七上第一章 走進(jìn)數(shù)學(xué)世界精講精練(2)(含答案).doc

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走進(jìn)數(shù)學(xué)世界 【引言】 中學(xué)生朋友們，祝賀你們跨進(jìn)了蘇中網(wǎng)校，數(shù)學(xué)世界歡迎你。 蘇中網(wǎng)校將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流去獲取知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，形成解題技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力。我們將在輕松、愉快的氣氛中與數(shù)學(xué)交朋友，學(xué)會(huì)去分析生活中的有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，了解宇宙之大，粒子之微，驚嘆火箭之速，化工之巧，探索生物之謎，地球之變，讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)世界去了解數(shù)學(xué)的奧秘。誠(chéng)然我們從小學(xué)已經(jīng)開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)，學(xué)會(huì)了加、減、乘、除；認(rèn)識(shí)了三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓以及長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和球體等圖形，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，數(shù)學(xué)伴我們成長(zhǎng)。下面我們準(zhǔn)備了十個(gè)例題，考查一下你的思維，是不是很聰明？ 【典型例題分析】 例1． 李白買酒歌 李白街上走，提壺去買酒， 遇店加一倍，見(jiàn)花喝一斗， 三遇店和花，喝光壺中酒， 試問(wèn)壺中原有多少酒？ 算術(shù)頭腦分析：（倒推法）喝光壺中酒第三次見(jiàn)花前應(yīng)有酒1斗第三次遇店前應(yīng)有酒斗第二次見(jiàn)花前應(yīng)有酒（+1）斗第二次遇店前應(yīng)有酒（+1）斗第一次見(jiàn)花前應(yīng)有酒[（+1）+1]斗第一次遇店前應(yīng)有酒 [（+1）+1]斗，此即壺里原有的酒。 解1： [（+1）+1]=(斗) 答：略 說(shuō)明：算術(shù)方法注重的是結(jié)論，運(yùn)用例推的思維方法就可以解決李白買酒的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其實(shí)我們也有一些聰明的孩子已經(jīng)掌握了代數(shù)的方法。 代數(shù)頭腦分析 代數(shù)方法是用字母來(lái)代替數(shù)，順著讀題的順序把每次買酒的數(shù)量用一個(gè)含字母的式子來(lái)表示，下面我們具體用分析如下：設(shè)壺中原有酒x斗第一次遇店后，壺中酒變?yōu)?x斗第一次見(jiàn)花后，壺中酒變?yōu)椋?x-1）斗第二次遇店后，壺中酒為2（2x-1）斗第二次見(jiàn)花后，壺中酒變?yōu)?（2x-1）-1=（4x-3）斗第三次遇店后為2（4x-3）斗第三次見(jiàn)花后為2（4x-3）-1=0 解2：8x-7=0，得斗 答：（略） 例2．我國(guó)四大發(fā)明之一的黑火藥，它所用的原料是硫磺，硝酸鉀和木炭，其比例是2∶15∶3，要配制這種火藥640克，三種原料應(yīng)各取多少克？ 分析：在這個(gè)問(wèn)題中，黑火藥是一個(gè)整體，它包含三種物質(zhì)硫磺、硝酸鉀和木炭。 用算術(shù)頭腦分析：三種原料混合在一起共重640克，由比例的性質(zhì)知： 硫磺占，即（克） 硝酸鉀占，即（克） 木炭占，即（克） 答：三種原料各取64克，480克，96克。 用代數(shù)頭腦分析：在比例問(wèn)題中，通常設(shè)每一份為x 根據(jù)題意得：2x+15x+3x=640，解得x=32 所以2x=64（克） 15x=480（克） 3x=96（克） 答：（略） 例3．時(shí)鐘大家都很熟悉，請(qǐng)你觀察并計(jì)算一下，在兩點(diǎn)和三點(diǎn)之間，時(shí)鐘上的分針和時(shí)針重合的時(shí)刻。 分析：針面是圓的，可以用兩種計(jì)時(shí)單位來(lái)計(jì)算。 解法一：把鐘面的圓盤(pán)邊緣分成60格，分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走格；設(shè)在兩點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針和分針重合。這時(shí)分針走了x格，時(shí)針走了x格，重合時(shí)時(shí)針比分針少走了10格（時(shí)針是從第10個(gè)格出發(fā)走的）。