2019-2020年高三數(shù)學上學期10月月考試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學上學期10月月考試卷 文(含解析) 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答卷紙上. 1.在復平面內(nèi),復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于第 象限. 2.函數(shù)y=3tan(2x﹣)的最小正周期為 ?。? 3.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若()⊥(﹣),則λ= ?。? 4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1+a7+a13=﹣π,則sina7= ?。? 5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=﹣f(x),若f(1)=1,則f(3)﹣f(4)= ?。? 6.已知向量,滿足||=1,||=2,與的夾角為60,則|﹣|= ?。? 7.在等比數(shù)列{an}中,a5+a6=3,a15+a16=6,則a25+a26= . 8.函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是 . 9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.a(chǎn)sinBcosC+csinBcosA=且a>b,則∠B= ?。? 10.由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,∠APB=60,則P(x,y)中x,y滿足的關(guān)系為 ?。? 11.已知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4,則使不等式恒成立的實數(shù)m的范圍是 ?。? 12.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項及公差均是正整數(shù),前n項和為Sn,且a1>1,a4>6,S3≤12,則axx= . 13.如圖,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則的最小值是 ?。? 14.已知實數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a6=32,an+2=,把數(shù)列{an}的各項排成如右圖的三角形狀.記A(m,n)為第m行從左起第n個數(shù),則若A(m,n)?A(n,m)=250,則m+n= ?。? 二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且c2=a2+b2﹣ab. (Ⅰ)若tanA﹣tanB=(1+tanA?tanB),求角B; (Ⅱ)設(shè)=(sinA,1),=(3,cos2A),試求?的最大值. 16.已知{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列(bn>0),且a1=b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)記Tn為數(shù)列{anbn}的前n項和,求Tn. 17.近年來,某企業(yè)每年消耗電費約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費C(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)=(x≥0,k為常數(shù)).記F為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該村15年共將消耗的電費之和. (1)試解釋C(0)的實際意義,并建立F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)當x為多少平方米時,F(xiàn)取得最小值?最小值是多少萬元? 18.已知圓C經(jīng)過點A(1,3)、B(2,2),并且直線m:3x﹣2y=0平分圓C. (1)求圓C的方程; (2)若過點D(0,1),且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N. (Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍; (Ⅱ)若?=12,求k的值. 19.已知函數(shù)f(x)=ex﹣x2﹣ax(a∈R). (Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值; (Ⅱ)若函數(shù)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a取值范圍; (Ⅲ)如果函數(shù)g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2有兩個不同的極值點x1,x2,證明:a>. 20.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列{an}滿足(n∈N*,且n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+(﹣1)n﹣1anan+1,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍; (3)是否存在以a1為首項,公比為q(0<q<5,q∈N*)的數(shù)列{a},k∈N*,使得數(shù)列{a}中每一項都是數(shù)列{an}中不同的項,若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{nk}的通項公式;若不存在,說明理由. xx江蘇省揚州市高郵中學高三(上)月考數(shù)學試卷(文科)(10月份) 參考答案與試題解析 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答卷紙上. 1.在復平面內(nèi),復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于第 一 象限. 考點: 復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義. 專題: 計算題. 