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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第三章 導數(shù)及其應用階段測試（四）理 新人教A版
一、選擇題
1．設曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋3＝0垂直，則a等于( )
A．2 B．－2
C. D．－
答案 B
解析 因為y＝的導數(shù)為y′＝，所以曲線在(3,2)處的切線斜率為k＝－，又直線ax＋y＋3＝0的斜率為－a，所以－a(－)＝－1，解得a＝－2.
2．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
答案 B
解析 由題意，知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－≤a≤.
3．已知a≤＋ln x對任意x∈[，2]恒成立，則a的最大值為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
解析 令f(x)＝＋ln x，則f′(x)＝，當x∈[，1)時，f′(x)<0，當x∈(1,2]時，f′(x)>0，
∴f(x)在[，1)上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，
即a的最大值為0.
4．設f(x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則?f(x)dx等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
解析 依題意得，?f(x)dx＝?x2dx＋?dx
＝x3|＋ln x|＝＋1＝.
5．已知函數(shù)f(x)對定義域R內(nèi)的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且當x≠2時，其導函數(shù)f′(x)滿足xf′(x)>2f′(x)，若2
2f′(x)，得(x－2)f′(x)>0，所以當20恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．由20；x∈(，]時，y′<0，故函數(shù)y＝x＋2cos x在[0，)上遞增，在(，]上遞減，所以當x＝時，函數(shù)取得最大值，為＋.
7．函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
答案 (－1,1)
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝.
f(x)，f′(x)隨x的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1)．
8．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，對任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，則a的取值范圍為________．
答案 [3，＋∞)
解析 由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2.
又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，
∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．
解 (1)因為f′(x)＝x－(x>0)，
又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，
所以解得a＝2，b＝－2ln 2.
(2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，
則f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．
所以有a≤1.
10．(xx大綱全國)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，證明：0，f(x)在(－1，a2－2a)是增函數(shù)；
若x∈(a2－2a,0)，則f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是減函數(shù)；
若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)．
②當a＝2時，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立當且僅當x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函數(shù)．
③當a>2時，若x∈(－1,0)，則f′(x)>0，f(x)在(－1,0)是增函數(shù)；
若x∈(0，a2－2a)，則f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)是減函數(shù)；
若x∈(a2－2a，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函數(shù)．
(2)證明 由(1)知，當a＝2時，f(x)在(－1，＋∞)是增函數(shù)．
當x∈(0，＋∞)時，f(x)>f(0)＝0，
即ln(x＋1)>(x>0)．
又由(1)知，當a＝3時，f(x)在[0,3)是減函數(shù)．
當x∈(0,3)時，f(x)ln(＋1)>＝.
ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln(＋1)<＝，
即當n＝k＋1時有
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第三章
導數(shù)及其應用階段測試四理
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導練測
第三
導數(shù)
及其
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