2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球課堂探究 新人教B版必修2 探究一 概念辨析題 (1)對(duì)于旋轉(zhuǎn)體，必須清楚直角梯形必須繞其垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)才能形成圓臺(tái)；直角三角形必須繞直角邊旋轉(zhuǎn)才能形成圓錐；圓柱是由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體，類(lèi)比棱臺(tái)的定義，圓臺(tái)也可以看作是一個(gè)圓錐被一個(gè)平行于底面的平面所截得的． (2)對(duì)于組合體我們要弄清楚它是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的，尤其對(duì)于旋轉(zhuǎn)體先要看清所選取的旋轉(zhuǎn)軸，再結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的定義加以判斷． 【典型例題1】 (1)下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．圓臺(tái)是直角梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的 B．圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的 C．圓柱不是旋轉(zhuǎn)體 D．圓臺(tái)可以看作是由平行于底面的平面截一個(gè)圓錐而得到的 解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義及圓錐與圓臺(tái)的內(nèi)在聯(lián)系易知D正確． 答案：D (2)如圖，由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的軸對(duì)稱(chēng)平面圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180后形成一個(gè)幾何體，下面說(shuō)法不正確的是(　　) A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體 B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱(chēng) C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn) D．該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn) 解析：旋轉(zhuǎn)180后形成的組合體是由一個(gè)圓錐、一個(gè)球體、一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)組合而成，故選項(xiàng)A不正確． 答案：A 探究二 簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算問(wèn)題 (1)對(duì)于圓柱的性質(zhì)，要注意以下兩點(diǎn)：一是軸線垂直于圓柱的底面；二是三類(lèi)截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓，軸截面是一個(gè)由上、下底面圓的直徑和母線組成的矩形、平行于軸線的截面是一個(gè)由上、下底面圓的弦和母線組成的矩形． (2)對(duì)于圓錐的性質(zhì)，要注意以下兩點(diǎn)：一是兩類(lèi)截面——平行于底面的截面是與底面相似的圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)且與底面相交的截面是一個(gè)由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形；二是圓錐的母線l、高h(yuǎn)和底面圓的半徑R組成一個(gè)直角三角形．有關(guān)圓錐的計(jì)算，一般歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形，往往會(huì)用到關(guān)系式l2＝h2＋R2． (3)對(duì)于圓臺(tái)的性質(zhì)，要注意以下兩點(diǎn)：一是圓臺(tái)的母線共點(diǎn)，所以由任意兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是與上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圓臺(tái)的母線l、高h(yuǎn)和上底面圓的半徑r、下底面圓的半徑R組成一個(gè)直角梯形，且有l(wèi)2＝h2＋(R－r)2成立，有關(guān)圓臺(tái)的計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角梯形． 【典型例題2】 軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱，已知某等邊圓柱的軸截面面積為16 cm2，求其底面周長(zhǎng)和高． 思路分析：作出圓柱的軸截面，建立軸截面邊長(zhǎng)和圓柱底面半徑、高之間的關(guān)系，進(jìn)而求解問(wèn)題． 解：如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD， 由題意知，四邊形ABCD為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r cm，則AB＝AD＝2r． 其面積S＝ABAD＝2r2r＝4r2＝16，解得r＝2． 所以其底面周長(zhǎng)C＝2πr＝2π2＝4π(cm)，高2r＝4(cm)． 