分析: 由復數(shù)的除法運算把復數(shù)化簡為a+bi(a,b∈R)的形式,求出對應(yīng)的點,則答案可求. 解答: 解:由=. 所以復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點為. 位于第一象限. 故答案為一. 點評: 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的幾何意義,是基礎(chǔ)題. 2.函數(shù)y=3tan(2x﹣)的最小正周期為 ?。? 考點: 三角函數(shù)的周期性及其求法. 專題: 計算題. 分析: 利用正切函數(shù)的周期公式T=即可求得答案. 解答: 解:∵函數(shù)y=3tan(2x﹣)的最小正周期T=, 故答案為:. 點評: 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法,屬于基礎(chǔ)題. 3.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若()⊥(﹣),則λ= ﹣3?。? 考點: 數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 專題: 平面向量及應(yīng)用. 分析: 由向量的坐標加減法運算求出(),(﹣)的坐標,然后由向量垂直的坐標運算列式求出λ的值. 解答: 解:由向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),得 , 由()⊥(﹣),得 (2λ+3)(﹣1)+3(﹣1)=0, 解得:λ=﹣3. 故答案為:﹣3. 點評: 本題考查了平面向量的坐標加法與減法運算,考查了數(shù)量積判斷兩個向量垂直的條件,是基礎(chǔ)的計算題. 4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1+a7+a13=﹣π,則sina7= ?。? 考點: 等差數(shù)列的性質(zhì). 分析: 由等差數(shù)列的性質(zhì)求得a7即可. 解答: 解:由等差數(shù)列的性質(zhì)得:a1+a13=2a7∴a1+a7+a13=3a7=﹣π ∴a7=﹣ ∴sina7= 故答案是 點評: 本題主要考查等差數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)求值. 5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=﹣f(x),若f(1)=1,則f(3)﹣f(4)= ﹣1 . 考點: 函數(shù)奇偶性的性質(zhì). 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 根號函數(shù)的奇函數(shù)得f(0)=0,然后再根據(jù)f(x+2)=﹣f(x)和f(1)=1,求f(3)即可. 解答: 解:函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0, 又f(x+2)=﹣f(x),f(1)=1, 故f(3)=f(1+2)=﹣f(1)=﹣1, f(4)=f(2+2)=﹣f(2)=﹣f(0+2)=f(0)=0, ∴f(3)﹣f(4)=﹣1 點評: 本題主要考查函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)f(0)=0和函數(shù)的新定義,屬于基礎(chǔ)題. 6.已知向量,滿足||=1,||=2,與的夾角為60,則|﹣|= ?。? 考點: 向量的模. 專題: 計算題;數(shù)形結(jié)合. 分析: 根據(jù)題意和根據(jù)向量的減法幾何意義畫出圖形,再由余弦定理求出||的長度. 解答: 解:如圖, 由余弦定理得:||= == 故答案為:. 點評: 本題考查的知識點有向量的夾角、向量的模長公式、向量三角形法則和余弦定理等,注意根據(jù)向量的減法幾何意義畫出圖形,結(jié)合圖形解答. 7.在等比數(shù)列{an}中,a5+a6=3,a15+a16=6,則a25+a26= 12 . 考點: 等比數(shù)列的性質(zhì). 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比數(shù)列,進而根據(jù)等比中項的性質(zhì)可求得答案. 解答: 解:∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列, ∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比數(shù)列, ∴a25+a26===12, 故答案為:12. 點評: 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用了在等比數(shù)列中,依次每 k項之和仍成等比數(shù)列. 8.函數(shù)y=x+2cosx在區(qū)間上的最大值是 . 考點: 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 專題: 計算題. 分析: 對函數(shù)y=x+2cosx進行求導,研究函數(shù)在區(qū)間上的極值,本題極大值就是最大值. 解答: 解:∵y=x+2cosx,∴y′=1﹣2sinx 令y′=0而x∈則x=, 當x∈[0,]時,y′>0. 當x∈[,]時,y′<0. 所以當x=時取極大值,也是最大值; 故答案為 點評: 本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值問題,屬于導數(shù)的基礎(chǔ)題. 9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.a(chǎn)sinBcosC+csinBcosA=且a>b,則∠B= 30?。? 考點: 正弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù). 專題: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化簡已知等式,整理后求出sinB的值,由a大于b得到A大于B,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù). 解答: 解:利用正弦定理化簡得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB, ∵sinB≠0, ∴sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB=, ∵a>b,∴∠A>∠B, ∴∠B=30. 