人教版九年級上第22章_一元二次方程1_全章學案

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1、 平安初中數學在線輔導qq825010428 7.1一元二次方程導學案 學習目標 1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式（≠0） 2、在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學模型（一元二次方程）的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系的工具，增加對一元二次方程的感性認識。 學習重點難點 1、一元二次方程的概念和一般形式. 2、正確理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“項”和“系數” . 教學過程 一、預習內容 1．問題1 綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地

2、的長和寬各為多少？ 2．問題2 學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率. 3．思考、討論 這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢? 整式方程：____________________________________________________ 一元一次方程：____________________________________________________ 一元二次方程特征： （1） ________

3、__________________ （2） _________________________ （3）_______________________________ 二、學習內容 一元二次方程的概念:________________________________________ 概念鞏固練習 例1.下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。 （1） （2） （3） （4） 一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程經過化解后通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知數，a≠0)。 注意：（1）其中叫做_________，叫做___

4、________； 叫做________，叫做________________ 叫做__________________ (2)為什么要a≠0;若a=0并且b≠0則它是_______________ (3)當 a≠0 時ax2＋bx＋c＝0；ax2＋c＝0；ax2＋bx＝0；ax2＝0； 均為一元二次方程 例2：將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項： 1） 2）（x-2）(x+3)=8 3） 說明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有兩個特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項系數不能為0。此外要

5、使學生意識到：二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都是包括符號的。 例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 例4：已知關于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m。 三、本課小結： 1、只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式為（≠0），一元二次方程的項及系數都是根據一般式定義的，這與多項式中的項、次數及其系數的定義是一致的。 3、在實際問題轉化為數學模型（ 一元二次方程 ）的過程

6、中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。 四、練習 1、將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項 2x(x-1)=3(x-5)-4 2、關于的方程，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？ 7.2用配方法解一元二次方程導學案（一） 學習目標 1、了解形如的一元二次方程的解法 —— 直接開平方法 2、會用直接開平方法解一元二次方程 學習重點難點 重點：會用直接開平方法解一元二次方程 難點：理解直接開平方法與平方根的定義的關系 教學過程 一、預習內容 1、什么是一元二次方程？將方程化為一般形式，并分別

7、指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項（1） （1） （3） a) 如果那么x叫做a的______,記作________;如果,那么記作________; 3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 二、學習內容 問題如何解方程：x2＝4 根據平方根的定義，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和－2 即 根據平方根的定義，得 x2＝4 x＝2 即此一元二次方程的解為： x1=2，x2 =－2 這種解一元二次方程的方法叫

8、做____________。 例 1 解下列方程： （1）x2＝2 （2）4x2－1＝0 注：形如方程（k___）可變形為x2＝k (k____)的形式，即方程左邊是關于x的一次式的平方，右邊是一個_____數，可用直接開平方法解此方程。方程的兩根分別用表示。 例 2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ 2（x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－x）2－3 = 0 注：形如的方程的解法。 （1）解形如的方程時，可把看成整體，然后直開平方程。 （2）注意對方程進行變

9、形，方程左邊變?yōu)橐淮问降钠椒?，右邊是非負常數? （3）如果變形后形如中的K是負數，不能直接開平方，說明方程無實數根。 （4）如果變形后形如中的k=0這時可得方程兩根相等。 三、本課小結： 1、用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟； 2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎 四、練習 1、用直接開平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必須滿足的條件是（?。? A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o 2、方程（1-x）2=2的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-、1+ D.-1、+1 3、下列解方程的過程中，正確的是（

10、） (A)x2=-2,解方程，得x= (B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1=;x2= (D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 4、解下例方程 (1)4x2=9 (2)3(2x+1)2=12 （3）45－x2＝0； （4）12y2－25＝0； （5）16x2－25＝0. （6） 4x2－1＝0 (7)81(x-2)2=16 ； (8)(2x+1)2=25；

11、 7.4用分解因式法解一元二次方程導學案 學習目標 1．明確具備什么條件的一元二次方程可適用因式分解法；． 2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程 3. 通過新方法的學習，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力及探索精神． 學習重點難點 重點：能靈活地應用分解因式法解一元二次方程 難點：理解 “或”、“且”的含義 教學過程 一、預習內容 1、上一堂課我們學習了一元二次方程的第一種解法___________ 形如：x2＝k(k≥0) 均可以用________法 用直接開平方法解下列方程 （1）4x2＝24 （2）

