2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù).doc
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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學家和古代中國數(shù)學家為了測量的需要,他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論:在兩個大小不同的直角三角形中,只要有一個銳角相等,那么這兩個三角形的對應邊的比值一定相等.正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究,1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學家歐拉的應用,才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式. 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關系,是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一,有以下豐富的性質(zhì): 1.單調(diào)性; 2.互余三角函數(shù)間的關系; 3.同角三角函數(shù)間的關系. 平方關系:sin2α+cos2α=1; 商數(shù)關系:tgα=,ctgα=; 倒數(shù)關系:tgαctgα=1. 【例題求解】 【例1】 已知在△ABC中,∠A、∠B是銳角,且sinA=,tanB=2,AB=29cm, 則S△ABC = . 思路點撥 過C作CD⊥AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關鍵是求出m、n的值. 注:設△ABC中,a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊,R為△ABC外接圓的半徑,不難證明:與銳角三角函數(shù)相關的幾個重要結(jié)論: (1) S△ABC=; (2). 【例2】 如圖,在△ABC中.∠ACB=90,∠ABC=15,BC=1,則AC=( ) A. B. C.0.3 D. 思路點撥 由15構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化. 注:(1)求(已知)非特角三角函數(shù)值的關是構(gòu)造出含特殊角直角三角形. (2)求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應線段比,有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換. 【例3】 如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90,過BC的中點D作DE⊥AB于E,連結(jié)CE,求sin∠ACE的值. 思路點撥 作垂線把∠ACE變成直角三角形的一個銳角,將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比. 【例4】 如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cos∠DAC, (1)求證:AC=BD; (2)若sinC=,BC=12,求AD的長. 思路點撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比,利用比例線段證明; (2) sinC=,引入?yún)?shù)可設AD=12,AC=13. 【例5】 已知:在Rt△ABC中,∠C=90,sinA、sinB是方程的兩個根. (1)求實數(shù)、應滿足的條件; (2)若、滿足(1)的條件,方程的兩個根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點撥 由韋達定理、三角函數(shù)關系建立、等式,注意判別式、三角函數(shù)值的有界性,建立嚴密約束條件的不等式,才能準確求出實數(shù)、應滿足的條件. 學歷訓練 1.已知α為銳角,下列結(jié)論①sinα+cosα=l;②如果α>45,那么sinα>cosα;③如果cosα> ,那么α<60; ④.正確的有 . 2.如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,BC=1,cosB,則這個菱形的面積為 . 3.如圖,∠C=90,∠DBC=30,AB=BD,利用此圖可求得tan75= . 4.化簡 (1)= . (2)sin2l+sin22+…+sin288+sin289= . 5.身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽.三人放出風箏線長、線與地面夾角如下表(假設風箏線是拉直的),則三人所放的風箏中( ) A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低 6.已知 sinαcosα=,且0<α<45則coα-sinα的值為( ) A. B. C. D. 7.如圖,在△ABC中,∠C=90,∠ABC=30,D是AC的中點,則ctg∠DBC的值是( ) A. B. C. D. 8.如圖,在等腰Rt△ABC中.∠C=90,AC=6,D是AC上一點,若tan∠DBA=,則AD的長為( ) A. B.2 C. 1 D. 9.已知關于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦,求m的值. 10.如圖,D是△ABC的邊AC上的一點,CD=2AD,AE⊥BC于E,若BD=8,sin∠CBD=,求AE的長. 11.若0<α<45,且sinαconα=,則sinα= . 12.已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,α為銳角,那么α的取值范圍是 . 13.已知是△ABC的三邊,a、b、c滿足等式,且有,則sinA+sinB+sinC的值為 . 14.設α為銳角,且滿足sinα=3cosα,則sinαcosα等于( ) A. B. C. D. 15.如圖,若兩條寬度為1的帶子相交成30的角,則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( ) A.2 B. C.1 D. 16.如圖,在△ABC中,∠A=30,tanB=,AC=,則AB的長是( ) A. B. C.5 D. 17.己在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,且c=,若關于的方程有兩個相等的實根,又方程的兩實根的平方和為6,求△ABC的面積. 18.如圖,已知AB=CD=1,∠ABC=90,∠CBD=30,求AC的長. 19.設 a、b、c是直角三角形的三邊,c為斜邊,n為正整數(shù),試判斷與的關系,并證明你的結(jié)論. 20.如圖,已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動. (1)當△ABC滾動一周到△A lB1C1的位置,此時A點所運動的路程為 ,約為 (精確到0.1,π=3.14) (2)設△ABC滾動240,C點的位置為Cˊ,△ABC滾動480時,A點的位置在Aˊ,請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ),求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度數(shù). 參考答案- 配套講稿:
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