故答案為:30 點評: 此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵. 10.由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,∠APB=60,則P(x,y)中x,y滿足的關(guān)系為 x2+y2=4?。? 考點: 圓的切線方程. 專題: 計算題;直線與圓. 分析: 由∠APO(O為圓心)=∠APB=30,知PO=2OA=2.所以P的軌跡是一個以原點為圓心,半徑為2的圓,由此可知點P的軌跡方程. 解答: 解:∵∠APO(O為圓心)=∠APB=30, ∴PO=2OA=2. ∴P的軌跡是一個以原點為圓心,半徑為2的圓, 軌跡方程為x2+y2=4. 故答案為:x2+y2=4. 點評: 本題考查軌跡方程的求法,解題時注意分析題條件,尋找數(shù)量間的相互關(guān)系,合理建立方程. 11.已知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4,則使不等式恒成立的實數(shù)m的范圍是 ?。? 考點: 基本不等式. 專題: 計算題;整體思想. 分析: 由題意將x+y=4代入進行恒等變形和拆項后,再利用基本不等式求出它的最小值,根據(jù)不等式恒成立求出m的范圍. 解答: 解:由題意知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4, 則==++≥+1=,當=時取等號; ∴的最小值是, ∵不等式恒成立,∴. 故答案為:. 點評: 本題考查了利用基本不等式求最值和恒成立問題,利用條件進行整體代換和合理拆項再用基本不等式求最值,注意一正二定三相等的驗證. 12.(5分)(xx秋?高郵市校級月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項及公差均是正整數(shù),前n項和為Sn,且a1>1,a4>6,S3≤12,則axx= 4030?。? 考點: 等差數(shù)列的性質(zhì). 專題: 計算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,由a1>1,a4>6,S3≤12,得到an=2n,由此能夠求出axx. 解答: 解:由題意可得設(shè)an=a1+(n﹣1)d,則Sn=na1+d, 由a1>1,a4>6,S3≤12,得a1+3d>6,3a1+3d≤12, 解得6﹣3d<a1≤12﹣d, 因為首項及公差均是正整數(shù),所以a1=2,d=2 所以an=2n,axx=4030. 故答案為:4030. 點評: 本題考查學生會利用等差數(shù)列的通項公式解決數(shù)學問題的能力,靈活運用等差數(shù)列性質(zhì)的能力. 13.如圖,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則的最小值是 ﹣?。? 考點: 平面向量數(shù)量積的運算. 專題: 計算題. 分析: 由向量的加法,可得,將其代入中,變形可得=﹣2(||﹣)2﹣,由二次函數(shù)的性質(zhì),計算可得答案. 解答: 解:根據(jù)題意,O為圓心,即O是AB的中點,則, 則≥﹣, 即的最小值是﹣; 故答案為﹣. 點評: 本題考查數(shù)量積的運算,關(guān)鍵是根據(jù)O是AB的中點,得到,將求的最小值轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最小值問題. 14.已知實數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a6=32,an+2=,把數(shù)列{an}的各項排成如右圖的三角形狀.記A(m,n)為第m行從左起第n個數(shù),則若A(m,n)?A(n,m)=250,則m+n= 11?。? 考點: 數(shù)列的應(yīng)用. 專題: 計算題. 分析: 由題意可知,{an}是等比數(shù)列,且an=2n﹣1.A(m,n)?A(n,m)==250.由此可知m+n=11. 解答: 解:由題意可知,{an}是等比數(shù)列,且an=2n﹣1. , , ∴A(m,n)?A(n,m)==250, m2+n2﹣m﹣n=50, ∴m+n=11. 答案:11. 點評: 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認真審題,仔細解答. 二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且c2=a2+b2﹣ab. (Ⅰ)若tanA﹣tanB=(1+tanA?tanB),求角B; (Ⅱ)設(shè)=(sinA,1),=(3,cos2A),試求?的最大值. 考點: 余弦定理;平面向量數(shù)量積的運算. 專題: 解三角形. 分析: (I)利用余弦定理、兩角和差的正切公式、正切函數(shù)的單調(diào)性即可得出. (II)利用數(shù)量積運算、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出. 解答: 解:(I)∵c2=a2+b2﹣ab,∴cosC==. ∵C∈(0,π),∴C=. ∵tanA﹣tanB=(1+tanA?tanB),∴tan(A﹣B)==, ∵A,B,∴,∴A﹣B=. ∴B==,解得B=. (2)?=3sinA+cos2A=﹣2sin2A+3sinA+1=, 由(I)可得,∴當sinA=時,?取得最大值. 點評: 本題考查了余弦定理、兩角和差的正切公式、正切函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運算、倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題. 16.已知{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列(bn>0),且a1=b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)記Tn為數(shù)列{anbn}的前n項和,求Tn. 考點: 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合;數(shù)列的求和. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,由已知q>0,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出; (2)利用“錯位相減法”即可得出. 