12、2（x＋1）2=16 2、你能解決這個問題嗎？ 一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數是幾？ 小明是這樣解的： 小影是這樣解的 解設這個數是x. 解設這個數是x. 依題意得：x2 = 3x 依題意得：x2 = 3x 兩邊同時約去x，得 x = 3 x2 – 3x = 0 這種解法正確嗎？（答：_____） x（x – 3）=0

13、 解得 x1 = 0，x2 = 3 這步的理論依據是什么？ ∴這個數是0或3。 這種解法正確嗎？（答：_____） 二、學習內容 引例：方程x2 – 4=0 左邊能否化成兩個一次因式的乘積 概念 1．當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分

14、解因式解一元二次方程的方法稱為因式分解法. 即如果AB = 0 A = 0或B = 0 （如果兩個因式的積為零，則至少有一個因式為零，反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．） “或”有下列三層含義 ① A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0 2．（1）方程 (x + a)(x + b) = 0的兩個根為x1 =_____，x2 = ______ （2）方程(x + 2)(x -3) = 0的兩個根為x1 =_____，x2 = ______ 例 1(1) (3x+2)(4-x)=0 (2) 3 x2=12 (3) 4x(x

15、-2)=5(x-2) (4) 2（3－x）2=3x-9 (3)中能否兩邊同時除以（x-2）為什么？ 例 2（補充） 十字相乘法 ax2＋bx＋c＝0 (若a能分成______,c能分成_____(十字交叉相乘后再相加若等于b) 則ax2＋bx＋c=（_______）(_________)=0 例3用十字相乘法解下列方程 （1）x2－3x-10=0 (2) x2+2x-3=0 (3)3 x2+11x+10=0 三、本課小結： (1）用因式分解法的條件是:方程左邊易于分解而右邊等于零;即一元二次方程可以轉化為AB=0的形式 （

16、2）因式分解法解一元二次方程的本質就是降次轉化為解兩個一元一次方程 （3）理論依據是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.” 簡記歌訣：左分解，右化零，兩因式，各求解。 四、練習 (1)4x2 -9=0 (2) (2x+1)2-5=0 （3）（3－x）2= 4(2x+1)2 (4)9x2-6x+1=0 (5)2x2-7x+3=0 (6) x2+3x-28=0 (7) (8) (8) (9)

17、 7.2用配方法解一元二次方程導學案（二） 學習目標 1、經歷探究將一元二次方程的一般（x＋m）2= n（n≥0）形式的過程，進一步理解配方法的意義 2、會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，體會轉化的思想方法 學習重點難點 重點：使學生掌握配方法，解一元二次方程 難點：把一元二次方程轉化為的（x＋m）2= n（n≥0）形式 教學過程 預習內容 1. 請說出完全平方公式。 （a＋b）2 = （a-b）2 = 2. 用直接開平方法解下例方程： （1） （2）

18、 3、通過類比的思想，思考如何解下例方程 （1） （2） 二、學習內容 問題1、請你思考方程與 有什么關系，如何解方程呢？ 問題 2、能否將方程轉化為（的形式呢？ 先將常數項移到方程的右邊，得_____________ （為了方程左邊得到一個完全平方式 在方程的____加上一次項系數_______，即32后，得） x2＋2x3 ＋32 = －4＋32 （x＋3）2 = 5 解這個方程，得 x＋3 = _

19、______ 所以 x1 = _______ x2 = ________ 例題1 （1）－x＋3＝0. →思考如何解 （2）2x2-3x+6=0 小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、先把方程化成一般形式，并且二次項系數化為1再把常數項移到方程右邊； 2、在方程的兩邊各加上一次項系數的一半的平方，使左邊成為完全平方； 3、方程右邊是非負數時可利用直接開平方法求解。 思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數一半的平方？ 例題2 將下列各進行配方： ⑴＋8x＋_____＝（x＋___

20、__）2 ⑵－5x＋_____＝（x－_____）2 ⑶－x＋_____＝（x－____）2 ⑷2－6x＋_____＝（x－____）2 （重點題型）例題3用配方法說明代數式 2x2－4x＋3的值恒大于0 并且說出x為何值時它有最大值？最大值為幾？ 三、本課小結：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法時要注意什么？ 配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？ 四、練習 1、填空： （1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2； (3)x2-5x+

