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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練二 第1講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理
考情解讀 1.高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識為主，難度中等偏下.2.函數(shù)圖象和性質(zhì)是歷年高考的重要內(nèi)容，也是熱點內(nèi)容，對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題；對函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)．常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問題相結(jié)合，難度較大．
1．函數(shù)的三要素
定義域、值域及對應(yīng)關(guān)系
兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時才表示同一函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)．
2．函數(shù)的性質(zhì)
(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則．
(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．
(3)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個周期T＝|a|.
3．函數(shù)的圖象
對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖．
作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．
4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0
1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)．
(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0，α<0兩種情況.
熱點一 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
例1 (1)(xx課標全國Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．
(2)設(shè)奇函數(shù)y＝f(x) (x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________．
思維啟迪 (1)利用數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)的性質(zhì)解不等式；(2)利用f(x)的性質(zhì)和x∈[0，]時的解析式探求f(3)和f(－)的值．
答案 (1)(－1,3) (2)－
解析 (1)∵f(x)是偶函數(shù)，
∴圖象關(guān)于y軸對稱．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，
則f(x)的大致圖象如圖所示，
由f(x－1)>0，得－2x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
思維啟迪 (1)可以利用函數(shù)的性質(zhì)或特殊點，利用排除法確定圖象．(2)考慮函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}，其圖象可由y＝的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，y＝為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以，y＝的圖象關(guān)于點(－1,0)成中心對稱．可排除A，D.
又x>0時，y＝>0，所以，B不正確，選C.
(2)由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象本身關(guān)于直線x＝1對稱，所以a＝f(－)＝f()，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.選D.
思維升華 (1)作圖：常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．尤其注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關(guān)系．
(2)識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應(yīng)關(guān)系．
(3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究．
(1)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標系中的圖象大致是( )
(2)(xx課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 (1)C (2)D
解析 (1)f(x)＝1＋log2x的圖象過定點(1,1)，g(x)＝21－x的圖象過定點(0,2)．
f(x)＝1＋log2x的圖象由y＝log2x的圖象向上平移一個單位而得到，且f(x)＝1＋log2x為單調(diào)增函數(shù)，g(x)＝21－x＝2()x的圖象由y＝()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)＝21－x為單調(diào)減函數(shù)．A中，f(x)的圖象單調(diào)遞增，但過點(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調(diào)遞減，但過點(0,1)，不滿足；D中，兩個函數(shù)都是單調(diào)增函數(shù)，也不滿足．選C.
(2)函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖．
①當(dāng)a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立．
②當(dāng)a>0時，只需在x>0時，
ln(x＋1)≥ax成立．
比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長速度．
顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③當(dāng)a<0時，只需在x<0時，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.綜上所述：－2≤a≤0.故選D.
熱點三 基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)
例3 (1)若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知α，β∈[－，]且αsin α－βsin β>0，則下面結(jié)論正確的是( )
A．α>β B．α＋β>0 C．α<β D．α2>β2
思維啟迪 (1)可利用函數(shù)圖象或分類討論確定a的范圍；(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xsin x，利用f(x)的單調(diào)性．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)方法一 由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．
顯然當(dāng)a>1或－1f(－a)．故選C.
方法二 對a分類討論：
當(dāng)a>0時，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1.
當(dāng)a<0時，log(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
∴－10，∴f(x)為增函數(shù)，
且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又αsin α－βsin β>0，
∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.
思維升華 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)是中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)，是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性．
(1)設(shè)<()b<()a<1，那么( )
A．a(chǎn)aaa，
故abg(0)＝0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0.
1．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法
(1)能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察．
(2)由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題．
(3)對于解析式較復(fù)雜的一般用導(dǎo)數(shù)法．
(4)對于抽象函數(shù)一般用定義法．
2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，是函數(shù)的整體特性．
利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)．
3．函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．提醒：函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)的圖象對稱軸為x＝0，并非直線x＝a.
(2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(a，b)成中心對稱．
4．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個二次”有關(guān)的問題，高考對“三個二次”知識的考查往往滲透在其他知識之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中．
5．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指、對數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時，首先要看底數(shù)a的范圍．
比較兩個對數(shù)的大小或解對數(shù)不等式或解對數(shù)方程時，一般是構(gòu)造同底的對數(shù)函數(shù)，若底數(shù)不同，可運用換底公式化為同底的對數(shù)，三數(shù)比較大小時，注意與0比較或與1比較．
6．解決與本講有關(guān)的問題應(yīng)注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的運用.
真題感悟
1．(xx安徽)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________.
答案
解析 ∵f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，
∴f＝f＝f，
f＝f＝f.
∵當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，
∴f＝＝.
∵當(dāng)10，且a≠1)的圖象如圖所示，則所給函數(shù)圖象正確的是( )
答案 B
解析 由題意得y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符，故選B.
押題精練
1．已知函數(shù)f(x)＝e|ln x|－，則函數(shù)y＝f(x＋1)的大致圖象為( )
答案 A
解析 據(jù)已知關(guān)系式可得
f(x)＝
作出其圖象然后將其向左平移1個單位即得函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象．
2．已知函數(shù)f(x)＝|logx|，若m1，
∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上單調(diào)遞減，
當(dāng)m＝1時，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.
3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4
C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx
答案 C
解析 函數(shù)f(x)滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)時，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”等價于x1－x2與f(x1)－f(x2)的值的符號相同，即可化為>0，表示函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由此可得只有函數(shù)f(x)＝2x符合．故選C.
2．(xx浙江)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是( )
答案 D
解析 方法一 分a>1,01時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；
當(dāng)01，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯．
3．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝lg x，則f的值等于( )
A. B．－ C．lg 2 D．－lg 2
答案 D
解析 當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝lg(－x)．
又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，
所以當(dāng)x<0時，f(x)＝－lg(－x)．
所以f＝lg ＝－2，
f＝f(－2)＝－lg 2.
4．若a>b，則下列不等式成立的是( )
A．ln a>ln b B．0.3a>0.3b
C． D.>
答案 D
解析 因為a>b，而對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，所以ln a>ln b不一定成立；
因為y＝0.3x是減函數(shù)，又a>b，則0.3a<0.3b，故B錯；
因為y＝在(0，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則不一定成立，故C錯；
y＝在(－∞，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則，即>成立，選D.
5．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
答案 B
解析 由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x－2)>0，
即f(|x－2|)>0，
f(|x－2|)＝2|x－2|－4>0，|x－2|>2，
即x－2<－2或x－2>2，由此解得x<0或x>4.
于是有{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}，故選B.
6．使log2(－x)0，又loga＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)．
∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上遞增．
∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，
∴a∈，選C.
二、填空題
9．已知函數(shù)f(x)＝，則f(ln 3)＝________.
答案 e
解析 f(ln 3)＝f(ln 3＋1)＝eln 3＋1＝e，故填e.
10．已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|，若對任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
答案 {a|a≤2}
解析 f(x)＝，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函數(shù)y＝f(x)在[2，＋∞)單調(diào)遞增，當(dāng)a≤0時，滿足題意，當(dāng)a>0時，只需a≤2，即0
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專題訓(xùn)練二
第1講
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