圖像的DCT變換

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1、沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 第1章相關(guān)知識(shí) 1.1數(shù)字圖像 數(shù)字圖像，又稱數(shù)碼圖像或數(shù)位圖像，是二維圖像用有限數(shù)字?jǐn)?shù)值像素的 表示。數(shù)字圖像是由模擬圖像數(shù)字化得到的、 以像素為基本元素的、可以用數(shù)字 計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路存儲(chǔ)和處理的圖像。 1.2數(shù)字圖像處理 數(shù)字圖像處理(DigitallmageProcessing)是通過計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行去除噪 聲、增強(qiáng)、復(fù)原、分害IJ、提取特征等處理的方法和技術(shù)。數(shù)字圖像處理的產(chǎn)生和 迅速發(fā)展主要受三個(gè)因素的影響： 一是計(jì)算機(jī)的發(fā)展；二是數(shù)學(xué)的發(fā)展(特別是 離散數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)立和完善)；三是廣泛的農(nóng)牧業(yè)、林業(yè)、環(huán)境、軍事、工業(yè)和 醫(yī)學(xué)等

2、方面的應(yīng)用需求的增長。 1.3 DCT變換在數(shù)字圖像應(yīng)用 在JPEG各類圖像壓縮算法中,基于離散余弦變換(DCTQiscrete Cosine Transform)的圖像壓縮編碼過程稱為基本順序過程,它應(yīng)用于絕大多數(shù)圖像壓 縮場合，并且它能在圖像的壓縮操作中獲得較高的壓縮比。另外 ，重構(gòu)圖像與源 圖像的視覺效果基本相同。DCT變換是在最小均方誤差條件下得出的最佳正交變 換,且已獲得廣泛應(yīng)用，并成為許多圖像編碼國際標(biāo)準(zhǔn)的核心。 DCT變換的變換 核心為余弦函數(shù)，計(jì)算速度較快,有利于圖像壓縮和其他處理。MATLAB是由美 國Math2Works公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算軟

3、件,它集數(shù)值 分析、矩陣計(jì)算、信號(hào)處理和圖形顯示多種功能于一體，構(gòu)成了一個(gè)方便的界面， 友好的用戶環(huán)境。本文主要應(yīng)用MATLAB6.5中發(fā)布的影像處理工具箱中的相關(guān)函 數(shù)和命令來實(shí)現(xiàn)基于DCT的圖像壓縮編碼理論算法的仿真。 1 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 第2章課程設(shè)計(jì)分析 2.1 DCT在 MATLA的實(shí)現(xiàn) 第一種方法是使用函數(shù)dct2，該函數(shù)使用一個(gè)基于FFT的快速算法來提高 當(dāng)輸入較大的輸入方陣時(shí)的計(jì)算速度。dct2函數(shù)的調(diào)用格式如下： dct2 B=(A,[M N]) 或 B=dct2(A,M,N) 其中，A表示要變換的圖像,M和N是可選參數(shù)，表示填充后的圖

4、像矩陣大小。B 表示變換后得到的圖像矩陣。 第二種方法使用由函數(shù)dctmtx返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較 小的輸入方陣(如或方陣)。dctmtx的調(diào)用格式如下： D=dctmtx(N) 其中，N表示DCT變換矩陣的維數(shù)，D為DCT變換矩陣。 2.2 DCT的基本原理 DCT變換在圖像壓縮中有很多應(yīng)用，它是 JPEG MPEG等數(shù)據(jù)壓縮標(biāo)準(zhǔn)的重 要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在壓縮算法中，先將輸入圖像劃分為 8 X 8或16 X 16,的圖像塊， 對(duì)每個(gè)圖像塊作DCT變換；然后舍棄高頻的系數(shù)，并對(duì)余下的系數(shù)進(jìn)行量化以 進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)量；最后使用無失真編碼來完成壓縮任務(wù)。解壓縮時(shí)首先對(duì)每個(gè)

5、 圖像塊做DCT反變換，然后將圖像拼接成一副完整的圖像。 DCT的定義： DCT變換利用傅立葉變換的性質(zhì)，采用圖像邊界褶翻將圖像變換為偶函數(shù)形 式，然后對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換， 變換后僅包含余弦項(xiàng)，所以稱之為離散余 弦變換。 DCT(Discrete Cosine Transform) 的疋義為，假設(shè)矩陣 A 二維離散余弦變換 M茁A cosPZcosW^q p qmgAmn 2M 的大小為M X No 2N B P.q 二 1/Jm , p =o a = p [J2/M ,1 蘭 p 蘭 M -1 ,2/N,^

