2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 最新考綱 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)；4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 知 識(shí) 梳 理 1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y＝ax a＞1 0＜a＜1 圖象 定義域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性質(zhì) (3)過(guò)定點(diǎn)(0,1) (4)當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1 (5)當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) (7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù) 診 斷 自 測(cè) 1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“”) 精彩PPT展示 (1)()4＝－4.() (2)＝＝.() (3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．() (4)函數(shù)y＝|x|的值域是(－∞，1]．() 2．已知函數(shù)f(x)＝ax(0＜a＜1)，對(duì)于下列命題： ①若x＞0，則0＜f(x)＜1； ②若x＜1，則f(x)＞0； ③若f(x1)＞f(x2)，則x1＜x2. 其中正確的命題( ) A．有3個(gè) B．有2個(gè) C．有1個(gè) D．不存在 解析 結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知①②③正確． 答案 A 3．(xx陜西卷)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是( ) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x C．f(x)＝x D．f(x)＝x 解析 ∵ax＋y＝axay，滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)， ∴可先排除A，C，又因?yàn)閒(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故選B. 答案 B 4．若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，得0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，即1＜a＜或－＜a＜－1. 答案 (－，－1)∪(1，) 5．(人教A必修1P52例4(1)改編)計(jì)算： ＝________. 答案 4a 考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算 例1 化簡(jiǎn)下列各式： (1)[(0.06)－2.5]－－π0； (2). 規(guī)律方法 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運(yùn)算的先后順序．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)． 考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 例2 (1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( ) A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 014a＝2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析 (1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0＜a＜1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b＜0，故選D. (2)設(shè)2 014a＝2 015b＝t，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得 若t＞1，則有a＞b＞0；若t＝1，則有a＝b＝0；若0＜t＜1，則有a＜b＜0. 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 答案 (1)D (2)B 規(guī)律方法 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解． 【訓(xùn)練2】 (xx衡水模擬)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________． 解析 曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]． 答案 [－1,1] 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 例3 (1)下列各式比較大小正確的是( ) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 (2)若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________. 解析 (1)A中，∵函數(shù)y＝1.7x是增函數(shù)，2.5<3， ∴1.72.5<1.73. B中，∵y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1<2，∴0.6－1>0.62. C中，∵(0.8)－1＝1.25， ∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小． ∵y＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D中，∵1.70.3>1,0＜0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. (2)若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，此時(shí)a＝2，m＝，此時(shí)g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，檢驗(yàn)知符合題意． 答案 (1)B (2) 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大?。?2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可． 【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)． (1)若f(1)>0，試求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； (2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值． 解 因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)， 所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x. (1)因?yàn)閒(1)>0，所以a－>0， 又a>0且a≠1，所以a>1. 因?yàn)閒′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，原不等式可化為f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0， 所以x>1或x<－4. 所以不等式的解集為{x|x>1或x<－4}． (2)因?yàn)閒(1)＝，所以a－＝， 即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)． 所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝ (2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2. 令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，則t(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝， 所以原函數(shù)為ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2， 所以當(dāng)t＝2時(shí)，ω(t)min＝－2，此時(shí)x＝log2(1＋)． 即g(x)在x＝log2(1＋)時(shí)取得最小值－2. [思想方法] 1．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問(wèn)題，可以先通過(guò)令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較． 2．比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的單調(diào)性和底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論． 4．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成；而與其有關(guān)的最值問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題． [易錯(cuò)防范] 1．指數(shù)冪的運(yùn)算容易出現(xiàn)的問(wèn)題是誤用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，或在運(yùn)算中變換的方法不當(dāng)，不注意運(yùn)算的先后順序等． 2．復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，一定要注意函數(shù)的定義域． 3．形如a2x＋bax＋c＝0或a2x＋bax＋c≥0(≤0)形式，常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍． 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．若x＝log43，則(2x－2－x)2＝( ) A. B． C. D． 解析 由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，2－x＝， 所以(2x－2－x)2＝2＝. 答案 D 2．函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象可能是( ) 解析 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，故函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象必過(guò)點(diǎn)(1,0)，顯然只有C符合． 答案 C 3．(xx武漢模擬)設(shè)a＝()1.4，b＝，c＝ln ，則a，b，c的大小關(guān)系是 ( ) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c 解析 c＝ln ＜1＝()0＜a＝()1.4＜＜b＝，故選D. 答案 D 4．(xx東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的是( ) A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 解析 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)，又由0＝知(1,1)不在函數(shù)y＝的圖象上． 答案 A 5．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析 由f(1)＝得a2＝， ∴a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增， 所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B. 答案 B 二、填空題 6.(a＞0)的值是________． 解析?。剑剑? 答案 7．函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大，則a的值為_(kāi)_______． 解析 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a－a2＝， ∴a＝或a＝0(舍去)．當(dāng)a＞1時(shí)，a2－a＝， ∴a＝或a＝0(舍去)．綜上所述，a＝或. 答案 或 8．已知函數(shù)f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，則a的取值范圍是________． 解析 因?yàn)閒(x)＝a－x＝x，且f(－2)＞f(－3)，所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以＞1，解得0＜a＜1. 答案 (0,1) 三、解答題 9．求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性． (1)y＝6＋x－2x2；(2)y＝－|x|. 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)镽， 令u＝6＋x－2x2，則y＝u. ∵二次函數(shù)u＝6＋x－2x2＝－22＋， ∴函數(shù)的值域?yàn)? 又∵二次函數(shù)u＝6＋x－2x2的對(duì)稱軸為x＝，在上u＝6＋x－2x2是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝u是減函數(shù)， ∴y＝6＋x－2x2在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)． (2)定義域?yàn)閤∈R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1. 故y＝－|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}． 又∵y＝－|x|是偶函數(shù)， 且y＝－|x|＝ 所以函數(shù)y＝－|x|在(－∞，0]上是減函數(shù)， 在[0，＋∞)上是增函數(shù)．(此題可借助圖象思考) 10．已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性． 解 (1)∵f(x)是x∈R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. 設(shè)x∈(－1,0)，則－x∈(0,1)． f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－， ∴f(x)＝ (2)設(shè)0＜x1＜x2＜1， f(x1)－f(x2)＝ ＝， ∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1＜2x2，2x1＋x2＞20＝1， ∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 11．函數(shù)y＝ax－b(a＞0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則ab的取值范圍為( ) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．無(wú)法確定 解析 函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上．而當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a0－b＝1－b，由題意得解得所以ab∈(0,1)． 答案 C 12．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是( ) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D． 解析 方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個(gè)交點(diǎn)． ①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖(1)，∴0＜2a＜1，即0＜a＜. ②當(dāng)a＞1時(shí)，如圖(2)，而y＝2a＞1不符合要求． 綜上，0＜a＜. 答案 D 13．當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，ax<2(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的范圍是________． 解析 x∈[－2,2]時(shí)，ax<2(a>0，且a≠1)， 若a>1，y＝ax是一個(gè)增函數(shù)，則有a2<2，可得a<， 故有1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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