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2019-2020年高三最后一卷(臨門一腳)數(shù)學(xué)試題含答案
參考公式:
棱錐的體積公式:,其中S為錐體的底面積,h為高.
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.已知集合A={1,k-1},B={2,3},且A∩B={2},則實(shí)數(shù)k的值為 ▲ .
2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=2(i為虛數(shù)單位),則z= ▲ .
3.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 ▲ .
4.函數(shù)y=sin2x的最小正周期為 ▲ .
5.若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐A-BDA1的體積為 ▲ .
6.已知函數(shù)若f(x)=5,則x= ▲ .
7.設(shè)函數(shù)f(x)=log2x(0
2y>0,則的最小值為 ▲ .
12.設(shè)t∈R,[t]表示不超過(guò)t的最大整數(shù).則在平面直角坐標(biāo)系xOy中,滿足[x]2+[y]2=13的點(diǎn)P(x,y)所圍成的圖形的面積為 ▲ .
13.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=lnx.若在區(qū)間內(nèi),存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1,x2,x3,使得=t,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ▲ .
14.設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{an},滿足a54=xx,且存在正整數(shù)k,使a1,a54,ak成等比數(shù)列,則公差d的所有可能取值之和為 ▲ .
二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖,在△ABC中,||=3,||=5,||=7.
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大??;
(2)設(shè)D為AB的中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).
16.(本小題滿分14分)
如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F(xiàn)在圓上,四邊形ABCD為矩形,AB∥EF,∠BAF=,M為BD的中點(diǎn),平面ABCD⊥平面ABEF.求證:
(第16題圖)
A
C
D
F
E
M
O
B
(1)BF平面DAF;
(2)ME∥平面DAF.
17.(本小題滿分14分)
圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖,圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖,其中四邊形ABCD是矩形,弧CmD是半圓,凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積與邊的乘積,設(shè)AB=2x,BC=y.
(1)寫出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式,并指出x的取值范圍;
(第17題圖)
圖1
圖2
A
B
C
D
m
(2)求當(dāng)x取何值時(shí),凹槽的強(qiáng)度T最大.
18.(本小題滿分16分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1).
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P,Q,滿足OP⊥OQ.
①已知命題:“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題,試直接寫出圓C的方程;
(不需要解答過(guò)程)
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn),二次函數(shù)y=x2-m的圖象過(guò)點(diǎn)M.點(diǎn)A,B在該圖象上,當(dāng)A,O,B三點(diǎn)共線時(shí),求△MAB的面積S的最小值.
19.(本小題滿分16分)
設(shè)數(shù)列{an},a1=1,.?dāng)?shù)列{bn},.正數(shù)數(shù)列{dn},.
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{bn},{dn}的前n項(xiàng)和分別為Bn,Dn,求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項(xiàng)和Sn.
20.(本小題滿分16分)
設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x12y>0,則的最小值為 ▲ .
答案:4.
12.設(shè)t∈R,[t]表示不超過(guò)t的最大整數(shù).則在平面直角坐標(biāo)系xOy中,滿足[x]2+[y]2=13的點(diǎn)P(x,y)所圍成的圖形的面積為 ▲ .
答案:8.
13.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=lnx.若在區(qū)間內(nèi),存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1,x2,x3,使得=t,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ▲ .
答案:.
14.設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{an},滿足a54=xx,且存在正整數(shù)k,使a1,a54,ak成等比數(shù)列,則公差d的所有可能取值之和為 ▲ .
答案:92.
二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖,在△ABC中,||=3,||=5,||=7.
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大小;
(2)設(shè)D為AB的中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).
解:(1)依題意BC=3,CA=5,AB=7.1分
由余弦定理,得=. 4分
因0b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1).
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P,Q,滿足OP⊥OQ.
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P,Q,滿足OP⊥OQ.
①已知命題:“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題,試直接寫出圓C的方程;
(不需要解答過(guò)程)
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn),二次函數(shù)y=x2-m的圖象過(guò)點(diǎn)M.點(diǎn)A,B在該圖象上,當(dāng)A,O,B三點(diǎn)共線時(shí),求△MAB的面積S的最小值.
