2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《直線與圓的方程的應(yīng)用》教案2 新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《直線與圓的方程的應(yīng)用》教案2 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 主要概念： 坐標(biāo)法――建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，借助代數(shù)方法把要研究的幾何問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運(yùn)算，由此解決幾何問(wèn)題。 教材分析 　　一、重點(diǎn)難點(diǎn) 　　本節(jié)教材的教學(xué)重點(diǎn)是掌握直線和圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思想。難點(diǎn)是如何把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)建模，以及在運(yùn)用坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題時(shí)，如何能根據(jù)具體問(wèn)題靈活地建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。 　　二、教材解讀 　　本節(jié)教材的理論知識(shí)有問(wèn)題提出、題型介紹、思考交流三個(gè)板塊組成。 第一板塊 問(wèn)題提出 解讀 直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。 理解、掌握知識(shí)的最終目的在于應(yīng)用，通過(guò)知識(shí)的應(yīng)用，問(wèn)題的解決，一方面可使學(xué)生親身體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性；另一方面聯(lián)系實(shí)際的目的就是為了更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，增加用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 第二板塊 題型介紹 解讀 直線與圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用 通過(guò)介紹直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，其目的在于讓學(xué)生了解應(yīng)用問(wèn)題就是在已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)去粗取精、抽象概括，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。讓學(xué)生掌握解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 通過(guò)介紹直線與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用，其目的在于讓學(xué)生了解坐標(biāo)法的數(shù)學(xué)思想，掌握用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”，讓學(xué)生從另一個(gè)角度再次體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。 第三板塊 思考交流 解讀 課本P.138例4中提出：如果不建立坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 通過(guò)讓學(xué)生思考和解答，試圖讓學(xué)生比較坐標(biāo)法和幾何法在解決這一問(wèn)題時(shí)的優(yōu)劣，從而發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)法在解決一些問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性。 拓展閱讀 數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際，新的課程標(biāo)準(zhǔn)越來(lái)越注意對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力方面的要求，要求學(xué)生能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、觀點(diǎn)、方法去處理實(shí)際問(wèn)題，從而把數(shù)學(xué)的應(yīng)用與大眾生活緊密地結(jié)合起來(lái)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更具有現(xiàn)實(shí)意義與教育意義。在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提到：“使學(xué)生學(xué)好從事社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，以逐步形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)培養(yǎng)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”。1993年國(guó)家教委基礎(chǔ)教育課程教材研究中心召開(kāi)的“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革研討會(huì)”上也強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)聯(lián)系實(shí)際”，“要重視從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而解決實(shí)際問(wèn)題這個(gè)全過(guò)程。”當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)教育界提出了“大眾數(shù)學(xué)”的口號(hào)，其目的是根據(jù)社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的不同需求，發(fā)揮數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，支持和引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)從學(xué)生所熟悉的生活、生產(chǎn)和其它學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，逐步把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生產(chǎn)、生活的實(shí)際，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到從自然科學(xué)技術(shù)到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)建設(shè)，從經(jīng)濟(jì)活動(dòng)到社會(huì)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域。而建立數(shù)學(xué)模型則是數(shù)學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 所謂數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定的對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程可以分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并且通過(guò)這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)。 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息 表述 (歸納) 數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答 數(shù)學(xué)模型的解答 求解 (演繹) 解釋 驗(yàn)證 由此可知，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題可分為三個(gè)步驟：一是審題；二是建立數(shù)學(xué)模型；三是求解數(shù)學(xué)模型。其中審題是基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，解題是目標(biāo)。 綜上所述，我們可以利用數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題。 網(wǎng)站點(diǎn)擊 典型例題解析 例1：在平行四邊形ABCD中，用坐標(biāo)法證明：。 點(diǎn)撥用坐標(biāo)法證題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出關(guān)鍵的點(diǎn)的坐標(biāo)（或曲線的方程），據(jù)此推出未知的點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)代數(shù)計(jì)算證明所要求證的結(jié)論。 O A C B D x y 解答以CA所在的直線為x軸，線段CA的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。 