河南省天一大聯(lián)考高三階段測試（一）理科數(shù)學(xué)試題 及答案

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1、 河南省開封高級(jí)中學(xué)等22校2015屆高三天一大聯(lián)考(一) 理科數(shù)學(xué)試卷 【試卷綜析】試題遵循了考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為主體的原則，著重體現(xiàn)了對(duì)“雙基”的考查。試卷考查了中學(xué)數(shù)學(xué)尤其是考試說明中的大部分知識(shí)點(diǎn)，選擇題、填空題著重考查了集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)的定義域、圖象、單調(diào)性、初等函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、程序框圖、立體幾何、排列組合、圓錐曲線、統(tǒng)計(jì)初步等常規(guī)知識(shí)點(diǎn)；解答題也著眼于常規(guī)的基本知識(shí)和基本技能的考查，考查了三角函數(shù)和解三角形、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何等考生感覺熟悉、容易入手的內(nèi)容，梯度設(shè)計(jì)合理。整份試卷中大部分是基礎(chǔ)題目，這些題目的設(shè)計(jì)

2、回歸教材和中學(xué)教學(xué)實(shí)際，以自然但不俗套的形式呈現(xiàn)，既保證了高考試題的創(chuàng)新性，又讓考生能以一種平和的心態(tài)面對(duì)試題，在有限的時(shí)間內(nèi)盡力發(fā)揮出自己的最佳水平，保證了考生的“基礎(chǔ)得分”，從而保證了考試較高的信度和效度。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】(1)已知集合A=，B，則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)；集合的交集.A1,B6,B7 【答案解析】C解析：解：由題可知，所以正確選項(xiàng)為C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式分別求出x的取值，然后求出交集

3、. 【題文】(2)已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 ( ) A．2 B. 2 C.1 D.-1 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念.L4 【答案解析】A解析：解：由題可知，又因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以a-2=0 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，再利用分母實(shí)數(shù)化求出實(shí)部與虛部，最后求出結(jié)果. 【題文】(3)已知實(shí)數(shù)1，m,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為 A. B. 2 C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列；橢圓；雙曲線.D3,H5,H6 【答案解析】C解析：解：根據(jù)條件可知，當(dāng)，所以

4、正確選項(xiàng)為C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件可求出m，分別求出不同情況下的離心率. 【題文】(4)下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是 （ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性.B3,B4 【答案解析】B解析：解：為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，也是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，所以只有B選項(xiàng)正確. 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析求解即可. 【題文】(5)如圖是某次詩歌比賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)莖葉圖（其中a、b為數(shù)字0---9中的一個(gè)），分別去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，記甲、乙兩名選手得分的

5、平均數(shù)分別為，得分的方差分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】統(tǒng)計(jì).I4 【答案解析】C解析：解：由題計(jì)算可知 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平均數(shù)的概念與方差的概念分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的特征數(shù)，然后進(jìn)行比較即可. 【題文】(6)設(shè)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，若則正整數(shù)k=（ ） A.10 B.11 C.12 D.13 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念.D2 【答案解析】D解析：解：解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， a1=-3， 解得k=13．故答案為：13． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列的概念直接求解. 【題

6、文】(7)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出，則判斷框中應(yīng)填入的條件是 （ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖.L1 【答案解析】解析：解：由程序框圖知：算法的功能是求S=-21-22-…-2n+1的值， ∵輸出S=-126， ∴跳出循環(huán)的n值為6，∴判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為n＞5或n≥6． 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】算法的功能是求S=-21-22-…-2n+1的值，根據(jù)輸出的S值，確定跳出循環(huán)的n值，從而確定判斷框內(nèi)的條件 【題文】 (8)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A．48- B. C.

7、D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖.G2 【答案解析】C解析：解：由題意可知幾何體為長方體內(nèi)挖去一個(gè)圓柱，所以根據(jù)條件可知幾何體的體積為，所以C選項(xiàng)正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖可抽象出幾何體的形狀，再利用體積公式進(jìn)行計(jì)算. 【題文】(9)若變量x,y滿足約束條件則Z=2x-y的最大值為（ ） A.2 B.5 C.1 D.4 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃.E5 【答案解析】B解析：解：由題可知目標(biāo)函數(shù)Z的最大值在處取得，代入可得Z= 【思路點(diǎn)撥】由線性規(guī)劃可知目標(biāo)函數(shù)的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)可知最大值取得的位置. 【題文】(10)已知函數(shù)①，②，則

8、下列結(jié)論正確的是（ ） A.兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 B. ①的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位即得②的圖像 C.兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù) D.兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡；三角函數(shù)對(duì)稱中心；三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；三角函數(shù)的圖像的移動(dòng).C3,C4. 【答案解析】C解析：解：由題可知；①，②，由函數(shù)的性質(zhì)可知為①的對(duì)稱中心，不是②的對(duì)稱中心，①的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位的圖像，與②不同，①的周期為，②的周期為.所以只有C為正確選項(xiàng). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解. 【題文】