21、 =(x- )2；(4)4x2+x+ =(x+ )2； (5)x2+px+ =(x+ )2； 2、將方程x2+2x-3=0化為(x+m)2=n的形式為 ； 3、用配方法解方程x2+4x-2=0時，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。 4、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，則方程可變形為（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2

22、=57 5、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，則q的值為（ ） A. B. C. D. - 6、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（　） A.9 B.7 C.2 D.-2 7、用配方法解下列方程： （1）x2-4x=5； （2）2x2-7x+3=0； （3）4x2+8x+3=0； （4）y2+2y-4=0； 8、試用配

23、方法證明：代數式x2+3x-的值不小于-。 7.3用公式法解一元二次方程導學案（一） 學習目標 1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。 2、使學生經歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學生抽象思維能力。 3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。 學習重點難點 1、難點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程； 2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時,代入求根公式常出符號

24、錯誤。 教學過程 一、預習內容： 1、用配方解一元二次方程的步驟是什么？ 2、用配方法結合直接開平方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢？ 3、如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？ 二、學習內容 問題1能否用配方法把一般形式的一元二次方程轉化為呢？ 問題2、為什么在得出求根公式時有限制條件b2－4ac≥0？ 當，且時，大于等于零嗎？ 請說明理由________________________________________________________ _________

25、____________________________________________________________ 讓學生討論、交流，從中得出結論： 當時，一般形式的一元二次方程的根為， 即。 由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式： （條件________） 這個公式說明方程的根是由方程的系數、、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數、、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。 思考：當時，方程有實數根嗎？ 例1、解下列方程： (1) (2)；(3) (4) 注意：應用公式法解一元

26、二次方程時應將一元二次方程化成一般形式 三、本課小結： 1、用公式法解一元二次方程時要注意什么？ 2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎？舉例說明。 3、若解一個一元二次方程時，b2－4ac＜0，請說明這個方程解的情況。 四、練習 1、把方程4-x2=3x化為ax2+bx+c=0(a≠0)形式為 ，b2-4ac= . 2、方程x2+x-1=0的根是 。 3、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（ ） A.16

27、 B. 4 C. D.64 4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。 5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（ ） A.x1.2= B. x1.2= C. x1.2= D. x1.2= 6、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化為ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 . 7、方程的解為 ． 8、

28、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ） A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-22 9、已知y=x2-2x-3，當x= 時，y的值是-3 10、用公式法解下列方程： （1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0. 11、已知等腰三角形的底邊長為9，腰是方程的一個根，求這個三角形的周長。 一元二次方程的解法習

29、題課導學案 學習目標 1、 了解一元二次方程的各種解法。 2、 學會選擇適當的方法來解一元二次方程。 學習重點難點 能正確地選擇適當的方法來解一元二次方程，熟練解出一元二次方程的解。 教學過程 一、 復習引入 一元二次方程共有幾種解法？________種，分別為_________________________________ _____________________________________________. ①直接開平方法：形如方程 、 可以用直接開平方法求解 ②因式分解法：形如AB = 0 A = 0或B = 0 ③配方法：解題步驟1________

30、_____________2_________________________________ 3___________________________________________________ ④公式法：一元二次方程的求根公式： （條件________） 二、學習內容 例1、用直接開平方法解下列方程： ⑴ （2） (2x-1)2-18=0 例2、用配方法解下列方程： （1）x2 -4x -2=0 （2）2x2 -3x -4=0 例3、請用配方的方法說明：不論x取何值，-2x2+12x —8的值不可

31、能等于11 例4、用公式法解下列方程： （1） x2 -3x-2=0 （2） 2x2 -3x-4=0 三、 練習 1、選用適當的方法解下列方程: (1) 3x2+4x-1=0 (2) （3x -2）2-49=0 (3) x2+6x－5=0 (4) (x+2)(x－1)=10 （5）(x-2)2=2(x-2) (6) （3x -4）2=（4x -3）2 2、用配方法證明：關于x的方程（m2 -12m +37）x2 +3mx+1