6、的DCT系數(shù)。在MATLAB中，矩陣的下標(biāo)從1開始 而不是從0開始的，所以MATLAB中的矩陣元素A(1,1)和B(1,1)分別對(duì)應(yīng)于上 面定義中的值A(chǔ)oo和Boo， 依此類推。DCT是一種可逆變換，離散反余弦變換定義如下： 0豈m乞M —1,0豈n豈N -1 4 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 上式的含義是任何MX N的矩陣A都可以表示為一系列具有下面形式的函數(shù)的 和： 0 _ p _M -1,0 _q _ N -1 # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)

7、數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 這些函數(shù)稱為DCT變換的基函數(shù)。這樣，,Bp.q就可以看成是應(yīng)用于每個(gè)基 函數(shù)的加權(quán)。 DCT的算法: 離散余弦變換可以由定義式出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用 中很不方便。所以需要尋求一種快速算法。以一維離散余弦變換為列，對(duì)快速算 法進(jìn)行推導(dǎo)。 F(u) 2N f(x)cosd f(x)e 2N # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)向量做如下列延拓: 當(dāng) x=0,1,2， N-1 fe(x) =f(x) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖

8、像處理課程設(shè)計(jì) 當(dāng) x=N, N+1, 2N-1 時(shí) fe(x)=O 則fe(x)的離散余弦變換可寫成下列： I 2N J F(o「N Je(x) F(0)二 fe(x) cos (2X 1)u 二 2N fe(x) e (2x+)un-l 2N QN _1 z .x=0 2N J fe(x) x=0 j 2xu 二 2N 5 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 由上式可見: 2N」 .2xun fe(x) e 2N XzO 是2N點(diǎn)的；離散傅里葉變換所以在離散

9、余弦變換時(shí)，可以吧序列長度延拓為 2N,然后作離散傅里葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實(shí)部即可得到余弦變換。 同理對(duì)于離散余弦變換IDCT,可首先在變換空間將［F(u)］作如下延拓: 當(dāng) u=0,1,2,3， N-1 時(shí) Fe (u) =F( u) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 當(dāng) u=N,N+1, N+2, ,2N-1 時(shí) Fe (u)=0 那么，反變換可表示： 1 F(0：n Fe(0) 22N*e(u)cos空匹 Nut 2N 1 N Fe(0) "2N J Z Fe(u) L.U#

10、 2xu ej2Ne u 二 2N N)Fe(0) ^2N -1 u 兀 Re任[Fe(u)(x)e_j?N] L_ u=0 # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) j— 由上式可見，idct可以由Fe(u)e2N的2N點(diǎn)的idft的快速算法實(shí)現(xiàn)。 # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 在計(jì)算二維的DCT變換時(shí)，可使用下面的計(jì)算公式把二維的 DCT變換變成一維 的DCT F(u,v) = 1 C(u)「G(i,v)cos⑵ 1)U ] 2 7 16 G(i,v^^C(v)r f(i,

11、j)cos(2ii6)^：] 2 y 16 該方法的出發(fā)點(diǎn)是分別對(duì)分解后的每個(gè)數(shù)據(jù)小方塊進(jìn)行 DCT變換,主要應(yīng)用 MATLAB勺影像處理工具箱中dctmtx函數(shù)返回DCT變換矩陣,而后進(jìn)行相關(guān)處 理的程序?qū)崿F(xiàn)。 6 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 第3章仿真 用MATLAB的影像處理工具箱中dctmtx函數(shù)編寫基于DCT勺變換的圖像壓縮： %出發(fā)點(diǎn)是采用分別對(duì)分解后的每個(gè)數(shù)據(jù)小方塊進(jìn)行 DC變換 l=imread( pla ne1.gif ); %裝入原始圖像,該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為灰度圖像 I仁 im2double(l); %圖像存儲(chǔ)類

