《綜合法和分析法》(上課用)

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1、高二數學高二數學 選修選修 2-2 第二章第二章 推理與證明推理與證明 2021/8/28 孝高 蔣志方 1 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程重要思維過程. . 數學結論、證明思路的發(fā)現數學結論、證明思路的發(fā)現, ,主要靠合情推主要靠合情推理理. . 復習 推推 理理 合情推理合情推理 演繹推理演繹推理 歸納歸納 (特殊到一般）特殊到一般） 類比類比 （特殊到特殊）（特殊到特殊） 三段論三段論 （一般到特殊）（一般到特殊） 合情推理

2、得到的結論是不可靠的，需要證明。數學中證明的方法有哪些呢？ 間接證明（反證法）分析法綜合法直接證明證明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc 因為因為b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0 所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc. 又因為又因為c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0 所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc. 因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2

3、) )4abc.4abc. 證明證明: : 在數學證明中，我們經常從已知條件和某些在數學證明中，我們經常從已知條件和某些數學定義、定理、公理、性質等出發(fā)通過推數學定義、定理、公理、性質等出發(fā)通過推理導出所要的結論。理導出所要的結論。 .綜合法綜合法 由因導果由因導果 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運 算法則，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證算法則，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證 明的結論成立明的結論成立. (又稱順推證法又稱順推證法) 探索求知探索求知 注：用注：用P P表示已知條件表示已知條件, ,已有的定義已有的定義, ,定

4、理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要證明的結論表示所要證明的結論, ,則綜合法可用框圖表示為則綜合法可用框圖表示為: : P Q1 Qn Q Q2 Q3 Q1 Q2 特點特點: :由因導果由因導果( (浮想聯翩浮想聯翩, ,嘗試前進嘗試前進!)!) 探索求知探索求知 例：求證不等式：例：求證不等式： .10578. 注：從求證的結論出發(fā)，逐步尋求使結論成立的條件。 證明：證明： 要證要證 ,10578.)105()78(22即證即證 .50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立. 只需證只需證 只需證只需證 2.分析法分析法 探索求知探索求知 從證明的結論出發(fā)

5、從證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直直至最后至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件件(已知已知,定理定理,定義定義,公理等公理等).這種證明的方法叫做分析法這種證明的方法叫做分析法. （又稱倒推證法）（又稱倒推證法） 執(zhí)果索因執(zhí)果索因 注：用注：用Q Q表示所要證明的結論表示所要證明的結論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: : 得到一個明顯 成立的條件 Q P1 P1 P2 P2 P3 特點特點: :執(zhí)果索因執(zhí)果索因( (執(zhí)果索因執(zhí)果索因, ,妙在轉化妙在轉化!)!) 問題問題: :在數

6、學在數學 5(5(必修必修) )中，我們如何證明基本不等式中，我們如何證明基本不等式(0,0)?2ababab 指出指出其中的其中的證明方法證明方法的的特點特點. . 證法證法1 1: :對于正數對于正數a, ,b, , 有有 202022ababababababab （）證法證法2 2: :要證要證 只要證只要證 只要證只要證 只要證只要證 2abab 2abab 02aabb20()ab 因為最后一個不等式成因為最后一個不等式成立，故結論成立。立，故結論成立。 綜合法綜合法 分析法分析法 表達簡潔表達簡潔! 目的性強目的性強,易于探索易于探索! 【分析法分析法】 從結論出發(fā)，尋找結論成立的

7、充分條件從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件 直至最后，把要證明的結論歸結為判定一直至最后，把要證明的結論歸結為判定一 個明顯成立的條件。個明顯成立的條件。 要證：要證： 只要證：只要證： 只需證：只需證： 顯然成立顯然成立 上述各步均可逆上述各步均可逆 所以所以 結論成立結論成立 要證：要證： 所以所以 結論成立結論成立 格格 式式 372 5練習： 求證372 5解解: :要證要證 ()()22372 5只需證只需證 展開展開, ,只需證只需證 215只需證只需證 21252125 因為因為 21252125成立成立, ,所以所以 成成立立. . 372 5例例3 3：在：在中，三個內角、對

8、中，三個內角、對應的邊分別為應的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數列，差數列，a a、b b、c c成等比數列，求證成等比數列，求證為等邊三角形為等邊三角形 分析：把題中的文字語言轉化為符號語分析：把題中的文字語言轉化為符號語言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac 由（由（1 1）聯想到內角各能得到什么？）聯想到內角各能得到什么？ 由（由（2 2）聯想到三角形什么知識？余弦定理，）聯想到三角形什么知識？余弦定理，二者聯系起來能得到什么結論二者聯系起來能得到什么結論 證明：證明： 由由A A，B B，C C成等差數列，有成等差數列，有 2B=A+C 2B

9、=A+C CBAABCCBA的內角，所以為，因為由，得由，得 3B 由啊，由啊，a a，b b，c c成等比數列，有成等比數列，有 acb 2 由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得 accaBaccab22222cos2再由，得再由，得 0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c 從而有從而有 A=CA=C 由，得由，得 3CBA.為等邊三角形所以 ABC2 222222222例例. 已. 已知知, , kk+(kZ),且+(kZ),且2 2 sin sin+cos+cos= 2sin= 2sin sin sincoscos= sin= sin1-tan1-tan1-tan1-ta

10、n求求 =. =.1+tan1+tan2(1+tan2(1+tan) )證證: 例：例： 1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述過程可用框圖表示上述過程可用框圖表示: : 直接證明(回顧小結) 分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。 通常以通常以分析法分析法尋求尋求 思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地 表述解題過程表述解題過程 分析法分析法 綜合法綜合法 概念概念 直接證明（綜合法和分析法） 上述兩種證法有什么異同？ 都是直接證明都是直接證明 證法證法1 1綜合法：由因導果，形式簡潔，易于表述綜合法：由因導果，形式簡潔，易于表述 ； 相同 不同不同 證法證法2 2分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路 【鞏固練習鞏固練習】 abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證：