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1、北京市第二十四中學(xué)教案
課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì)
教材分析：
解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。如果說根據(jù)曲線的條件求出方程是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的幾何性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的。
本節(jié)課通過對橢圓方程的討論，使學(xué)生了解如何用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)。正如引言中提出的，圓錐曲線的性質(zhì)可以從純幾何的角度討論，但需要較多的知識準(zhǔn)備，而且要有較強(qiáng)的邏輯推理能力。用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)，將復(fù)雜的幾何關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對曲線方程特點的考察。代數(shù)方法可以程
2、序化的進(jìn)行運算，用坐標(biāo)法研究曲線的性質(zhì)有較強(qiáng)的規(guī)律性。
本節(jié)內(nèi)容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個范例，這也對將來研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)有著重要的指導(dǎo)作用。
學(xué)情分析：
學(xué)生在高一必修階段，學(xué)習(xí)了必修2中的直線與方程，圓與方程，已接觸過研究解析幾何問題的主要方法——坐標(biāo)法，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，探究橢圓的簡單性質(zhì)的第一節(jié)課。
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識與技能：
① 掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質(zhì)；
②掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c,e的幾何意義，以及a,b,c,e之間的相互關(guān)系
③初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性
3、質(zhì)的方法。
過程與方法：
①通過利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法的初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更要重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；
②以自主探究為主，通過體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。
情感態(tài)度與價值觀：
①通過多媒體展示，讓學(xué)生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣；
②通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；
③使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)與形的
4、聯(lián)系，體會數(shù)與形的辨證統(tǒng)一。
教學(xué)重點：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；
教學(xué)難點：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；
教學(xué)方法：
(1)教學(xué)策略：本節(jié)課依據(jù)“觀察，歸納，猜想，證明”及“從特殊到一般”的思想方法，先由學(xué)生畫圖、折紙，觀察去發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)，接著引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法進(jìn)行推證。本設(shè)計力求更好地符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，加強(qiáng)知識發(fā)生過程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力與邏輯思維能力.
(2)學(xué)法指導(dǎo)：通過創(chuàng)設(shè)問題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過程來激勵學(xué)生的探索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和學(xué)生的情感發(fā)展來調(diào)整整個學(xué)習(xí)活動的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。
5、
教學(xué)過程：
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
引入
創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入課題：
（多媒體展示圖片——國家大劇院）
為什么設(shè)計師選擇這種橢圓形設(shè)計呢？
橢圓到底美在何處？它具有哪些特質(zhì)？
這就是我們今天要研究的課題
——橢圓的簡單幾何性質(zhì)
觀察思考
激起探究欲望
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過多媒體展示，讓學(xué)生體會橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣。
開門見山，激起學(xué)生對橢圓性質(zhì)探究的欲望。
提出問題
探究活動：
請同學(xué)們拿出課前剪好的橢圓紙片，在小組內(nèi)交流橢圓紙片的制作過程，從中發(fā)現(xiàn)橢圓有哪些性質(zhì)？
問
6、1.你能找到橢圓紙片的中心嗎？
問2.給你一張矩形紙能不能剪出比矩形紙大的橢圓？
問3.有誰剪的橢圓紙板是不對稱的？
問4. 同學(xué)們彼此看看各自的橢圓紙片的扁平程度一樣嗎?
問5. 能不能說任意橢圓都有上述性質(zhì)呢
用什么表示任意一個橢圓？
組內(nèi)交流、發(fā)現(xiàn)
探究活動，提出問題，明確學(xué)習(xí)方向
引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓（幾何直觀），讓學(xué)生先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對稱性、扁平程度等
新課程強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去歸納，讓學(xué)生體驗知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識過程中的主體地位。
解決問題
下面我們就利用橢圓的
7、標(biāo)準(zhǔn)方程
研究橢圓的幾何性質(zhì)。
1． 范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形框里．-a≤x≤a, -b≤y≤b
2．對稱性：橢圓關(guān)于 x軸、y軸和原點都對稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心。
3.頂點：
橢圓和它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫橢圓的頂點．
其中A1（-a,0）,A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點；B1（0,-b）,B2(0,b) 是橢圓與y軸的兩個交點．
線段A1 A2和B1 B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長．
4．離心率：橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢
8、圓的離心率．
說明①因為所以．
②e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，從而b越接近于a，這時橢圓就接近于圓；
③當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A．x2+y2=a2（看來橢圓的扁平程度是由離心率的大小決定的）
研究曲線的幾何性質(zhì)能從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。
觀察、思考、交流
組內(nèi)交流
代表發(fā)言
新課題的問題解決
在探究活動中，由觀察、猜想、歸納出的橢圓的一些簡單幾何性質(zhì)，利用方程的各種特征研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，
本節(jié)課的難點是從橢
9、圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。把從具體實物中的發(fā)現(xiàn)上升到理論證明，由感性認(rèn)識到理性思考，這是進(jìn)行科學(xué)研究的必經(jīng)之路，同時也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)——利用代數(shù)方法解決幾何問題。
應(yīng)用反饋
創(chuàng)設(shè)情境
能力提升
應(yīng)用反饋
例１ 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)。
例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1) （1）經(jīng)過點P(－3, 0)、Q(0,－ 2);
(2) （2）長軸長是20，離心率是
（請同桌的同
10、學(xué)互相出題評判:一名同學(xué)寫一個焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，另一名同學(xué)寫出它的焦點、頂點坐標(biāo)，長軸長、短軸長和焦距）
（類比得出焦點在y軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì) ）
再思考：前面提到的國家大劇院，舞臺安在橢圓的一個焦點處，貴賓席安在另一個焦點處，這是為什么？
課堂練習(xí)；見學(xué)案
師生互動
聯(lián)系后實物投影展示
深入理解，鞏固應(yīng)用
知識只有在應(yīng)用中才能得到升華，才能加深對知識的理解，才能達(dá)到熟練掌握的程度。例1是為鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì)設(shè)置；例2是由橢圓曲線的幾何性質(zhì)特征，定位定量得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由例1、例2的設(shè)置進(jìn)一步明確解析幾何研究的主要問題（1）據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線方程，研究曲線的性質(zhì)。
互助學(xué)習(xí)、協(xié)同研究，制作焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì)的表格，使學(xué)生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊精神。
鞏固應(yīng)用
板書設(shè)計
練習(xí): 學(xué)案
課堂小結(jié)
1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了那些知識？
2.感受最深的是什么？
家庭作業(yè)
教材P49 A組5、3、4（寫本上）
課后反思
北京市第二十四中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：《橢圓的幾何性質(zhì)》（新人教A版選修11）