設(shè)A（, 0）,B(, ), 則C(－, 0), D(－, ). ∵ =2() =2[] = ∴ 總結(jié)用坐標(biāo)法證題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，直角坐標(biāo)系的建立一般遵循下列原則：（1）原點(diǎn)取在定點(diǎn)，坐標(biāo)軸以定直線或定線段所在的直線或圖形的對(duì)稱軸；（2）盡量利用圖形的對(duì)稱性；（3）設(shè)出所需點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，能使所用的字母盡量少。用坐標(biāo)法證題時(shí)，不能把一般情況視為特殊情況，如本題中如把平行四邊形ABCD視為矩形或正方形加以證明，就失去了一般性。 變式題演練 圖1 4 22 9 6．5 4 6．3 O1 O x y C y A B 9 圖2 等腰直角三角形ABC中，，BD是AC邊上的中線，AEBD交BC于E，用坐標(biāo)法證明：。 例2： 船行前方的河道上有一座圓拱橋，在正常 水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面為9m，拱圈內(nèi)水面寬 22m．船只在水面以上部分高6.5m、船頂部寬4m， 故通行無(wú)阻．近日水位暴漲了2.7m，船已經(jīng)不能通 過(guò)橋洞了．船員必須加重船載，降低船身．試問(wèn)船身 必須降低多少，才能順利地通過(guò)橋洞？ 點(diǎn)撥當(dāng)船行駛在河道的正中央時(shí)，要使船能夠通過(guò)橋 洞的最低要求是船頂最寬處的角點(diǎn)在圓拱橋的拱圈上。 解答 畫出正常水位時(shí)的橋、船的示意圖如圖1；漲水 后橋、船的示意圖如圖2． 以正常水位時(shí)河道中央為原點(diǎn)，建立如圖2所示 的坐標(biāo)系． 設(shè)橋拱圓頂?shù)膱A心在O1(x1,y1)，則x1=0，因此橋 拱圓頂在坐標(biāo)系中的方程為x2+(y-y1)2=r2．其中 r為 橋拱半徑． 橋拱最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,9)，橋拱與水線的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(11,0)．圓O1過(guò)點(diǎn)A,B，因此 02+(9-y1)2=r2，112+(0-y1)2=r2， 兩式相減后得 121+18y1-81=0, y1=--2.22； 回代到兩個(gè)方程之一，即可解出r11.22． 所以橋拱圓頂?shù)姆匠淌? x2+(y+2.22)2=125.94． 當(dāng)船行駛在河道的正中央時(shí)，船頂最寬處角點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，則x=2．使船能通過(guò)橋洞的最低要求，是點(diǎn)C正好的圓O1上，因此C(2,y)應(yīng)滿足圓O1的方程，即 22+(y+2.22)2=125.94，解出 y8.82．扣除水面上漲的2.70, 點(diǎn)C距水面為8.82-2.70=6.12． ∴船身在水面以上部分原高6.5，所以為使船能通過(guò)橋洞，必須降低船身6.5-6.12=0.38(m)以上 總結(jié)求解本題的關(guān)鍵是要得到橋拱圓的方程，有了圓的方程，計(jì)算點(diǎn)C距水面高度等，問(wèn)題就迎刃而解了． 變式題演練 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在A市正東方向300km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)40km的速度向西北方向移動(dòng)。在距臺(tái)風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響，問(wèn)從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，臺(tái)風(fēng)將影響A市？持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？ 　　答案：以A為圓心，250km為半徑作⊙A，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)經(jīng)過(guò)的直線與⊙A相交或相切時(shí)，A市將受到臺(tái)風(fēng)影響。 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（300,0），⊙A的方程為，直線的方程為 　　　　　　　　　（ 即　　　　　　　?。? 當(dāng)點(diǎn)C（在⊙A上或⊙A內(nèi)時(shí)，有 即，解之，得 近似地，得　　　　　　 8.6-2.0=6.6 這樣，大約在2小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)將影響A市，并持續(xù)約6.6小時(shí)。 例3：求一宇宙飛船的軌道，使得在軌道上任一點(diǎn)處看地球和月球的視角都相等。 O A B M（x, y） y x 點(diǎn)撥所謂在一點(diǎn)處看地球的視角，在數(shù)學(xué)上反映即從此點(diǎn)處所引的關(guān)于地球的兩條切線間的夾角，故本題可從兩個(gè)視角相等得到軌道上任一點(diǎn)應(yīng)該滿足的條件。 解答設(shè)地球和月球的半徑分別為R、r，球心距為d，以地球、月球球心連線的中點(diǎn)為原點(diǎn)，連線所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）. 　　設(shè)地球大圓圓心，月球大圓圓心，軌道上任一點(diǎn)M(x, y)，從M點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為A，從M點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為B， 　　由題意知，，∴∽ 　　∴＝，∴＝ 　　∴＝ 　　整理得 　　∴滿足條件的宇宙飛船的運(yùn)行軌道為圓。 總結(jié)本題實(shí)質(zhì)是一道求軌跡方程的問(wèn)題，但在解題時(shí)關(guān)鍵是要審清題意，理解視角的概念，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何知識(shí)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。 變式題演練 　　有相距100km的A、B兩個(gè)批發(fā)市場(chǎng)，商品的價(jià)格相同，但在某地區(qū)居民從兩地運(yùn)回商品時(shí)，A地的單位距離的運(yùn)費(fèi)是B地的2倍。問(wèn)怎樣確定A、B兩批發(fā)市場(chǎng)的售貨區(qū)域?qū)Ξ?dāng)?shù)鼐用裼欣? 　　答案：建立以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則A（－50,0），B（50,0）。 設(shè)P（x, y），由2｜PA｜＝｜PB｜，得 所以在圓內(nèi)到A地購(gòu)物合算；在圓外到B地購(gòu)物合算；在圓上到A、B兩地購(gòu)物一樣合算。 知識(shí)結(jié)構(gòu) 知識(shí)點(diǎn)圖表 直線和圓的方程的應(yīng)用 在平面幾何中的應(yīng)用 在實(shí)際生活中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模 坐標(biāo)法 學(xué)法指導(dǎo) 1、 數(shù)學(xué)建模分析的步驟： ?。?）讀懂題目。應(yīng)包括對(duì)題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。 “整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對(duì)象； “局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義； “分析關(guān)系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系或空間形式； “領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要問(wèn)題，正確識(shí)別其類型。 ?。?）建立數(shù)學(xué)模型。將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建模的直接準(zhǔn)備就是審題的最后階段，從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來(lái)，即可得到解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 　（3）求解數(shù)學(xué)模型。根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，設(shè)計(jì)合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，其中特別注意實(shí)際問(wèn)題中對(duì)變量范圍的限制及其他約束條件。 ?。?）檢驗(yàn)。既要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，又要評(píng)判所得結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求，從而對(duì)原問(wèn)題作出合乎實(shí)際意義的回答。 　　2、用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論。這就是用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題的“三部曲”： 　　第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題； 　　第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題； 　　第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。