9、（11）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線.H8 【答案解析】A解析：解：過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則|PF|=|PB|， ∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（-1，0），點(diǎn)A（-1，0）， ∴ 設(shè)過A拋物線的切線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程可得k2x2+（2k2-4）x+k2=0， ∴△=（2k2-4））2-4k4=0， ∴k=1 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】把已知轉(zhuǎn)化成直線與拋物線相切有解的問題即可解決. 【題文】(12)若定義在R上的函數(shù)滿足

10、且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ） A.4 B.8 C.6 D.10 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.B12 【答案解析】C解析：解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x）， ∴函數(shù)是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，∵函數(shù)f（x）=xex的定義域?yàn)镽， f′（x）=（xex）′=x′ex+x（ex）′=ex+xex令f′（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=-1．列表 由表可知函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）． 當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=xex

11、的極小值為， y=|xex|，在x=-1時(shí)取得極大值： ，x∈（0，+∞）是增函數(shù)， ∴x＜0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有5個(gè)交點(diǎn)，x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)． 兩個(gè)函數(shù)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)． 即函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上有4個(gè)零點(diǎn)． 故答案為：6 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單詞性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13---21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22---24題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分. 【題文】(13)已知向量，則實(shí)數(shù)的值為 【

12、知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算.F2 【答案解析】2解析：解：設(shè)由向量的運(yùn)算可知， 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到向量之間的關(guān)系. 【題文】 (14)的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理；定積分.J3,B13. 【答案解析】解析：解：由二項(xiàng)式定理可知的系數(shù)為，，所以積分的值為. 【思路點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式特定項(xiàng)的求法表示出的系數(shù)，再求出a的值，再求積分的值. 【題文】 (15)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，，則球O的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積公式.G8 【答案解析】解析：解：由題可知球的直徑為，半徑為， 【思路點(diǎn)撥】

13、根據(jù)幾何體的條件求出外接球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算. 【題文】(16)已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，數(shù)列的前m項(xiàng)和為，則 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列.D2 【答案解析】804解析：解：解析：由題設(shè)條件得: 由此歸納得， 所以 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解析式求出數(shù)列的性質(zhì)，按數(shù)列的性質(zhì)求出最后結(jié)果. 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 【題文】(17)(本小題滿分12分) 在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且。 (I)求的值. (II)若，求a和c. 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；兩角和與差的展開式.C5,C8 【答案解析】解析：解：（

14、Ⅰ）由正弦定理得 又， 所以，即， 所以， 即，又， 所以. （Ⅱ）由得，又，所以. 由，可得， 所以，即，所以.… 【思路點(diǎn)撥】由正弦定理與兩角和與差的展開式進(jìn)行計(jì)算；根據(jù)余弦定理求出邊長. 【題文】(18)(本小題滿分12分) 某品牌汽車的4S店對(duì)最近100位采用分期付款的購車者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示： 已知分3期付款的頻率為0.15，并且4S店銷售一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元，以頻率作為概率. （I）求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的

15、概率； （II）用X表示銷售一輛該品牌汽車的利潤，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 【知識(shí)點(diǎn)】概率；離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.K5,K6 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）由，得，因?yàn)?，所以，“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用4期付款”的概率（Ⅱ）記分期付款的期數(shù)為,依題意得，，，，，因?yàn)榈目赡苋≈禐?并且， ， . 所以的分布列為 所以的數(shù)學(xué)期望為（萬元）.…… 【思路點(diǎn)撥】由題意求出事件A的概率；根據(jù)條件列出分布列利用公式求變量的數(shù)學(xué)期望. 【題文】(19)(本小題滿分12分) 如圖，正四棱錐的高為3，底面邊長為2，E是棱PC的中

16、點(diǎn)，過AE作平面與棱PB、PD分別交于點(diǎn)M、N（M、N可以是棱的端點(diǎn)）. (I)當(dāng)M是PB的中點(diǎn)時(shí)，求PN的長; (II)求直線AE與平面PBC所成角的正弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】正四棱錐；向量求直線與平面所成的角．G7,G10. 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，.因?yàn)槠矫?，所以平面，所?又，所以、兩點(diǎn)重合. 所以. （Ⅱ）解法一：連接、交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 … 設(shè)平面的一個(gè)法向量為則 令，得 設(shè)直線與平面所成的角為，則 所以直線與平面所成角的正弦值為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段的長度，利用勾股定理求值；建立空間坐標(biāo)系，求出法向量，求出

