2019-2020年高三數(shù)學一輪復(fù)習 專項訓(xùn)練 等差、等比綜合問題(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪復(fù)習 專項訓(xùn)練 等差、等比綜合問題(含解析) 1、 已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項公式; (2)求a1+a4+a7+…+a3n-2. 解 (1)設(shè){an}的公差為d.由題意,得a=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,所以d=-2或0(舍去). 故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列. 從而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n. 2、已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,它的前n項和為Sn,且a1+1,a3+1,a7+1成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項公式; (2)求數(shù)列的前n項和Tn. 解 (1)由題意,得a3+1=a1+5,a7+1=a1+13, 所以由(a3+1)2=(a1+1)(a7+1) 得(a1+5)2=(a1+1)(a1+13) 解得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1. (2)由(1)知an=2n+1,則Sn=n(n+2), =, Tn= = =-. 考點二:數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用 1、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2+a4=8,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x滿足f′=0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解 (1)由題設(shè)可得,對任意n∈N*,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. f′=an-an+1+an+2-an+1=0, 即an+1-an=an+2-an+1,故{an}為等差數(shù)列. 由a1=2,a2+a4=8,解得數(shù)列{an}的公差d=1, 所以an=2+1(n-1)=n+1. (2)由bn==2=2n++2, 知Sn=b1+b2+…+bn=2n+2+=n2+3n+1-. 2、已知正項數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和Sn滿足an=+(n≥2). (1)求證:{}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式; (2)記數(shù)列的前n項和為Tn,若對任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)因為an=+,所以Sn-Sn-1=+, 即-=1,所以數(shù)列{}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,得=n, 所以an=+=n+(n-1)=2n-1(n≥2),當n=1時,a1=1也適合,所以an=2n-1. (2)因為==, 所以,Tn==.∴Tn<, 要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2, 故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞). 考點:數(shù)列綜合練習題 1.公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且-3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4=( ). A.-20 B.0 C.7 D.40 解析 記等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),依題意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2,即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0,又q≠1,因此有q=-3,則S4==-20. 答案 A 2.若-9,a,-1成等差數(shù)列,-9,m,b,n,-1成等比數(shù)列,則ab=( ). A.15 B.-15 C.15 D.10 解析 由已知得a==-5,b2=(-9)(-1)=9且b<0,∴b=-3,∴ab=(-5)(-3)=15. 答案 A 3.數(shù)列{an}滿足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前n項和為Sn,則滿足Sn>1 025的最小n值是( ). A.9 B.10 C.11 D.12 解析 因為a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,則滿足Sn>1 025的最小n值是11. 答案 C 4.已知{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項和.若a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5=( ). A.35 B.33 C.31 D.29 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知, a2a3=a1a4=2a1,即a4=2. 由a4與2a7的等差中項為知,a4+2a7=2, ∴a7==.∴q3==,即q=. ∴a4=a1q3=a1=2,∴a1=16,∴S5==31. 答案 C 5.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ). A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析 由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2n2+3n. 答案 A 6.已知實數(shù)a1,a2,a3,a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列,且a1,a3,a4構(gòu)成等比數(shù)列,則此等比數(shù)列的公比等于________. 解析 設(shè)公差為d,公比為q. 則a=a1a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d), 解得a1=-4d,所以q===. 答案 7.某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________. 解析 每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an}, 其中a1=2,q=2.則Sn==2(2n-1)≥100,即2n+1≥102.∴n≥6,∴最少天數(shù)n=6. 答案 6- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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