解答: 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,由已知q>0, ∵a1=b1=2,a3+b3=16,S4+b3=34. ∴ ∴. (2), , 兩式相減得=. ∴. 點評: 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于中檔題. 17.近年來,某企業(yè)每年消耗電費約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費C(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)=(x≥0,k為常數(shù)).記F為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該村15年共將消耗的電費之和. (1)試解釋C(0)的實際意義,并建立F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)當x為多少平方米時,F(xiàn)取得最小值?最小值是多少萬元? 考點: 函數(shù)最值的應(yīng)用. 專題: 應(yīng)用題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: (1)C(0)的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用,依題意,C(0)==24,可求得k,從而得到F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值時x的值. 解答: 解:(1)C(0)的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用, 即未安裝電陽能供電設(shè)備時全村每年消耗的電費…(2分) 由C(0)==24,得k=2400 …(3分) 所以F=15+0.5x=+0.5x,x≥0…(7分) (2)因為+0.5(x+5)﹣2.5≥2﹣2.5=57.5,…(10分) 當且僅當=0.5(x+5),即x=55時取等號 …(13分) 所以當x為55平方米時,F(xiàn)取得最小值為57.5萬元…(14分) 點評: 本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用,著重考查分析與理解能力,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于難題. 18.已知圓C經(jīng)過點A(1,3)、B(2,2),并且直線m:3x﹣2y=0平分圓C. (1)求圓C的方程; (2)若過點D(0,1),且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N. (Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍; (Ⅱ)若?=12,求k的值. 考點: 圓的標準方程;平面向量數(shù)量積的運算. 專題: 計算題;直線與圓. 分析: (1)設(shè)圓C的標準方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.由圓C被直線平分可得3a﹣2b=0,結(jié)合點A、B在圓上建立關(guān)于a、b、r的方程組,解出a、b、r的值即可得到圓C的方程; (2)(I)由題意,得直線l方程為kx﹣y+1=0,根據(jù)直線l與圓C有兩個不同的交點,利用點到直線的距離建立關(guān)于k的不等式,解之即可得到實數(shù)k的取值范圍; (II)直線l方程與圓C方程聯(lián)解消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線l方程和向量數(shù)量積的坐標運算公式,化簡?=12得到關(guān)于k的方程,解之即可得到k的值. 解答: 解:(1)設(shè)圓C的標準方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 ∵圓C被直線m:3x﹣2y=0平分,∴圓心C(a,b)在直線m上,可得3a﹣2b=0…①, 又∵點A(1,3)、B(2,2)在圓上,∴…②, 將①②聯(lián)解,得a=2,b=3,r=1. ∴圓C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1; (2)過點D(0,1)且斜率為k的直線l方程為y=kx+1,即kx﹣y+1=0, (I)∵直線l與圓C有兩個不同的交點M、N, ∴點C(2,3)到直線l的距離小于半徑r, 即,解之得<k<; (II)由消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0. 設(shè)直線l與圓C有兩個不同的交點坐標分別為M(x1,y1)、N(x2,y2), 可得x1+x2=,x1x2=, ∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=++1, ∵?=+(++1)=12,解之得k=1. 點評: 本題著重考查了圓的標準方程、直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、向量的坐標運算公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識,屬于中檔題. 19.已知函數(shù)f(x)=ex﹣x2﹣ax(a∈R). (Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值; (Ⅱ)若函數(shù)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a取值范圍; (Ⅲ)如果函數(shù)g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2有兩個不同的極值點x1,x2,證明:a>. 考點: 函數(shù)在某點取得極值的條件;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 專題: 導數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,可以求出a的值,再根據(jù)切點坐標在曲線上和切線上,即可求出b的值,從而得到答案; (2)將函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),轉(zhuǎn)化為f(x)>0在R上恒成立,利用參變量分離轉(zhuǎn)化成a<ex﹣x在R上恒成立, 利用導數(shù)求h(x)=ex﹣x的最小值,即可求得實數(shù)a的取值范圍; (3)根據(jù)x1,x2是g(x)的兩個極值點,可以得到x1,x2是g′(x)=0的兩個根,根據(jù)關(guān)系,利用分析法, 將證明不等式轉(zhuǎn)化為,即求的最小值問題,利用導數(shù)即可證得結(jié)論. 