2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決冪的大小比較和圖象識(shí)別等問(wèn)題.2.考查二次函數(shù)的解析式求法、圖象特征及最值.3.運(yùn)用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系去分析和解決問(wèn)題. 一、二次函數(shù) 1.二次函數(shù)的三種形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-h(huán))2+k(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k); 零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn). 2.二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在減 在增 在減 在增 對(duì)稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x=-對(duì)稱 函數(shù)y=f(x)對(duì)稱軸的判斷方法 (1)對(duì)于函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱. (2)對(duì)于函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(a為常數(shù)). 二、冪函數(shù) 1.定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)叫冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). 2.冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定義域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 / 奇 單調(diào)性 增 在(0,+∞)上增 在(-∞,0)上減 增 增 在(0,+∞)上減 在(-∞,0)上減 定點(diǎn) (1,1) 1.當(dāng)α≠0,1時(shí),冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征(如圖所示): (1)α>1,圖象過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),下凸遞增,如y=x2; (2)0<α<1,圖象過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),上凸遞增,如y=x; (3)α<0,圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),單調(diào)遞減,且以兩坐標(biāo)軸為漸近線,如y=x-1,y=x-. 2.冪函數(shù)的圖象一定不會(huì)經(jīng)過(guò)第四象限. 1.已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)的表達(dá)式為( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2 C.f(x)=x D.f(x)=x- 【解析】 設(shè)f(x)=xα,則有3=α,即3=3-α, ∴-α=1,∴α=-2,∴f(x)=x-2,故選B. 【答案】 B 2.圖2-4-1中C1,C2,C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xk在第一象限內(nèi)的圖象,則解析式中指數(shù)k的值依次可以是( ) 圖2-4-1 A.-1,,3 B.-1,3, C.,-1,3 D.,3,-1 【解析】 根據(jù)冪函數(shù)的圖象知,選A. 【答案】 A 3.函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(-5,-3)上( ) A.先減后增 B.先增后減 C.單調(diào)遞減 D.單調(diào)遞增 【解析】 ∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù), ∴2m=0,∴m=0. 則f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函數(shù). 【答案】 D 4.函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,3]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】 二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=1-a,由題意知 1-a≥3,∴a≤-2. 【答案】 (-∞,-2] 5.(2011陜西高考)函數(shù)y=x的圖象是( ) 【解析】 已知函數(shù)解析式和圖象,可以用取點(diǎn)驗(yàn)證的方法判斷. 【答案】 B 6.(xx浙江高考)已知a,b,c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則( ) A.a(chǎn)>0,4a+b=0 B.a(chǎn)<0,4a+b=0 C.a(chǎn)>0,2a+b=0 D.a(chǎn)<0,2a+b=0 【解析】 因?yàn)閒(0)=f(4)>f(1),所以函數(shù)圖象應(yīng)開(kāi)口向上,即a>0,且其對(duì)稱軸為x=2,即-=2,所以4a+b=0,故選A. 【答案】 A 考向一 [019] 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值; (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù); (3)當(dāng)a=-1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. 【思路點(diǎn)撥】 解答(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合圖象或單調(diào)性直接求解,對(duì)于(3),應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間. 【嘗試解答】 (1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 則函數(shù)在[-4,2)上為減函數(shù),在(2,6]上為增函數(shù), ∴f(x)min=f(2)=-1, f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35. (2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的對(duì)稱軸為x=-=-a, ∴要使f(x)在[-4,6]上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. (3)當(dāng)a=-1時(shí),f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其圖象如圖所示: 又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在區(qū)間[-4,-1)和[0,1)上為減函數(shù),在區(qū)間[-1,0)和[1,6]上為增函數(shù). 規(guī)律方法1 1.研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,先“定性”(作草圖),再“定量”(看圖求解),事半功倍. 2. 求二次函數(shù)最值的類型及解法,(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論;(2)常畫(huà)出圖象結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性求解,最值一般在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知函數(shù)y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,則它的圖象是( ) (2)設(shè)f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值為M(a),最小值為m(a).試求M(a)及m(a)的表達(dá)式. 【解析】 (1)a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax2+bx+c的開(kāi)口向上,且與y軸的交點(diǎn)(0,c)在負(fù)半軸上.D項(xiàng)正確. 