32、=0，無論m取何值，此方程都是一元二次方程 3、若a、b、c為ΔABC的三邊，且a、b、c滿足(a－b)(a－c)=0，判斷△ABC的形狀。 4、若(a2+b2)(a2+b2－2)=8，求a2+b2的值。 四、課后練習： 1、方程2x2-3x+1=0化為(x+a)2=b的形式,正確的是 ( ) A、 B、 C、 D、以上都不對 2、、（2009年蘭州）閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系：x1+x2＝－，x1x2＝.根據該材料填空

33、：已知x1、x2是方程 x2+6x+3＝0的兩實數根，則+的值為 ． 3、一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后為(x-3)2=3, 則a=______________. 4、解方程（x+a）2=b得（ ） A、x=-a B、x=a+ C、當b≥0時，x=-a D、當a≥0時，x=a 5、已知關于x的方程（a2-1）x2+（1-a）x+a-2=0，下列結論正確的是（ ） A、當a≠1時，原方程是一元二次方程 B、當a≠1時，原方程是一元二次方程。 C、當a≠-1時，原方程是一元二次方程 D、原方程是一元二次方程。

34、 6、代數式x2 +2x +3 的最______（填“大”或者“小”）值為__________ 7、關于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，當m_________時,是一元一次方程;當m_________時,是一元二次方程. 8、（2009年山西?。┱埬銓懗鲆粋€有一根為1的一元二次方程： ． 9、下列方程是一元二次方程的是（ ） A、-x2+5=0 B、x（x+1）=x2-3 C、3x2+y-1=0 D、= 10、方程x2-8x+5=0的左邊配成完全平方式后所得的方程是（ ） A、（x-6）2=11

35、 B、（x-4）2=11 C、（x-4）2=21 D、以上答案都不對 11、關于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m—1）x+m2—4=0的一個根是0，則 m的值是（ ） A、 2 B、—2 C、2或者—2 D、 12、要使代數式的值等于0，則x等于（ ） A、1 B、-1 C、3 D、3或-1 13、三角形兩邊長分別是6和8，第三邊長是x2-16x+60=0的一個實數根，求該三角形的第三條邊長。

36、 7.3用公式法解一元二次方程導學案（二） 學習目標 1、用公式法解一元二次方程的過程中，進一步理解代數式b2－4ac對根的情況的判斷作用 2、能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況 3、在理解根的判別式的過程中，體會嚴密的思維過程 學習重點難點 重點：一元二次方程根與系數的關系 難點：由一元二次方程的根的情況求方程中字母系數的取值 教學過程 一、預習內容 用公式法解一元二次方程 請同學們觀察這三個方程的解題過程，可以發(fā)現：在把系數代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出它的值——，為什么要這樣做

37、呢？ 回顧用配方法把一般形式的一元二次方程轉化為一個完全平方式 的作用是：________________________________. 二、學習內容 由此可見：在解 起著重要的作用，顯然我們可以根據的值的符號來判斷 的根的情況，因此，我們把 叫做_____ ___________________，通常用符號“△（讀作delta，它是希臘字母）”來表示，即△= (1) 若△＞0 則方程______________________ 若△ =0 則方程________________ 若△＜0則方程____________________

38、___ （2）這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 若方程有兩個不相等的實數根，則__________ 若方程有兩個相等的實數根， 則___________ 若方程沒有實數根， 則____________ （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據△值的符號，用定理來判斷方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定△值的符號，進而可求出系數中某些字母的取值范圍。 （4）注意運用定理和逆定理時，方程必須為_______________ （a

39、 ）而且方程必須化成一般形式后方可使用。 例1：不解方程判別下列方程根的情況 例3：已知關于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0．k取什么值時， (1)方程有兩個不相等的實數根? (2)方程有兩個相等的實數根? (3)方程沒有實數根? 三、本課小結： （1）根的判別式的定理與逆定理的內容， （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當已知△值的符號時，使用定理；當已知方程根的情況時，使用逆定理。 四、練習 1、方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac= ，所以方程的根

40、的情況是 . 2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是（ ） A.有兩個不等的實數根 B.有兩個相等的實數根 C.沒有實數根 D.不能確定 3下列方程中，沒有實數根的方程式（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數根，那么總成立的式子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4

41、ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有兩個相等的實數根，那么k= . 6、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情況是（ ） A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根 C.無實數根 D.不能確定 7、關于x的一元二次方程 的根的情況是( ) A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定 8、關于x的方程x2

