2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)40 橢圓

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1、 考點(diǎn)40 橢圓 一、選擇題 1.（2012浙江高考文科Ｔ8）如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)。若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（ ） A.3 B.2 C. D. 【解題指南】分別設(shè)出橢圓與雙曲線的方程,根據(jù)其焦點(diǎn)相同和M，O，N將橢圓長軸四等分得出離心率之間的關(guān)系. 【解析】選Ｂ.設(shè)雙曲線的方程為，橢圓的方程為，由于M，O，N將橢圓長軸四等分，所以， 又所以. 2.（2012江西高考文科Ｔ8）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，

2、左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為離心率，解方程得e. 【解析】選B. 因?yàn)锳、B為左右頂點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，所以，， ，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以即，所以離心率. 3.（2012新課標(biāo)全國高考文科Ｔ4）與（2012新課標(biāo)全國高考文科Ｔ4）相同 設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則E的離心率為（ ） A．

3、 B. C. D. 【解題指南】根據(jù)題意畫出圖形，尋求所滿足的數(shù)量關(guān)系，求得離心率。 【解析】選C.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，在中，，，故，解得，故離心率. 二、填空題 4.（2012福建高考理科Ｔ13）已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________. 【解題指南】運(yùn)用等比數(shù)列的基本知識和基本定義和公式設(shè)邊，運(yùn)用余弦定理求解三角形． 【解析】依次設(shè)三邊為，則最大邊為，最大角的余弦值為 . 【答案】. 5.（2012江西高考理科Ｔ12）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列.若，則________

4、 【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，整體得到三者所滿足的關(guān)系，求得的值. 【解析】均是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，，即，，＝35. 【答案】35. 6.（2012江西高考理科Ｔ13）橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，左右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_______ 【解題指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列建立的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，解方程得e. 【解析】為左右頂點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，所以，，，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，所以離心率 【答案】. 三、解答題 7.（2012廣東高考理科Ｔ20）（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知

5、橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3. （1）求橢圓C的方程； （2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由. 【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a,b的值。問題得解.（2）先求出原點(diǎn)到直線的距離，再利用圓的弦長公式，求出|AB|的長，進(jìn)而求出,再根據(jù)在橢圓上，因而,從而確定出m的值，n的值。問題得解. 【解析】（1）由題意得, 橢圓C的方程為. (2)假設(shè)存在，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d, 則

6、 , 在橢圓上， 當(dāng)且僅當(dāng),即 此時. 顯然存在這點(diǎn)的點(diǎn)或,使的最大，最大值為. 8.（2012廣東高考文科Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:（）的左焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在. （1） 求橢圓的方程； （2） 設(shè)直線同時與橢圓和拋物線:相切，求直線的方程. 【解題指南】 (1)根據(jù)題意可知從而可解出a的值，問題得解. （2）由題意得直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)出直線方程分別與橢圓方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓和拋物線相切時滿足判別式等于0，可求得直線的方程. 【解析】（1）由題意得, 橢圓的方程為. (2) 由題意得：直線的斜率一定存在且不為0，

7、設(shè)直線方程 因?yàn)闄E圓C的方程為 消去得 直線與橢圓相切，.即 直線與拋物線:相切，則消去得 即 由（1）（2）解得 所以直線的方程. 9.（2012陜西高考文科Ｔ20）與（2012陜西高考理科Ｔ19）相同 已知橢圓:，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，，求直線的方程. 【解題指南】（1）根據(jù)已知橢圓方程求出長軸、短軸、焦距等值即可求C2的方程；（2）設(shè)而不求的方法表示A、B的坐標(biāo)，分析向量的關(guān)系，確定直線AB的特殊性，然后求直線AB的斜率是關(guān)鍵. 【解析】（Ⅰ）由已知可設(shè)橢圓C2的方程為（），其離心率為， 故，則，故橢圓C2的方程為. （Ⅱ）（解法一）A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為， 將代入橢圓方程得，所以， 將代入中，得，所以， 又由得，即，解得， 故直線AB的方程為或. （解法二）A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為，，由及（Ⅰ）知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為， 將代入橢圓方程得，所以， 由得，， 將代入橢圓C2的方程中，得，即， 解得， 故直線AB的方程為或. - 6 -