12、型轉(zhuǎn)換，將圖像變換成雙精度格式 T=dctmtx(8); %離散余弦變換矩陣，處理后返回一個(gè)8 X 8階DCT變換矩陣 B=blkproc(l1,[8,8], P1*x*P2 ,T,T); %對(duì)原圖像進(jìn)行DC■變換,每個(gè)不同8 X 8塊應(yīng)用矩陣式’P1*x *P2 進(jìn)行處理, 必要時(shí)補(bǔ)0 ,其中P1 = T ,P2 = T mask= [ 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13、 0 0 0 0 0 0]; %二值掩模,用來壓縮DCT的系數(shù),選取10個(gè)DCT系數(shù)重構(gòu)圖像 B2=blkproc(B,[8,8], P1.*x ,mask); %只保留 DCT變換的 10個(gè)系數(shù)，數(shù)據(jù)壓縮， 丟棄右下角高頻數(shù)據(jù) l2=blkproc(B2,[8,8], P1*x*P2 ,T,T);泌行DCT反變換，得到壓縮后的圖像 subplot(2,2,1) imshow(l1) title( pla ne1.gif ) subplot(2,2,2) imshow(l2) title(壓縮后的圖像);%顯示原始圖像I1和壓縮圖像I2 8 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理

14、課程設(shè)計(jì) 9 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) plane1.gif 圖3.1仿真結(jié)果 壓縮后的圖像 圖3.2壓縮后的圖像 10 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 11 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) DC變換三維投影: 圖3.3未經(jīng)DC■變換前的三維投影 圖3.4經(jīng)DC■變換后的三維投

15、影 # 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì) 第4章結(jié)果分析 1 1 2 3 4 5 6 7 B 9 0 1922 0L717E 0.6941 0 6&27 0.6392 0.658S 0 6324 0.6745 0.6363 2 0.149 □.7059 0.6902 0.7D2 0..698 0.6863 0.6883 0.8902

16、 0.B745 I 3 0.149 0.709S 0.6941 0.7069 0.696 0.6363 0.670E 0.6527 4 0 1529 0.6667 0.67C6 0.67Q5 0.6667 0.E431 0.6392 0.651 0.6649 5 □.1004 0.6471 0.6431 0.6431 U.MI 0.B51 C.651 0.651 0.G51 6 0 2070 0.619G 0.E196 0 6353 0.6353 0.6353 0.G471 0.6G27 □ 65

17、1 7 0.2157 0.6431 0.6353 0.6195 0.5157 0.6431 0.6^2 0.B431 0.6 3 0 2332 0B235 0.6039 D 961 0,6039 0.6235 0 5961 D.5157 as g 0.2706 0.6 0.6D79 0.5B43 O.E076 0.5B82 □.sees 0.5755 0.5882 10 [1 2667 0.S471 0.607S 0 6070 0.6C7B 0.6 0 5904 0.5529 0.560S 1

18、1 0.2196 □.B589 0.6471 0.6275 □.6314 0.6079 0.5961 0.5804 0.5725 12 0.3B9 0.5431 0.656S 0.6235 0.6235 0.61 IS 0 50G9 0.5922 0.6039 13 D2157 Q.651 □.6549 0.B431 □ .47? 0.6235 0.6039 0.6649 14 0.1 B47 0I.S235 0.6157 0.6073 0.6196 0.6235 0.6275 0.6314 0.G51

19、 15 0 1412 0.6275 0.G113 0 5922 0.5765 0.6196 0 6392 0.5392 0.6549 當(dāng)p,q不斷增大時(shí)，相應(yīng)的余弦函數(shù)的頻率也不斷增大，得到的系數(shù)可認(rèn) 為就是原始圖像信號(hào)在頻率不斷增大的余弦函數(shù)上的投影，所以也被稱為低頻系 數(shù)、中頻系數(shù)和高頻系數(shù)。依上圖可以明顯的發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：大體上，沿左上到 右下的方向DCT系數(shù)（絕對(duì)值）是依次遞減的。所以，也就是說一個(gè)圖像的 DCT 低頻系數(shù)分布在DCT系數(shù)矩陣的左上角，高頻系數(shù)分布在右下角，低頻系數(shù)的絕 對(duì)值大與高頻系數(shù)的絕對(duì)值。 對(duì)DCT變換來說，圖像的主要能量是集中在其