42、+2x+1=0有兩個不相等的實數根，則k( ) A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0 9、已知方程x2-mx+n=0有兩個相等的實數根，那么符合條件的一組m，n的值可以是m= ,n= . 10、若方程有實數根，則的范圍是_____________________。 11、若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則___________。 12、不解方程，判斷下列方程根的情況： （1） 3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－4x =－4 13、當k為何值時，關于x的方程k

43、x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有兩個不相等的實數根？ 7.3用公式法解一元二次方程導學案（三） 學習目標 1、認知目標：引導學生在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出一元二次方程根與系數的關系，及其關系的運用。 2、能力及情感目標：通過觀察、實踐、討論等活動，讓學生經歷發(fā)現問題，發(fā)現關系的過程，并在探索過程中培養(yǎng)學生自主探索能力及合作交流能力。 學習重點難點 1、指導學生自主探索一元二次方程的兩根之和，及兩根之積與原方程系數之間的關系，猜想一般性質、指導學生用求根公式加以確證。 2、對根與系數的關系這一性質的應用

44、教學過程 一、預習內容 （1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式 （2）解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數有什么聯(lián)系？ ⑴　x2 + ２x = 0　　　　　 ⑵　x2 + ３x －４= 0 ⑶　x2 －５x + ６= 0 方程 x1 x2 x1 + x2 x1 x2 ⑴　x2 + ２x = 0　　 ⑵　x2 + ３x －４= 0 ⑶　x2 －５x + ６= 0 ２. 嘗試探索，發(fā)現規(guī)律： 完成上表猜想一元二次方程的兩個解的和、積與原來的方程有什么聯(lián)系？

45、請與小組中的同學交流你的看法，并總結你們的觀點。 二、學習內容 推導驗證：設x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根． x1+x2= x1.x2= 由此得出，一元二次方程的根與系數的關系．（一元二次方程兩根和與兩根積與系數的關系） 如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么 x1+x2=_____________（ ） x1.x2=_______（ ） ★注意：一元

46、二次方程的根與系數的關系的應用有兩大前提一、它是____________方程即條件為_______;二、方程必須_____________即條件為____________. 例１.不解方程，求出方程兩根的和與兩根的積 ①　x2 + ３x －１= 0　?、凇2 + ６x +２= 0 ③　３x2 －４x+１= 0 例2已知方程的一個根為，求另一根及c的值. 例3設方程x2+3x+1=0的兩根為x1,x2,求下列各式的值： （1）x12+x22 （2）+ （3）（x1-3）（x2-3） （4）（x

47、1-x2）2 （5）｜x1-x2｜ 三、本課小結： 1.根與系數的關系的內容 2.根與系數關系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判別式大于等于零. 四、練習 1、如果方程的兩個實根互為相反數，那么的值為_______ 2、設、是方程的兩根，則①＝ ；② ＝ ；③＝ 。 3、已知方程的兩實根差的平方為144，則＝ 。 4、已知方程的一個根是1，則它的另一個根是 ，的值是 。 5、反比例函數的圖象經過點P（、），其中、是一元二次方程 的兩根，那么點P的坐標是

48、 。 6、已知、是方程的兩根，則的值為 。 7、已知≠0，方程的系數滿足，則方程的兩根之比為（ ） A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3 8、菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關于的方程：的根，則的值為（ ） A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3 9、已知關于的方程的兩個實數根的倒數和等于3，關于的方程有實根，且為正整數，求代數式的值。

49、 10、已知關于的方程 （1）當取何值時，方程有兩個不相等的實數根？ （2）設、是方程的兩根，且，求的值。 7.5一元二次方程的實際應用導學案（一） 學習目標 1、進一步理解方程是刻畫客觀世界的有效模型， 2、經歷用一元二次方程解會用一元二次方程解決有關幾何圖形面積、體積問題 3、通過對實際問題的決實際問題的過程，知道解應用題的一般步驟和關鍵所在 學習重點難點 重點：學會用列方程的方法解決有關形積問題． 難點：如何找出形積問題中的等量關系 教學過程 一、預習內容

50、 （1） 如何把一張長方形硬紙片折成 一個無蓋的長方體紙盒？ （2） 無蓋長方體的高與裁去的四個小正方形的邊長有什么關系？ 問題1：如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個相等的小正方形，制成高是5cm，容積是500cm3的長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬． 引申：如上圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長。 二、學習內容 例1、如圖1，一張長40cm，寬25cm的長方形紙片，裁去角上四個小正方形之后。折成如圖2的無蓋紙盒

