八年級數(shù)學(xué)下冊 第一部分 基礎(chǔ)知識篇 第9課 矩形例題課件 （新版）浙教版.ppt

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例1.如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60，AB=5,則AD的長是 （ ） A. B. C .5 D.10,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,∵在矩形ABCD中,,∴AO=BO,故選A.,例1.如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60，AB=5,則AD的長是 （ ） A. B. C .5 D.10,又∵∠AOB=60， ∴△AOB是等邊三角形，∴BO=AB=5,∴BD=2BO=10,,舉一反三,思路分析:根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60，判斷出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB即可．,如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60，AC=6cm，則AB的長是（ ） A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm,失誤防范,矩形定義： 有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形； 矩形的性質(zhì)： （1）矩形的對邊平行且相等，對角線互相平分； （2）矩形的四個角都是直角； （3）矩形的對角線相等.,例2.對于四邊形ABCD，給出下列6組條件： ①∠A=90,∠B=∠C=∠D;②∠A=∠B=90,∠C=∠D;③∠A=∠B=∠C=∠D;④AB=CD,AD=BC,AC=BD; ⑤AC=BD;⑥AB∥CD,AD∥BC.其中能得到“四邊形ABCD是矩形”的條件有（ ） A．1組 B．2組 C．3組 D．4組,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,①由∠A=90，∠B=∠C=∠D可以得到∠A=∠B=∠C=∠D=90，故①正確；,②由∠A=∠B=90，∠C=∠D=90可以得到∠A=∠B=∠C=∠D=90，故②正確；,⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四邊形為平行四邊形，故⑥錯誤； ∴正確的有4個，故選D．,③∠A=∠B=∠C=∠D能得到四個角都是直角，故③正確；,④由AB=CD,AD=BC能得到四邊形為平行四邊形，由AC=BD得到四邊形為矩形，故④正確；,⑤AC=BD，對角線相等的四邊形不一定是矩形，故⑤錯誤；,思路分析:根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形進行判斷即可．,對于四邊形ABCD，下面給出對角線的三種特征：①AC、BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD．當(dāng)具備上述條件中的 ，就能得到“四邊形ABCD是矩形”,失誤防范,矩形的判定： （1）有一個角是直角的平行四邊形叫作矩形； （2）有三個角是直角的四邊形是矩形； （3）對角線相等的平行四邊形是矩形.,例3.如圖，在矩形ABCD，AB=2,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD，AC 于點E、O，連接CE，則CE的長為（ ） A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,∵EO是AC的垂直平分線， ∴AE=CE， 設(shè)CE=x，則ED=AD﹣AE=4﹣x， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x2=22+（4﹣x）2， 解得x=2.5， 即CE的長為2.5． 故選：C．,舉一反三,思路分析:設(shè)AE=x，則ED=4﹣x，利用勾股定理列方程：x2=32+（4﹣x）2，求出x的值，再利用勾股定理計算OE的長，由全等證明OE=OF，從而得出EF=2OE．,如圖，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點E、F，垂足為O，則EF的長為__,舉一反三,失誤防范,在矩形中求線段長： 此類題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理； 在矩形中，通常設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程可求得線段的長，并熟練掌握矩形的性質(zhì).,例4.如圖，已知矩形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，連接DF.求: (1) △ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分線.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=90,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AFB, ∵DE⊥AF，∴∠DEA=∠B=90， ∵AF=BC，∴AF=AD， ∴△DEA≌△ABF（AAS）； （2）∵由（1）知△ABF≌△DEA， ∴DE=AB， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠C=90，DC=AB，∴DC=DE． ∵ ∠DEA=90 ∴∠C=∠DEF=90 ∵ DF=DF ∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL） ∴∠EDF=∠CDF， ∴DF是∠EDC的平分線．,舉一反三,如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E． 求證：DE=AB．,思路分析:由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠C=90，AB=DC，BC=AD，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對應(yīng)邊相等即可．,答案： ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90，AB=DC，BC=AD，AD∥BC， ∴∠EAD=∠AFB， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90， 在△ADE和△FAB中， ∴△ADE≌△FAB（AAS）， ∴DE=AB ．,失誤防范,1.矩形的性質(zhì)： （1）矩形的4個內(nèi)角都是直角； （2）矩形的對角線相等且互相平分； （3）矩形所在平面內(nèi)任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等； （4）矩形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形（對稱軸是任何一組對邊中點的連線），它至少有兩條對稱軸；對稱中心是對角線的交點. （5）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)； （6）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.,失誤防范,2.矩形的判定： ①定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形； ②定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形； ③定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形； ④對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.,例5.