解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=ex﹣x2﹣ax, ∴f′(x)=ex﹣x﹣a, ∴根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得,切線的斜率k=f(0)=1﹣a, ∵切線方程為y=2x+b,則k=2, ∴1﹣a=2,解得a=﹣1, ∴f(x)=ex﹣x2+x, ∴f(0)=1,即切點(0,1), ∴1=20+b,解得b=1; (Ⅱ)由題意f(x)>0即ex﹣x﹣a≥0恒成立, ∴a≤ex﹣x恒成立. 設(shè)h(x)=ex﹣x,則h′(x)=ex﹣1. 當x變化時,h′(x)、h(x)的變化情況如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,+∞) h′(x) ﹣ 0 + h(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) ∴h(x)min=h(0)=1, ∴a≤1; (Ⅲ)∵g(x)=f(x)﹣(a﹣)x2, ∴g(x)=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax, ∴g′(x)=ex﹣2ax﹣a, ∵x1,x2是函數(shù)g(x)的兩個不同極值點(不妨設(shè)x1<x2), ∴ex﹣2ax﹣a=0(*)有兩個不同的實數(shù)根x1,x2 當時,方程(*)不成立 則,令,則 由p′(x)=0得: 當x變化時,p(x),p′(x)變化情況如下表: x p(x) ﹣ ﹣ 0 + p′(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減極小值 單調(diào)遞增 ∴當時,方程(*)至多有一解,不合題意; 當時,方程(*)若有兩個解,則 所以,. 點評: 本題考查了利用導數(shù)研究在曲線某點處的切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.同時考查了不等式的證明,證明過程中運用了構(gòu)造函數(shù)的思想,是綜合性較強的一道導數(shù)應(yīng)用題.屬于難題. 20.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列{an}滿足(n∈N*,且n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+(﹣1)n﹣1anan+1,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍; (3)是否存在以a1為首項,公比為q(0<q<5,q∈N*)的數(shù)列{a},k∈N*,使得數(shù)列{a}中每一項都是數(shù)列{an}中不同的項,若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{nk}的通項公式;若不存在,說明理由. 考點: 數(shù)列與函數(shù)的綜合. 專題: 綜合題;壓軸題;探究型. 分析: (1)由,(n∈N*,且n≥2),知.再由a1=1,能求出數(shù)列{an}的通項公式; (2)當n=2m,m∈N*時,Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++(﹣1)2m﹣1a2ma2m+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)++a2m(a2m﹣1﹣a2m+1)===.當n=2m﹣1,m∈N*時,Tn=T2m﹣1=T2m﹣(﹣1)2m﹣1a2ma2m+1==.由此入手能求出實數(shù)t的取值范圍. (3)由,知數(shù)列{an}中每一項都不可能是偶數(shù).如存在以a1為首項,公比q為2或4的數(shù)列{ank},k∈N*,此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數(shù),故不存在以a1為首項,公比為偶數(shù)的數(shù)列{ank}.當q=1時,顯然不存在這樣的數(shù)列{ank}.當q=3時,,n1=1,,.所以滿足條件的數(shù)列{nk}的通項公式為. 解答: 解:(1)因為,(n∈N*,且n≥2), 所以an﹣an﹣1=.(2分) 因為a1=1, 所以數(shù)列{an}是以1為首項,公差為的等差數(shù)列. 所以an=.(4分) (2)①當n=2m,m∈N*時,Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++(﹣1)2m﹣1a2ma2m+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)++a2m(a2m﹣1﹣a2m+1)=﹣=﹣=﹣.(6分) ②當n=2m﹣1,m∈N*時,Tn=T2m﹣1=T2m﹣(﹣1)2m﹣1a2ma2m+1=﹣=.(8分) 所以Tn= 要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立, 只要使﹣,(n為偶數(shù))恒成立. 只要使﹣,對n為偶數(shù)恒成立, 故實數(shù)t的取值范圍為.(10分) (3)由an=,知數(shù)列{an}中每一項都不可能是偶數(shù). ①如存在以a1為首項,公比q為2或4的數(shù)列{ank},k∈N*, 此時{ank}中每一項除第一項外都是偶數(shù),故不存在以a1為首項,公比為偶數(shù)的數(shù)列{ank}.(12分) ②當q=1時,顯然不存在這樣的數(shù)列{ank}. 當q=3時,若存在以a1為首項,公比為3的數(shù)列{ank},k∈N*. 則=1,n1=1,=,nk=. 所以滿足條件的數(shù)列{nk}的通項公式為nk=.(16分) 點評: 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要注意公式的合理運用.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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