【答案】 D (2)f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x∈[0,1]. 當(dāng)a≤0時(shí),M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0; 當(dāng)0<a≤時(shí),M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=-a2; 當(dāng)<a≤1時(shí),M(a)=f(0)=0,m(a)=-a2; 當(dāng)a>1時(shí),M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a. 綜上,M(a)= m(a)= 考向二 [020] 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1<x<4的一切x值.都有f(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【思路點(diǎn)撥】 法一 分a>0,a=0,a<0三種情況求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min>0求解. 法二 分離參數(shù)a得a>-+,然后求g(x)=-+的最大值即可. 【嘗試解答】 法一 當(dāng)a>0時(shí),f(x)=a2+2-,由f(x)>0,x∈(1,4)得:或或 ∴或或, ∴a≥1或<a<1或?,即a>, 當(dāng)a<0時(shí),,解得a∈?; 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合題意. 綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>. 法二 由f(x)>0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4), 得a>-+在(1,4)上恒成立. 令g(x)=-+=-22+, ∈,∴g(x)max=g(2)=, 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要a>即可. 規(guī)律方法2 1.本例中二次項(xiàng)系數(shù)不確定,因此使用方法一時(shí)需分三種情況討論. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍,一般有兩個(gè)解題思路:(1)分離參數(shù);(2)不分離參數(shù),二者都將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解】 (1)由f(0)=1,得c=1. 因此f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x.∴2ax+a+b=2x.x∈R. 因此 ∴ 所以f(x)=x2-x+1. (2)由題意,x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立. 則m<x2-3x+1在[-1,1]上恒成立, 令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1], 易知g(x)在x∈[-1,1]上是減函數(shù), ∴g(x)min=g(1)=-1,應(yīng)有m<-1. 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1). 考向三 [021] 冪函數(shù)及其性質(zhì) (1)函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)若a<0,則下列不等式成立的是( ) A.2a>a>(0.2)a B.(0.2)a>a>2a C.a>(0.2)a>2a D.2a>(0.2)a>a 【思路點(diǎn)撥】 (1)m2-m-1=1→求m的值→驗(yàn)證單調(diào)性→對(duì)m的值取舍. (2)構(gòu)造函數(shù)y=xα→比較a與(0.2)a的大小→進(jìn)而比較2a與a、(0.2)a的大?。? 【嘗試解答】 (1)由題意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符合題意, 當(dāng)m=-1時(shí),m2-2m-3=0,f(x)=x0不合題意. 綜上知m=2. (2)∵a<0,∴y=xa在(0,+∞)上是減函數(shù), ∴0.2a>a>2a,故選B. 【答案】 (1)A (2)B 規(guī)律方法3 1.熟知冪函數(shù)的定義和單調(diào)性是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 2.冪的大小比較的常用方法 分類 考查對(duì)象 方法 底數(shù)相同,指數(shù)不同 ax1與ax2 利用指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性 指數(shù)相同,底數(shù)不同 x與x 利用冪函數(shù)y=xα的單調(diào)性 底數(shù)、指數(shù)都不同 ax1與bx2 尋找中間變量0,1或bx1或ax2 思想方法之四 數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的妙用 二次函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的完美載體,利用二次函數(shù)圖象可以較直觀形象地解決以下幾方面問(wèn)題:(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值;(3)借助二次函數(shù)求參數(shù)的范圍;(4)與二次函數(shù)相關(guān)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.解決以上問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出二次函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求解. ——— [1個(gè)示范例] ——— [1個(gè)對(duì)點(diǎn)練] ——— (xx遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=( ) A.16 B.-16 C.a(chǎn)2-2a-16 D.a(chǎn)2+2a-16 【解析】 f(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2,-4a-4),g(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)(a-2,-4a+12),并且f(x)與g(x)的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上,圖象如圖, 由題意知,A、B分別為兩個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo), 所以A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16. (xx山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是( ) A.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2<0,y1+y2>0 B.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2>0,y1+y2<0 C.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2<0,y1+y2<0 D.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2>0,y1+y2>0 【解析】 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出f(x)=及g(x)=x2+bx的草圖如圖所示, 其中點(diǎn)A(x1,y1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C也在函數(shù)y=的圖象上,坐標(biāo)為(-x1,-y1),而點(diǎn)B的坐標(biāo)(x2,y2)在圖象上也明顯的顯示出來(lái).由圖象可知,x1+x2>0,y1+y2<0. 【答案】 B- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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