51、，若紙盒的底面積是450cm2，那么紙盒的高是多少？ 圖 1 25cm 40cm 例2在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應為多少？ 三、本課小結： 1、通常用一元二次方程解決實際問題要經歷怎樣的過程？ 2、用一元二次方程解決實際問題的關鍵是什么？ 四、練習 1、圍繞長方形公園的柵欄長280m.已知該公園的面積為4800m2.求這個公園的長與寬. 2、用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30c

52、m2的矩形。求這個矩形的長與寬. 3、建造一個池底為正方形、深度為2米的長方體無蓋水池，池壁的造價為100元/平方米，池底的造價為200元/平方米，總造價為6400元，求正方形池底的長。 4、在長為40米、寬為22米的矩形地面內，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達到760平方米，道路的寬應為多少？ 7.5一元二次方程的應用導學案（二） 學習目標 1、進一步體會通過建立方程解決實際問題的意義和方法 2、進一步體會運用方程解決問題的關鍵是尋找等量

53、關系，提高分析問題、解決問題的能力 學習重點難點 重點：學會用列方程的方法解決有關形積問題． 難點：了解增長率與減少率相關應用題的求解。 教學過程 一、預習內容 引例1：一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5㎝，容積是500㎝3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。 引例2：一塊起碼方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4㎝的小正方形，做成一個無蓋的盒子。已知盒子的容積是400㎝，求原鐵皮的邊長。 二、學

54、習內容 例1、某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，這兩個月利潤的月平均增長的百分率是多少？ 例2、某種手表,原來每只售價96元,經過連續(xù)2次降價后,現在每只售價54元,平均每次降價的百分率是多少? 小結：例1中 原始量、現在量、增長率為x 、增長次數為n 則增長率公式為_________________ 例2中 原始量、現在量、減少率為x 、減少次數為n 則減少率公式為_________________ 三、本課小結：增長率公式與減少率公式的內容 四、練習 1、某鄉(xiāng)產糧大戶,2007年糧食產量為50噸,由于加強了

55、經營和科學種田,2009年糧食產量上升到60.5噸.求平均每年增長的百分率. 2、某服裝店花2000元進了批服裝，按50%的利潤定價，無人購買。決定打折出售，但仍無人購買，結果又一次打折后才售完。經結算，這批服裝共盈利430元。如果兩次打折相同，每次打了幾折？ 3、某鋼鐵廠今年一月份的某種鋼產量是5000噸,此后每月比上個月產量提高的百分數相同,且三月份比二月份的產量多1200噸,求這個相同的百分數. 4、江陰市某工廠2008年捐款1萬元給希望工程,以后每年都捐款,計劃到2010年共捐款4.75萬元,問該廠捐款的平均增長率是多少

56、? 7.5一元二次方程的應用導學案（三） 學習目標 １、掌握列出一元二次方程解應用題；并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果的合理性； ２、理解將一些實際問題抽象為方程模型的過程，形成良好的思維習慣，學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識解決問題。 學習重點難點 掌握列出一元二次方程解應用題； 并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果的合理性 教學過程 一、預習內容 引例1：一根長22cm的鐵絲。 （1）能否圍成面積是30cm2的矩形？ （2）能否圍成面積是32 cm2的矩形？并說明理

57、由。 二、學習內容 例1、如圖所示（1）小明家要建面積為150m2的養(yǎng)雞場，雞場一邊靠墻，另一邊用竹籬笆圍成，竹籬笆總長為35m。若墻的長度為18m，雞場的長、分別是多少？（2）如果墻的長為15m，雞場一邊靠墻，竹籬笆總長為45m，可圍成的雞場最大面積是多少平方米？(3) 如果墻的長為15m，雞場一邊靠墻，竹籬笆總長為45m，可圍成的雞場的面積能達到250m2嗎？通過計算說明理由。 （4）如果墻的長為15m，雞場一邊靠墻，竹籬笆總長為45m，可圍成的雞場的面積能達到100m2嗎？通過計算并畫草圖說明。 例2、如圖，在矩形ABCD中，AB=6c