由題意得x-x=10，解得x=， 答：在兩點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針重合。 解法二：由于時(shí)針、分針是繞圓心旋轉(zhuǎn)，分針60分鐘可旋轉(zhuǎn)一圈360，那么分針每分鐘轉(zhuǎn)6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)度，設(shè)在兩點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針和分針重合。這時(shí)分針轉(zhuǎn)了6x度，時(shí)針轉(zhuǎn)了x度，重合時(shí)時(shí)針比分針少轉(zhuǎn)了60度（時(shí)針是從鐘面上2處開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的）由題意得，解得，答：（略）。 同學(xué)們，你們可以仿造上面的例題編一個(gè)在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間，分針和時(shí)針成一條直線的應(yīng)用題，再試著求一求，你感到難不難？ 例4．萊蒙托夫是俄國(guó)著名的詩(shī)人，愛(ài)好數(shù)學(xué)。有一次，他給一些軍官表演猜數(shù)游戲。他請(qǐng)一名軍官隨便想好一個(gè)數(shù)，不要說(shuō)出來(lái)，然后請(qǐng)這個(gè)軍官將想好的這個(gè)數(shù)加上25，再加上125，減去37，再減去最初想好的這個(gè)數(shù)，把得到的數(shù)乘以5，最后再除以2，這時(shí)，萊蒙托夫說(shuō)，我可以猜出你算出的結(jié)果，他問(wèn)那個(gè)軍官：“此數(shù)是282.5對(duì)嗎？”那個(gè)軍官非常吃驚，因?yàn)槿R蒙托夫并不知道他想的是什么數(shù)，卻得到了和他完全一樣的結(jié)果。奧秘在哪里呢？請(qǐng)你用字母表示這個(gè)數(shù)，就能解開(kāi)這個(gè)謎。 解：設(shè)那個(gè)軍官想好的數(shù)為a 由題意得：（a+25+125-37-a）52=282.5 例5．托爾斯泰的割草問(wèn)題 割草隊(duì)要收割兩塊草地，其中一塊比另一塊大1倍，全隊(duì)在大的一塊草地上割了一上午，到了下午就分成兩半，一半人繼續(xù)留在大塊草地上，到晚上正好把大塊草地的草割完。另一半人轉(zhuǎn)移到小塊草地上，到了晚上還未割完，還剩下一小塊。第二天，這剩下的一小塊由一個(gè)割草隊(duì)員花了一整天剛好割完。問(wèn)這個(gè)割草隊(duì)共有幾人？ 算術(shù)頭腦分析：在大塊草地上割草隊(duì)全體割了半天，全隊(duì)的一半人又割了半天，這就是，這一半人要花3個(gè)半天收割完這大塊草地。也就是說(shuō)，全隊(duì)一半的人在半天時(shí)間內(nèi)收割了大塊草地的。由于大塊草地比小塊草地大一倍，所以在小塊草地上，半隊(duì)人割半天后剩下的草地為大塊草地的。由于這剩下的一小塊地正好由一個(gè)割草隊(duì)員割完，即一個(gè)割草隊(duì)員一天可割大塊草地的。而全隊(duì)人在一天中共割了大塊草地的，所以割草隊(duì)的總?cè)藬?shù)為。 我們?nèi)绻脠D解法也很方便，如右圖： 大塊草地 小塊草地 代數(shù)頭腦分析： 設(shè)割草隊(duì)人數(shù)為x，每人每天割草面積為a，由題意可知： 大塊草地面積為： 小塊草地面積為： 由于大塊草地比小塊草地大一倍，故有： 兩邊都除以（>0），解得x=8 答：割草隊(duì)共有8人。 例6．立達(dá)中學(xué)第5中隊(duì)的少先隊(duì)員們?nèi)ミ\(yùn)河公園植樹(shù)。已知樹(shù)苗的成活率在75%—80%之間，為了確保1200棵樹(shù)成活，第5中隊(duì)的少年隊(duì)員們，最少要栽種多少棵樹(shù)苗？ 分析：樹(shù)苗的成活率在75%到80%之間，那么也就是說(shuō)如果成活率低需要的樹(shù)苗就多，需1600棵；如果成活率高，需要的樹(shù)苗就少，需1500棵。因此為了確保1200棵樹(shù)成活，就要細(xì)心呵護(hù)小樹(shù)苗，讓成活率達(dá)到最高時(shí)，栽種的最少樹(shù)苗為1500棵。 例7．一幢八層樓房，由第一層到第二層有21級(jí)臺(tái)階，以后每上一層少2級(jí)臺(tái)階，求小強(qiáng)由第三層到達(dá)第八層共走了多少級(jí)臺(tái)階？ 分析：上樓走樓梯與種樹(shù)的道理一樣 由一層到八層共有7個(gè)樓梯，它們是： 21+19+17+15+13+11+9 由第三層到達(dá)第八層共走了 17+15+13+11+9=65（級(jí)） 注意：由于缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)出現(xiàn)走8個(gè)樓梯的錯(cuò)誤。 例8．