如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15，則∠BOE=_____.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90，AO=OB， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45， 而∠CAE=15， ∴∠BAO=60， ∴△ABO是等邊三角形， ∴BO=BA，∠ABO=60 ∴∠OBE=30 又∵ △ABE是等腰直角三角形， ∴BE=BA， ∴BO=BE， ∴∠BOE= ∠BEO= （180﹣∠OBE）/2 = （180﹣30）/2 =75．,舉一反三,如圖，矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，AE平分∠BAD交于BC邊上的中點E，連接OE．下列結(jié)論：①∠ACB=30；②OE⊥BC；③OE= BC/4．其中正確的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．0,思路分析:由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證出△ABE是等腰直角三角形，得出①不正確，②、③正確；即可得出結(jié)論．,舉一反三,失誤防范,等腰三角形的性質(zhì)： （1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）； （2）等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合； （3）等腰三角形的兩底角的平分線相等； （4）等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等.,例6.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是AB,CD上的點，AE=CF，連接EF,BF,EF與對角線AC交于點O，且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. （1）求證：OE=OF; (2)若BC= ，求AB的長.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB， ∴∠FCO=∠EAO， 在△FCO和△EAO中， ∴△FCO≌△EAO（AAS）， ∴OF=OE.,解題技巧,（2）如圖，連接OB， ∵BE=BF，OE=OF， ∴BO⊥EF， ∵△FCO≌△EAO，∴OA=OC, OB= AC=OA, ∴∠BAC=∠ABO. ∴在Rt△BEO中，∠BEF=2∠BAC，∠BAC=∠ABO， ∴2∠BAC+∠BAC =90， 解得∠BAC =30， ∵BC=2 ， ∴AC=2BC=4 ， ∴AB= =6．,舉一反三,如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是AD、BC上的點，連接AF、EF，EF與對角線BD交于點O．若AE=AF=CF=12，∠AEF=2∠ADB，求矩形ABCD的面積．,舉一反三,思路分析:連接AC、EC．首先證明AC經(jīng)過點O，由△ECD≌△ECO，推出DC=OC=OA，推出AC=2CD，推出∠DAC=30，由此即可解決問題．,答案：連接AC、EC． ∵四邊形ABCD是矩形，∴DE∥BF，AD=BC， ∴∠EDO=∠OBF，∵AE=CF，∴DE=BF， ∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD≌△FOB， ∴OB=OD， ∴AC經(jīng)過點O， ∵∠AEF=2∠ADB，∠AEF=∠EDO+∠EOD， ∴∠EDO=∠EOD， ∴ED=EO，同理可知OF=BF， ∵AE=AF， ∴AC⊥EF，∴∠EOF=∠EDC=90， ∵EC=EC，EO=ED，∴△ECD≌△ECO，,舉一反三,∴DC=OC=OA，∴AC=2CD，∴∠DAC=30， ∵EF⊥AC，OC=OA， ∴EA=EC， ∴∠EAC=∠ECA=30，∴∠DEC=60，∴∠ECD=30， 在Rt△EDC中，∵EC=AE=12，∠ECD=30， ∴AD=18， ∴S矩形ABCD,失誤防范,矩形的性質(zhì)： 對邊平行且相等； 四個角為直角； 對角線互相平分且相等； 中心對稱圖形、軸對稱圖形.,例7.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F. （1）求證：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的長； （3）當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位 置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E， 交∠ACB的外角平分線于點F， ∴∠2=∠5，∠4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，F(xiàn)O=CO， ∴OE=OF； （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90， ∵CE=12，CF=5， ∴EF= =13， ∴OC= EF=6.5；,解題技巧,（3）當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時， 四邊形AECF是矩形． 理由如下：由（1）知OE=OF， 當(dāng)點O移動到AC中點時有OA=OC, ∴四邊形AECF為平行四邊形， 又∵∠ECF=90， ∴四邊形AECF為矩形．,舉一反三,如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E、F． （1）若CE=8，CF=6，求OC的長； （2）連接AE、AF．問：當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．,舉一反三,思路分析:（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90，由勾股定理求出EF，即可得出答案； （2）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．,答案：（1）證明：∵EF交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF， ∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF； ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180，∴∠ECF=90， 在Rt△CEF中，由勾股定理得： ∴OC=OE= EF=5； （2）解：當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下： 連接AE、AF，如圖所示： 當(dāng)O為AC的中點時，AO=CO， ∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵∠ECF=90，∴平行四邊形AECF是矩形．,失誤防范,1. 矩形的判定： 有一個角是直角的平行四邊形是矩形； 有三個角是直角的四邊形是矩形； 對角線相等的平行四邊形是矩形（對角線互相平分且相等的四邊形是矩形）.,失誤防范,2.平行四邊形中常用輔助線的添法：,平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下: (1)連對角線或平移對角線: (2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形；,失誤防范,(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線； (4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形； (5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.,