17、夾角． 【題文】(20)(本小題滿分12分) 定圓M：，動(dòng)圓N過點(diǎn)F且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E. （I）求軌跡E的方程； （II）設(shè)點(diǎn)A，Ｂ，Ｃ在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線AB的方程． 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．H5,H8 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓. 因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，且,所以，所以軌跡的方程為.（Ⅱ）（i）當(dāng)為長軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)就是橢圓的上下頂點(diǎn)（或左右頂點(diǎn)）， 此時(shí). （ii）當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為， 聯(lián)立方程得 所以 .由知，為等

18、腰三角形，為的中點(diǎn)，，所以直線的方程為，由解得，， 由于，所以，…………（11分） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是.因?yàn)?，所以面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為或. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義求出橢圓方程，利用直線與橢圓的聯(lián)立方程討論面積． 【題文】（２１）（本小題滿分１２分） 已知函數(shù)且的圖像在外的切線方程為，其中ｅ為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （I）討論的極值情況； （II）當(dāng)ａ＝０時(shí)，求證： 【知識(shí)點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)；導(dǎo)數(shù)證明不等式．B6,B7.B11 【答案解析】解析：解：(Ⅰ) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?． 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，沒有極值； 當(dāng)時(shí)，，若

19、，則；若，則, 存在極大值，且當(dāng)時(shí)，.綜上可知：當(dāng)時(shí)，沒有極值； 當(dāng)時(shí)，存在極大值，且當(dāng)時(shí)，. (Ⅱ) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.， .當(dāng)時(shí)，，令，則， ，且在上為增函數(shù)， 設(shè)的根為，則，即， 當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)， ，，， 由于函數(shù)在上為增函數(shù)， ∴， ∴. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值問題，構(gòu)造函數(shù)證明不等式． 請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分. 作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào). 【題文】（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，點(diǎn)A是以線段BC為直徑的圓O上一點(diǎn)，ADBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作

20、圓O的切線， 與CA的延長線交于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，連接CG并延長與BE相交于點(diǎn)F,延長AF 與CB的延長線相交于點(diǎn)P. （Ⅰ）求證：BF=EF; （Ⅱ）求證：PA是圓O的切線. 【知識(shí)點(diǎn)】幾何證明選講. N1 【答案解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略. 解析：（Ⅰ） 因?yàn)槭菆A的直徑，是圓的切線，所以，又因?yàn)?，所以，可知?， 所以，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 所以是的中點(diǎn)，. …………………………………………（5分） （Ⅱ）如圖，連接，因?yàn)?/p>

21、是圓的直徑，所以． 在中，由（Ⅰ）知是斜邊的中點(diǎn)， 所以，所以. 又因?yàn)椋裕? 因?yàn)槭菆A的切線，所以. 因?yàn)椋? 所以是圓的切線.…………………………………………………………（10分） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）易得，從而得， ， 所以，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 所以是的中點(diǎn)，.（Ⅱ）即證,即證 在中，由（Ⅰ）知是斜邊的中點(diǎn)，所以， 所以.又因?yàn)?，所以．因?yàn)槭菆A的切線，所以.因?yàn)? 所以是圓的切線. 【題文】（23）(本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xoy中，是過定點(diǎn)P（4,2）且傾斜角為的直線；在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸

22、為極軸，取相同長度單位）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為 . （Ⅰ）寫出直線的參數(shù)方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若曲線C與直線相交于不同兩點(diǎn)M、N,求的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)與參數(shù)方程. N3 【答案解析】（Ⅰ）為參數(shù),; （Ⅱ） 解析：（Ⅰ）直線的參數(shù)方程為為參數(shù).……………（2分） 因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為. ………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）將代入中，得，則 有…………………………………………（6分） 所以.又，所以， ，………（8分） 由得，所以.…（10分） 【思路點(diǎn)

23、撥】（Ⅰ）設(shè)直線上任一點(diǎn)M,PM=t，則直線的參數(shù)方程為為參數(shù).（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程得 則有，所以. 又，所以，所以 ， 由得，，所以. 【題文】(24) (本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知關(guān)于x的不等式的解集為A. （Ⅰ）若a=1，求A;（Ⅱ）若A=R,求a的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】含絕對(duì)值的不等式. N4 【答案解析】（Ⅰ）或; （Ⅱ） 解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí),原不等式化為, 得； 當(dāng)時(shí),原不等式化為,得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為,得， 綜上，或.………………………………………（5分） （Ⅱ）當(dāng)時(shí),成立，所以此時(shí). 當(dāng)時(shí), ，得或,在x>-2上恒成立，得. 綜上，的取值范圍為.…………………………………（10分） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）分段討論解不等式；（Ⅱ）通過對(duì)不等號(hào)右邊式子的符號(hào)的討論，確定實(shí)數(shù)a的取值條件，最后求它們的交集即可.