58、m，BC=3cm。點P沿邊AB從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤3）。那么，當t為何值時，△QAP的面積等于2cm2? 三、本課小結：1、通常用一元二次方程解決實際問題要經歷怎樣的過程？ 2、用一元二次方程解決實際問題的關鍵是什么？ 四、練習 1、用長為100 cm的金屬絲制作一個矩形框子?？蜃痈鬟叾嚅L時，框子的面積是600 cm2？能制成面積是800 cm2的矩形框子嗎？ 2、如圖，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，點P從點A沿邊A

59、B向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問幾秒后△PBQ的面積等于8 cm2？ 3、如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為a為15米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。 （1）如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？ （2）能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由。 4、把一根長為80cm的繩子剪成兩段，并把每一段繩子圍成一個正方形。 （1）要使這兩個正方形的面積之和等于200cm2, 該怎么剪？ （2）這兩個

60、正方形面積之和可能等于488cm2嗎？ 7.5一元二次方程的應用導學案（四） 學習目標 1、使學生會用列一元二次方程的方法解決有關商品的銷售問題． 2、進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學生應用數學的意識。 學習重點難點 重點：學會用列方程的方法解決有關商品的銷售問題． 難點：如何找出商品的銷售問題中的等量關系。 教學過程 一、預習內容 引例1、某商場從廠家以每件21元的價格購進一批商品，若每件的售價為a元，則可賣出（350—10a）件，商場計劃要

61、賺450元，則每件商品的售價為多少元？ 引例2、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施。經調查發(fā)現，在一定范圍內，襯衫的單價每降一元，商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應降多少元？ 引例3、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，椐市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產品的銷售情況，要使月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？ （月銷售利潤＝月銷售量銷售

62、單價－月銷售成本．） 二、學習內容 例1、某種服裝，平均每天可銷售20件，每件盈利44元;若每件降價1元，則每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件應降價多少元？ 例2、某商場禮品柜臺購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可銷售500張，每張盈利0.3元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的措施。調查發(fā)現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天多售出300張。商場要想平均每天盈利160元，每張賀年卡應降價多少元？ 三、本課小結： 1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養(yǎng)學生用數學的意識以

63、及滲透轉化和方程的思想方法． 2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題． 四、練習 1、某商店進了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就將減少100件。如果商店銷售這批服裝要獲利潤12000元，那么這種服裝售價應定為多少元？該商店應進這種服裝多少件？ 2、某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個。調查表明：這種臺燈的售價每上漲一元，其銷售量就將減少10個。為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈多少個？

64、 3、西瓜經營戶以2元/kg的價格購進一批小型西瓜，以3元/kg的價格出售，每天可售出200kg，為了促銷，該經營戶決定降價銷售，經調查發(fā)現，這種小型西瓜每降價0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經營戶要想每天盈利潤200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？ 7.5一元二次方程的應用導學案（五） 學習目標 1、在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中的實際工資問題進行數學建模解決問題，從而進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型。 2、積極主動參與課堂自主探究和合作交

65、流，并在其中體驗發(fā)現問題、提出問題及解決問題的全過程，提高自己的數學應用能力。 3、感受數學的嚴謹性，形成實事求是的態(tài)度及進行質疑和激發(fā)思考的習慣。 學習重點難點 進一步培養(yǎng)學生運用方程解應用題的能力 教學過程 一、預習內容 （一）情景問題 小明把一張邊長為的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。 （1）如果要求長方體的底面面積為81cm2，那么剪去的正方形邊長為多少？ （2）如果按下表列出的長方體底面面積的數據要求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化？

66、 （二）、嘗試解決問題 1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板中的什么量有關系？ （長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系） 2、長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存在什么關系？ （長方形的底面正方形的邊長等于正方形硬紙板的邊長減去剪去的小正方形邊長的2倍） 3、你能否用數量關系表示出這種關系呢？并求出剪去的小正方形的邊長。 4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關系？求出此時長方體的體積。 5、完成表格，與你的同伴一起交流，并討論剪去的正方形邊長發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化？ 6、在你觀察到的變化中、你感到折合而成的長方體的體積會不會有最大的情況？以剪去的正方形的邊長為自變量，折合而成的長方體體積為函數，并在直角坐標系中畫出相應的點，看看與你的感覺是否一致。 例1、如圖，的邊，高，長方形DEFG的一邊EF落在BC上，頂點D、G分別落在AB和