20、DC係數(shù)的一小部分。這所謂 的“一小部分”就是指的低頻部分。隨著 p,q階數(shù)的不斷增大，圖像信號(hào)在兩組 正交函數(shù)上的投影值出現(xiàn)了大量的正負(fù)相抵消的情景，從而導(dǎo)致了得到的頻率系 數(shù)在數(shù)值（絕對(duì)值）上的不斷減小。當(dāng) p=0,q=0，得到的頻率系數(shù)與余弦函數(shù)無 關(guān)（cosO=1）,完全就是圖像抽樣信號(hào)的均值，也是最大的一個(gè)值，稱為 DCT變 換的直流（DC系數(shù)，其它的頻率系數(shù)都由余弦函數(shù)參與得到，所以被稱為交流 （AC系數(shù)。中、低頻系數(shù)所含有的原始信號(hào)的成份較多，所以由其反變換重構(gòu) 圖像就能得到圖像的近似部分。高頻系數(shù)是在眾多正交的余弦函數(shù)上投影的加 權(quán)，是這些不同頻率的余弦信號(hào)一起來刻畫原始信

21、號(hào)的結(jié)果， 圖像近似的部分在 這些函數(shù)上被相互抵消了，剩下的就是圖像的細(xì)節(jié)部分了。 1 , 2 3 4 5 g 7 g 1 0.3132 0.5 □7049 0.7702 0.7029 □.335 0.E477 0.6096 □ 7025 2 □.3113 0.4972 □ 7003 □ 765B 0.6999 □ 6332 □ 6507 0.7040 0.6053 3 0.307 0.4306 0.6914 0.7551 0.6909 0.6267 0.6515 0.709^ 0.6663

22、 4 0.3013 0.4814 0.6773 0 7379 0.6744 0.6166 0EJ51 0.7066 0.B5B S 0.297^ 0 4734 0.E&27 0.7101 0.6532 0.5903 0.6317 0..697 0.6549 6 D.3002 0.4707 0.E525 0 7D13 0.5334 0.5795 0.616 0.6639 0.6423 0.307 D.4734 0.G486 0.6912 D.6199 0.5655 0.6Q3B 0.673 0.G173

23、 8 0.3131 0.477 0.E464 0.B873 0.6135 0.5585 0.5972 Di.6672 0.5956 0.3292 0.4705 0.6362 0.G73 0.601 0 535 D.&47 0.5934 0.5763 10 0.3375 0.4873 0.6457 □.5034 0.5121 0.5465 0.5589 0.6054 O.57S9 11 0 3438 0.4946 □ 6543 □ 6947 0.6254 □ 5614 □ 5740 0.6217 □

24、.5902 12 0.3376 0.4303 0.6539 0.6979 0.&326 0.571B 0.5B74 0.&355 0.6126 13 0.31S3 0.473E 0.6423 0.E922 0.6326 0.5772 0 59Gd 0.5454 0.G377 14 □ 2947 D.4534 0.6274 0.6043 0632 0.5026 0.6063 0.6505 0.653 15 D.2764 0.437B 0.E1E3 0.50 0.5342 0.5904 0.61S2 0.

25、5727 C.6543 0.2673 D.43O4 0.6123 0.6792 D.6374 □. 597 0.6273 0.E331 0.6497 對(duì)圖像進(jìn)行分塊DCT后，在每一個(gè)8X 8范圍內(nèi)其頻率系數(shù)仍然符合 DCT系數(shù)分 布規(guī)律。 仿真中取了 10個(gè)DCT系數(shù),占15 %比較原圖和重構(gòu)圖像,可以發(fā)現(xiàn)：在拋棄 85 %的DCT系數(shù)后,重構(gòu)圖像時(shí)并不會(huì)因此而帶來其畫面質(zhì)量的顯著下降 ,即重 構(gòu)圖像的失真不大?當(dāng)然，采用這種方法來實(shí)現(xiàn)壓縮算法時(shí)，可以通過修改mask 變量中的DCT系數(shù)來更好地比較仿真結(jié)果。 14 沈陽理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程

26、設(shè)計(jì) 在整個(gè)運(yùn)用MATLA影像處理工具箱中的相關(guān)函數(shù)和命令實(shí)現(xiàn)基于 DCT變 換的圖像壓縮的仿真過程中，清晰了 DCT圖像壓縮的方法，仿真較好的地反映出 DCT壓縮的特性。真這次課設(shè)中讓我知道了如何運(yùn)用已掌握的知識(shí)如何學(xué)習(xí)新的 知識(shí)，如何去克服遇到的困難這些都我這次課設(shè)留了寶貴的財(cái)富。 參考文獻(xiàn) [1]劉剛.MATLAB數(shù)字圖像處理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2010: 34-74 [3]余成波.數(shù)字圖像處理及 MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社.2003: 37-89 [4]王曉丹，吳崇明.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)[M].西安：西安電子科技 大學(xué)出版社.2000: 45-68 15