果子成熟后，從樹(shù)上落到地面。它落下的高度與經(jīng)過(guò)的時(shí)間有下面的關(guān)系： 時(shí)間t(秒) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 …… 高度h(米) 50.25 50.36 50.49 50.64 50.81 51 …… 請(qǐng)你猜測(cè)一下用t表示h的公式。并用公式計(jì)算一下果子經(jīng)過(guò)0.55秒落到地上，這個(gè)果子離地面的高度是多少米？（精確到0.01） 分析：通過(guò)列表給出的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：50.25=50. 52 50.36= 50. 62 …… ∴公式h=5t2 當(dāng)t=0.55秒時(shí)，高度h=50. 552=1.5125≈1.51（米） 請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)完成解題過(guò)程，要注意表述完整、清晰。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例9．將正方體用刀切去一塊，可得到下列哪些圖形？不能得到的圖形是哪一個(gè)？ 分析：這是一道空間想象能力的題目，要通過(guò)觀察，實(shí)踐、摸索、總結(jié)，才能夠全面地給出答案。我們不注重你的結(jié)論，而更看重的是你思考的過(guò)程，實(shí)踐出真知，讓我們動(dòng)手，動(dòng)腦，試一試吧！ 例10．閱讀科學(xué)家的故事。 哥德巴赫猜想與陳景潤(rùn) 早在1742年6月7日數(shù)學(xué)家哥德巴赫寫(xiě)信告訴歐拉，說(shuō)他想發(fā)表一個(gè)猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。同年6月30日歐拉給他回信說(shuō)：每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信這個(gè)論斷是完全正確的。 我們可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，例如： 6=3+3； 8=3+5； 10=3+7=5+5； 12=5+7； 14=3+11； 16=3+13=5+11； 18=5+13=7+11； 20=3+17=7+13； 22=3+19=5+17=11+11； 24=5+19=7+17=11+13； 26=3+23=5+21=7+19=13+13； …… 同學(xué)們也可自己試一試，任意取一個(gè)偶數(shù)（例如1000，1998），將它寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。 有人對(duì)一個(gè)一個(gè)偶數(shù)都進(jìn)行了驗(yàn)算，一直算到3億多，都表明這個(gè)猜想是對(duì)的，但是這還不能說(shuō)明哥德巴赫猜想對(duì)于全部大偶數(shù)都是正確的，它的正確性還有待于研究。 歐拉和哥德巴赫一生都沒(méi)能證明這個(gè)論斷，以后的200年里，也沒(méi)有哪位數(shù)學(xué)家給出證明。因此，直到今日，這只能稱為一個(gè)猜想，這個(gè)猜想也就是著名的哥德巴赫猜想。這是一個(gè)世界上有名的難題，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠。1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，提出了23個(gè)他認(rèn)為最重要的沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這23個(gè)問(wèn)題預(yù)示著20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的方向，許多數(shù)學(xué)家分別在解決這些問(wèn)題方面作了巨大的努力，取得了豐碩的成果，哥德巴赫猜想問(wèn)題就是希爾伯特第8問(wèn)題（素?cái)?shù)問(wèn)題）的一部分。 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)潛心研究了一系列著名的數(shù)論問(wèn)題，特別是在哥德巴赫猜想問(wèn)題的研究上，得到了目前世界上最好的結(jié)果，1966年5月，他證明了：每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)2個(gè)素因子的積的和。 這個(gè)結(jié)果就是國(guó)際上公認(rèn)的以陳景潤(rùn)的名字命名的陳氏定理。陳景潤(rùn)寫(xiě)出的（1，2）的證明長(zhǎng)達(dá)200頁(yè)，他的證明引起國(guó)際數(shù)學(xué)界的關(guān)注，稱他的論文是解析數(shù)論的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)，是對(duì)研究哥德巴赫猜想的重大貢獻(xiàn)。 