中正確敘述的個數(shù)為(　　) ①在空間直角坐標(biāo)系中，在Oy軸上的點的坐標(biāo)一定可記為(0，b,0)； ②在空間直角坐標(biāo)系中，在yOz平面上的點的坐標(biāo)一定可記為(0，b，c)； ③在空間直角坐標(biāo)系中，在Oz軸上的點的坐標(biāo)一定可記為(0,0，c)； ④在空間直角坐標(biāo)系中，在zOx平面上的點的坐標(biāo)一定可記為(a，b，c)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 2．在空間直角坐標(biāo)系中的點P(a，b，c)，有下列敘述： ①點P(a，b，c)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是P1(a，－b，c)；②點P(a，b，c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P2(a，－b，－c)；③點P(a，b，c)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是P3(a，－b，c)；④點P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P4(－a，－b，－c)． 其正確敘述的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：C 3．在空間直角坐標(biāo)系中的點P(x，y，z)關(guān)于①坐標(biāo)原點；②橫軸(x軸)；③縱軸(y軸)；④豎軸(z軸)；⑤xOy坐標(biāo)平面；⑥yOz坐標(biāo)平面；⑦zOx坐標(biāo)平面的對稱點的坐標(biāo)是什么？ 答案：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點的對稱方法結(jié)合中點坐標(biāo)公式可知： 點P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P1(－x，－y，－z)； 點P(x，y，z)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點為P2(x，－y，－z)； 點P(x，y，z)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點為P3(－x，y，－z)； 點P(x，y，z)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點為P4(－x，－y，z)； 點P(x，y，z)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點為P5(x，y，－z)； 點P(x，y，z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P6(－x，y，z)； 點P(x，y，z)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對稱點為P7(x，－y，z)． 點評：其中記憶的方法為：關(guān)于誰誰不變，其余的相反．如關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)相反． 結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，左下圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)，其中用空白點表示代表鈉原子，黑點代表氯原子．如右下圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)． 　　　　　　　 解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標(biāo)． 下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的z坐標(biāo)全是0， 所以這五個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(，，0)． 中層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的z坐標(biāo)為； 所以，這四個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是(，0，)、(1，，)、(，1，)、(0，，)； 上層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的z坐標(biāo)為1，所以這五個鈉原子的坐標(biāo)分別是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，(，，1)． 本節(jié)學(xué)習(xí)了： 1．空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)； 2．中點公式： P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1P2中點M的坐標(biāo)為(，，)． 本節(jié)練習(xí)A　2題． 通過復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，為新課的引入和講解做好鋪墊．設(shè)置問題，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法探索新知．由于學(xué)生的空間觀念還比較薄弱，教學(xué)中宜多采用教具演示，盡量使學(xué)生能夠形象直觀地掌握知識內(nèi)容．本課時可自制空間直角坐標(biāo)系模型演示，幫助學(xué)生理解空間直角坐標(biāo)系的概念．如果學(xué)生先前的學(xué)習(xí)不是主動的、不是自覺的，那么老師的血汗與成績就不成比例，更談不上學(xué)生的創(chuàng)新意識．鑒于此，在教學(xué)中積極挖掘教學(xué)資源，努力創(chuàng)設(shè)出一定的教學(xué)情景，設(shè)計例題思路，吸引學(xué)生，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的意向，即激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，達到學(xué)生“想學(xué)”的目的．為能增強學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性，在教學(xué)中指明學(xué)生所要達到的目標(biāo)和所學(xué)的內(nèi)容，即讓學(xué)生知道學(xué)到什么程度以及學(xué)什么．同時調(diào)整教學(xué)語言，使之簡明、清楚、易聽明白，注重一些技巧，如重復(fù)、深入淺出、抑揚頓挫等． 備選習(xí)題 1．在空間過點M(1,2，－3)作z軸的垂線，交z軸于點N，則垂足N的坐標(biāo)為…(　　) A．(1,0,0) B．(0,2,0) C．(0,0,3) D．(0,0，－3) 解析：由于z軸上的點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，且豎坐標(biāo)不變?nèi)詾椋?，所以垂足N的坐標(biāo)為(0,0，－3)． 答案：D 2．點P(a，b，c)到坐標(biāo)平面zOx的距離為(　　) A. B．|a| C．|b| D．|c| 解析：由空間點的坐標(biāo)的意義我們就可以知道，|b|就是點P(a，b，c)到坐標(biāo)平面zOx的距離． 答案：C