解:(1)由,所以.2分
設(shè)橢圓方程為,將(1,1)代入得,
所以,橢圓方程為.5分
(2)①.9分
②由題意,二次函數(shù)為y=x2-1.10分
設(shè)直線AB的方程為y=kx.
由,消去得,.
設(shè),,則,.12分
所以. 14分
當(dāng)時(shí),△MAB的面積S的最小值為1. 16分
19.(本小題滿分16分)
設(shè)數(shù)列{an},a1=1,.?dāng)?shù)列{bn},.正數(shù)數(shù)列{dn},.
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{bn},{dn}的前n項(xiàng)和分別為Bn,Dn,求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由,得.
又,所以.3分
又b1=a1=1,所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.4分
(2)由(1)得,Bn=.6分
因,
故.
由dn>0,得.
于是,. 10分
又當(dāng)n≥2時(shí),
bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1,
所以Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+…+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn.14分
因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也適合上式,故對(duì)于任意的n∈N*,都有Sn=BnDn.
所以Sn=BnDn==. 16分
20.(本小題滿分16分)
設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x10,<0,>0,而x1=∈(0,1),
故當(dāng)a=時(shí),f(x)極大=f(x1)=.16分
南通市xx高三數(shù)學(xué)臨門一腳
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
21.【選做題】本題包括A、B、C、D共4小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A.[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖,⊙O是三角形△ABC的外接圓,AB=AC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使得CD=AC,連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F,求證BE平分∠ABC.
O
A
E
C
D
B
F
(第21A題圖)
解:因CD=AC,故∠D=∠CAD.
因AB=AC,故∠ABC=∠ACB.
因∠EBC=∠CAD,故∠EBC=∠D.
因∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.
故∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC. 10分
B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣,A的兩個(gè)特征值為,=3.
(1)求a,b的值;
(2)求屬于的一個(gè)特征向量.
解:(1)令,于是
+=a+4,=4a+b.解得a=1,b=2. 5分
(2)設(shè)=,則===3=,
故解得x=y.于是,=.10分
C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
圓C的參數(shù)方程為(q為參數(shù)),設(shè)P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線為l,求直線l的極坐標(biāo)方程.
解:由題設(shè)知,圓心,,∠CPO=60,
故過(guò)P點(diǎn)的切線的傾斜角為30. 3分
設(shè)是過(guò)P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn),則在△PMO中,
∠MOP=,,.
由正弦定理得,于是,
即(或)即為所求切線的極坐標(biāo)方程.10分
D.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)
已知a、b、c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,求的最大值.
解:因 a、b、c>0,
故()2 = ()2
≤((a+1)+(b+1)+(c+1))(1+1+1)=12,3分
于是≤,
當(dāng)且僅當(dāng),即a=b=c=時(shí),取“=”.
所以,的最大值為.10分
【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
22.(本小題滿分10分)
(1)計(jì)算:;
(2)觀察下面一組組合數(shù)等式:;;;…
由以上規(guī)律,請(qǐng)寫出第k(k∈N*)個(gè)等式并證明.
解:(1)原式=2074.5分
(2)等式為:,k∈N*. 7分
證明:===.10分
23.(本小題滿分10分)
數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1,且對(duì)任意正整數(shù)n,{an}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為bn;
{bn}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為an.
(1)求a1;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:(1)首先,容易得到一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí):{an}與{bn}均為不減數(shù)列且an∈N,bn∈N.
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的項(xiàng)至少有一項(xiàng),從而b1≥1,這與b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,則{an}中沒(méi)有小于或等于1的項(xiàng),從而b1=0,這與b1≥2矛盾.
所以,a1=1.4分
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}為不減數(shù)列,故{an}中小于等于k+1的項(xiàng)只有k項(xiàng),
于是bk+1=k,此時(shí){bn}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(b1,b2,…,bk,bk+1),
從而ak≥k+1,這與假設(shè)ak=k矛盾.
若ak+1=k,則{an}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,這與假設(shè)bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.
綜上,由(1),(2)可知,an=bn=n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立.
所以,an=n,即為所求的通項(xiàng)公式.10分
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