至今為止，對(duì)哥德巴赫猜想的研究還沒(méi)有結(jié)束，還有從（1，2）到（1，1）這最艱難的一步。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（1877—1947）1921年在哥本哈根數(shù)學(xué)會(huì)上說(shuō)：“哥德巴赫猜想可能是沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題中最困難的一個(gè)”?，F(xiàn)在這顆皇冠上的明珠正在峰頂上閃耀，但她只屬于那些勤奮踏實(shí)、不畏艱險(xiǎn)、勇于攀登的攀登者。 【同步練習(xí)】 1． 小華買了60分和80分的郵票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的郵票各買了幾枚？ 2． 銀行計(jì)算利息是存入的錢數(shù)（本金）與存入的時(shí)間數(shù)（期數(shù)）及每期的利率的積。某人將1萬(wàn)元按一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行，月利率是1.88‰（讀作千分之一點(diǎn)八八），到期后交利息稅20%，問(wèn)此人最后可得利息為多少元？ 3． 運(yùn)用加、減、乘、除四種運(yùn)算，如何由四個(gè)數(shù)2，7，10，4（每個(gè)數(shù)只能用一次）得到24，你能想出幾個(gè)算式？寫(xiě)出來(lái)。 4． 今年5月1日是星期三，你能否推算出今年10月1日是星期幾？ 5． 如圖，線與線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由1+2+3+4+5得15個(gè)， （1） 圖中的三角形個(gè)數(shù)為多少個(gè)？ （2） 是點(diǎn)多呢？還是三角形多？ （3） 你能寫(xiě)出數(shù)三角形個(gè)數(shù)的方法嗎？如果再增加一排，會(huì)有多少個(gè)三角形呢？ 1 2 3 4 5 6． 電影院的座位數(shù)如下表所示： （1） 如果電影院有20排座位，那么電影院共有多少座位。 每排座位數(shù) 排 數(shù) 2 18 1 3 4 5 20 22 24 26 （2） 記為第n排的座位數(shù)，試用n的代數(shù)式表示。 7． 某中隊(duì)48人去游樂(lè)場(chǎng)游覽，游樂(lè)場(chǎng)售票處規(guī)定：門(mén)票一人券每張10元，十人券每張70元，他們動(dòng)腦筋想出了一種購(gòu)買門(mén)票花費(fèi)最少的辦法，請(qǐng)你想一想最少要花多少元？ 8． “從1999年11月1日起，全國(guó)儲(chǔ)蓄存款開(kāi)始征收利息稅，利息稅的稅率為20%（即儲(chǔ)蓄利息的20%，由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收）”，某人在2002年1月5日存入人民幣30000元，年利率為2.25%，一年到期后應(yīng)繳納利息稅多少元？ 9． 某服裝店同時(shí)賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計(jì)算，其中一套盈利20%，另一套虧本20%，問(wèn)這次出售服裝，是賺錢還是賠錢？ 10．?huà)寢屪屝∶鹘o客人燒水沏茶。他計(jì)算了一下時(shí)間，洗水壺需用1分，燒開(kāi)水需用15分，洗茶壺需用1分，洗茶杯需用1分，拿茶葉需用2分。小明估算了一下，完成這些工作需花20分。為了使客人早喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分就能沏茶了？ 【練習(xí)答案】 1． 買60分郵票4枚，80分郵票6枚 2． 180.48元 3． （10-2）（7-4）； 24（10-7）； 7（42）+10；等 4． 今年10月1日是星期二 5． （1）共計(jì)27個(gè) （2）此圖中三角形的個(gè)數(shù)多 （3）數(shù)三角形的個(gè)數(shù)要掌握規(guī)律，從小到大來(lái)數(shù) 有一個(gè)小三角形的有1+3+5+7=16個(gè) 由4個(gè)小三角形組成的有1+2+3+1=7個(gè) 由9個(gè)小三角形組成的有1+2=3個(gè) 由16個(gè)小三角形組成的有1個(gè) 如果再增加一排，會(huì)有48個(gè) 6．（1）740 （2） 7．買五張十人券共花費(fèi)350元，如果把多余的兩張?jiān)賻蓚€(gè)人進(jìn)游樂(lè)場(chǎng)，收每人7元的話，只要花費(fèi)336元。 8． 135元 9． 原價(jià)分別為140元和210元，共計(jì)350元，現(xiàn)兩套賣得1682=336（元）因此賠了。 10．16分鐘。這樣安排， 洗水壺（1分）燒開(kāi)水（15分） 利用燒開(kāi)水同時(shí)：洗茶壺（1分）洗茶杯（1分）拿茶葉（2分）。