點(diǎn)評(píng)解決圓柱基本量的計(jì)算問(wèn)題，要抓住它的基本量：底面半徑、高(母線)與軸截面矩形之間的關(guān)系，注意在軸截面矩形中的一邊長(zhǎng)為圓柱的高，另一邊長(zhǎng)為圓柱的底面直徑． 【典型例題3】 用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1∶λ，截去圓錐的母線長(zhǎng)是l0，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)． 解：作原圓錐的截面圖如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，截得圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是x，λx，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得： ＝＝，所以l＝l0(λ－1)． 點(diǎn)評(píng)圓錐平行于底面的截面是一個(gè)圓面，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作的截面是一個(gè)等腰三角形，利用相似三角形的理論來(lái)求解圓臺(tái)母線的長(zhǎng)，體現(xiàn)了將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題處理的基本思想． 探究三 組合體問(wèn)題 組合體問(wèn)題中常見(jiàn)的主要是切接問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵要畫(huà)出組合體的核心截面，并保證截面圖能搭建起兩個(gè)或多個(gè)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系，能反映出各個(gè)幾何體的核心元素，這樣就將立體幾何問(wèn)題的計(jì)算歸結(jié)為平面幾何問(wèn)題的計(jì)算． 【典型例題4】 若圓錐的軸截面是一個(gè)面積為cm2的正三角形，那么其內(nèi)切球的半徑為(　　) A．4πcm B．6cm C．cm D． πcm 解析：軸截面如圖所示，設(shè)正三角形SAB的邊長(zhǎng)為a cm，圓O′的半徑為R cm，則 a＝＝， 所以a＝6． 又S△SO′B＋S△SO′A＋S△AO′B＝， 所以36R＝．所以R＝．故選C． 答案：C 【典型例題5】 一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱． (1)用x表示圓柱的軸截面面積S． (2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？ 思路分析：考慮應(yīng)用軸截面中的平行關(guān)系列比例式解決． 解：(1)根據(jù)題意作截面圖如圖所示，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面圓半徑為r， 由已知得＝， 所以r＝． 所以S＝2x＝－x2＋4x，其中0＜x＜6． (2)當(dāng)x＝－＝3時(shí)，S最大． 點(diǎn)評(píng) 涉及立體幾何中的最值問(wèn)題，一般是設(shè)出變?cè)?，利用函?shù)思想來(lái)解決． 探究四 球中的計(jì)算問(wèn)題 解決有關(guān)球的問(wèn)題時(shí)常用到如下性質(zhì)： (1)用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直． (2)如果分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑，用d表示球心到截面的距離，則R2＝r2＋d2．球的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形問(wèn)題． 【典型例題6】 已知A，B，C是球O上的三點(diǎn)，AB＝10，AC＝6，BC＝8，球O的半徑等于13，則球心O到△ABC所在小圓的距離為_(kāi)_________． 思路分析：本題考查了球的性質(zhì)及截面的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生識(shí)圖能力和運(yùn)算能力．解答本題的關(guān)鍵是AB為小圓的直徑． 解析：因?yàn)锳B＝10，AC＝6，BC＝8， 所以△ABC為Rt△且AB為點(diǎn)A，B，C所在小圓的直徑． 所以r＝5． 軸截面圖如圖，所以d2＝R2－r2＝132－52＝122， 所以d＝12． 答案：12 探究五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：不理解球面距離的含義而致誤 【典型例題7】 設(shè)地球半徑為R，在北緯45圈上有A，B兩地，它們的緯線圈上的劣弧長(zhǎng)等于R，求A，B兩地間的球面距離． 錯(cuò)解：如圖所示，A，B是北緯45圈上兩點(diǎn)，O′為此緯線圈的圓心，易知∠AO′B所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)為所求球面距離． 故A，B兩地間的球面距離為R． 錯(cuò)因分析：沒(méi)有理解A，B兩地間的球面距離是過(guò)A，B兩點(diǎn)的大圓在A，B間的劣弧長(zhǎng)度． 正解：如圖所示，A，B是北緯45圈上的兩點(diǎn)，AO′為此緯線圈的半徑， 所以O(shè)O′⊥AO′，OO′⊥BO′． 因?yàn)椤螼AO′＝∠OBO′＝45， 所以AO′＝BO′＝OAcos 45＝R． 設(shè)∠AO′B為α， 則AO′＝R＝R，所以α＝90． 連接AB，則 AB＝＝＝R． 在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R， 則△AOB為正三角形， 所以∠AOB＝60． 所以A，B兩地間的球面距離為＝R．