2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第36講 空間幾何體的表面積與體積練習 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第36講 空間幾何體的表面積與體積練習 新人教A版 [考情展望]　1.與三視圖相結合考查柱、錐、臺、球的體積和表面積.2.以選擇題與填空題形式考查． 一、旋轉體的表(側)面積 名稱 側面積 表面積 圓柱(底面半徑r，母線長l) 2πrl 2πr(l＋r) 圓錐(底面半徑r，母線長l) πrl πr(l＋r) 圓臺(上、下底面 半徑r，母線長l) π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r＋r) 球(半徑為R) 4πR2 二、空間幾何體的體積(h為高，S為下底面積，S′為上底面積) 1．V柱體＝Sh. 2．V錐體＝Sh. 3．V臺體＝h(S＋＋S′)． 4．V球＝πR3(球半徑是R)． 求幾何體體積的兩種重要方法 1．割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決． 2．等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值． 1．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為(　　) A．48(3＋)　　　　　　　　 B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 【解析】　正六棱柱的側面積S側＝664＝144，底面面積S底＝2642＝48， ∴S表＝144＋48＝48(3＋)． 【答案】　A 2．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖7－2－1所示，則其側面積等于(　　) 圖7－2－1 A. B．2 C．2 D．6 【解析】　由三棱柱的正視圖可知此三棱柱為底面邊長為2，側棱長為1的正三棱柱， ∴S側＝213＝6. 【答案】　D 3．圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是(　　) A．4πS B．2πS C．πS D.πS 【解析】　設圓柱的底面半徑為r， 則S＝πr2， ∴r＝. 由題意得圓柱的高h＝2πr， ∴S側＝2πrh＝4π2＝4πS. 【答案】　A 4．母線長為1的圓錐的側面展開圖的面積是π，則該圓錐的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】　設圓錐的底面半徑為r，依題意得 πr1＝π，∴r＝. ∴圓錐的高h＝ ＝. ∴圓錐的體積V＝πr2h＝π. 【答案】　C 5．(xx陜西高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－2所示，則其表面積為________． 圖7－2－2 【解析】　由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即4π＋π＝3π. 【答案】　3π 6．(xx遼寧高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－3所示，則該幾何體的體積是________． 圖7－2－3 【解析】　由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為 16π；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為 16π－16. 【答案】　16π－16 考向一 [118]　空間幾何體的表面積 　如圖7－2－4是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) 圖7－2－4 A．9π　　　B．10π　　　C．11π　　　D．12π 【思路點撥】　先由三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)相應幾何體的表面積公式求解． 【嘗試解答】　從題中三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱體組合而成的，其表面積為S＝4π12＋π122＋2π13＝12π.故選D. 【答案】　D 規(guī)律方法1　1.解答本題的關鍵是根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，弄清幾何體的組成. 2.在求多面體的側面積時，應對每一側面分別求解后再相加，對于組合體的表面積應注意重合部分的處理. 3.以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系. 對點訓練　(xx重慶高考)某幾何體的三視圖如圖7－2－5所示，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7－2－5 A．180　　　B．200　　　C．220　　　D．240 【解析】　由三視圖知識知該幾何體是底面為等腰梯形的直四棱柱． 等腰梯形的上底長為2，下底長為8，高為4，腰長為5，直四棱柱的高為10，所以S底＝(8＋2)42＝40，S側＝108＋102＋2105＝200，S表＝40＋200＝240，故選D. 【答案】　D 考向二 [119]　空間幾何體的體積 　(1)(xx課標全國卷Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖7－2－6所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－6 A．16＋8π　　　　　　 B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 圖7－2－7 (2)(xx山東高考)如圖7－2－7，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 【思路點撥】　(1)根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，明確邊長的大?。俑鶕?jù)相應公式求解． (2)原三棱錐的底面面積和高都不易求，轉換頂點使三棱錐的高與底面面積易求． 【嘗試解答】　(1) 原幾何體為組合體：上面是長方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝422＋π224＝16＋8π. (2)VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DEAB＝111＝. 【答案】　(1)A　(2) 規(guī)律方法2　1.解答本題(2)的關鍵是轉換頂點，轉換頂點的原則是使底面面積和高易求．一般做法是把底面放在已知幾何體的某一個面上． 2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法． 3．等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面．①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積法”可求“點到面的距離”． 對點訓練　(1)(xx廣東高考)某三棱錐的三視圖如圖7－2－8所示，則該三棱錐的體積是(　　) 圖7－2－8 A.　　　B.　　　C.　　　D．1 (2)(xx江西高考)一幾何體的三視圖如圖7－2－9所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－9 A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 【解析】　(1)如圖，三棱錐的底面是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，有一條側棱和底面垂直，且其長度為2，故三棱錐的高為2，故其體積V＝112＝，故選B. (2)由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體．長方體的長、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V＝1045＋9π＝200＋9π. 【答案】　(1)B　(2)A 考向三 [120]　球與多面體 　已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________． 【思路點撥】　由球、圓錐的對稱性知，兩圓錐的頂點連線過球心及圓錐底面的圓心，先求圓錐底面的半徑，再求球心與圓錐底面的圓心間的距離，問題可解． 【嘗試解答】　如圖，設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r. 由題意得πr2＝4πR2. ∴r2＝R2， 根據(jù)球的截面的性質可知兩圓錐的高必過球心O，且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點，且AB⊥O1C. ∴OO1＝＝R， 因此體積較小的圓錐的高AO1＝R－R＝， 體積較大的圓錐的高BO1＝R＋＝R. 且這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為. 【答案】　 規(guī)律方法3　1.解答本題的關鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點之間的關系，這需要根據(jù)球的對稱性及幾何體的形狀來確定. 2.與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 對點訓練　(xx課標全國卷Ⅰ)如圖7－2－10，有一個水平放置的透明無蓋 圖7－2－10 的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為(　　) A. cm3　　　　　 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【解析】　如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝8＝4(cm)．設球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π53＝π(cm3)． 【答案】　A 思想方法之十七　補形法破譯體積問題 某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的幾何問題，這是一種重要的解題策略——補形法．常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形．對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題． ———　[1個示范例]　———　[1個對點練]　——— 　　　(xx湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖7－2－11所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7－2－11 A.　　　B．3π　　　C.　　　D．6π 【解析】　由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，所以V＝π124＝3π. (xx遼寧高考)已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形．若PA＝2，則△OAB的面積為________． 【解析】　如圖所示，線段PC就是球的直徑，設球的半徑為R，因為AB＝BC＝2，所以AC＝2.又PA＝2，所以PC2＝PA2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝4，所以OA＝OB＝2， 所以△AOB是正三角形， 所以S＝22＝3. 【答案】　3