2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練七 第3講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練七 第3講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理 考情解讀 1.該部分??純?nèi)容:樣本數(shù)字特征的計(jì)算、各種統(tǒng)計(jì)圖表、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)等;有時(shí)也會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題,如概率與統(tǒng)計(jì)交匯等.2.從考查形式上來(lái)看,大部分為選擇題、填空題,重在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,有時(shí)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題,也會(huì)出現(xiàn)解答題,都屬于中、低檔題. 1.隨機(jī)抽樣 (1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣特點(diǎn)是從總體中逐個(gè)抽?。m用范圍:總體中的個(gè)體較少. (2)系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)是將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分中抽?。m用范圍:總體中的個(gè)體數(shù)較多. (3)分層抽樣特點(diǎn)是將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽?。m用范圍:總體由差異明顯的幾部分組成. 2.常用的統(tǒng)計(jì)圖表 (1)頻率分布直方圖 ①小長(zhǎng)方形的面積=組距=頻率; ②各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1; ③小長(zhǎng)方形的高=,所有小長(zhǎng)方形的高的和為. (2)莖葉圖 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí),用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好. 3.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖 眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 (2)方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 標(biāo)準(zhǔn)差: s= . 4.變量的相關(guān)性與最小二乘法 (1)相關(guān)關(guān)系的概念、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)、相關(guān)系數(shù). (2)最小二乘法:對(duì)于給定的一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),通過(guò)求Q=(yi-a-bxi)2最小時(shí),得到線性回歸方程=x+的方法叫做最小二乘法. 5.獨(dú)立性檢驗(yàn) 對(duì)于取值分別是{x1,x2}和{y1,y2}的分類變量X和Y,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是 y1 y2 總計(jì) x1 a b a+b x2 c d c+d 總計(jì) a+c b+d n 則K2(χ2)=(其中n=a+b+c+d為樣本容量). 熱點(diǎn)一 抽樣方法 例1 (1)(xx陜西)某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為( ) A.11 B.12 C.13 D.14 (2)(xx石家莊高三調(diào)研)某學(xué)校共有師生3 200人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本,已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150,那么該學(xué)校的教師人數(shù)是________. 思維啟迪 (1)系統(tǒng)抽樣時(shí)需要抽取幾個(gè)個(gè)體,樣本就分成幾組,且抽取號(hào)碼的間隔相同;(2)分層抽樣最重要的是各層的比例. 答案 (1)B (2)200 解析 (1)由=20,即每20人抽取1人,所以抽取編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為==12. (2)本題屬于分層抽樣,設(shè)該學(xué)校的教師人數(shù)為x,所以=,所以x=200. 思維升華 (1)隨機(jī)抽樣各種方法中,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的;(2)系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣,被抽到的各個(gè)號(hào)碼間隔相同;分層抽樣滿足:各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例. (1)某校高一、高二、高三分別有學(xué)生人數(shù)為495,493,482,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取49人做問(wèn)卷調(diào)查,將高一、高二、高三學(xué)生依次隨機(jī)按1,2,3,…,1 470編號(hào),若第1組有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取的號(hào)碼為23,則高二應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為( ) A.15 B.16 C.17 D.18 (2)(xx廣東)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( ) A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由系統(tǒng)抽樣方法,知按編號(hào)依次每30個(gè)編號(hào)作為一組,共分49組,高二學(xué)生的編號(hào)為496到988,在第17組到第33組內(nèi),第17組抽取的編號(hào)為1630+23=503,為高二學(xué)生,第33組抽取的編號(hào)為3230+23=983,為高二學(xué)生,故共抽取高二學(xué)生人數(shù)為33-16=17,故選C. (2)該地區(qū)中、小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3 500+2 000+4 500=10 000, 則樣本容量為10 0002%=200,其中抽取的高中生近視人數(shù)為2 0002%50%=20,故選A. 熱點(diǎn)二 用樣本估計(jì)總體 例2 (1)(xx山東)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,…,第五組,如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒(méi)有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為( ) A.6 B.8 C.12 D.18 (2)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,如圖是根據(jù)某地某日早7點(diǎn)至晚8點(diǎn)甲、乙兩個(gè)PM2.5監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位:毫克/每立方米)列出的莖葉圖,則甲、乙兩地濃度的方差較小的是( ) A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.無(wú)法確定 甲 乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 7 7 0.09 2 4 6 思維啟迪 (1)根據(jù)第一組與第二組的人數(shù)和對(duì)應(yīng)頻率估計(jì)樣本總數(shù),然后利用第三組的頻率和無(wú)療效人數(shù)計(jì)算;(2)直接根據(jù)公式計(jì)算方差. 答案 (1)C (2)A 解析 (1)志愿者的總?cè)藬?shù)為=50, 所以第三組人數(shù)為500.36=18, 有療效的人數(shù)為18-6=12. (2)=(0.042+0.053+0.059+0.061+0.062+0.066+0.071+0.073+0.073+0.084+0.086+0.097)12≈0.068 9, =(0.041+0.042+0.043+0.046+0.059+0.062+0.069+0.079+0.087+0.092+0.094+0.096)12≈0.067 5, s2=[(0.042-0.068 9)2+(0.053-0.068 9)2+…+(0.097-0.068 9)2]≈0.000 212. s2=[(0.041-0.067 5)2+(0.042-0.067 5)2+…+(0.096-0.067 5)2]≈0.000 429. 所以甲、乙兩地濃度的方差較小的是甲地. 思維升華 (1)反映樣本數(shù)據(jù)分布的主要方式:頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖.關(guān)于頻率分布直方圖要明確每個(gè)小矩形的面積即為對(duì)應(yīng)的頻率,其高低能夠描述頻率的大小,高考中常常考查頻率分布直方圖的基本知識(shí),同時(shí)考查借助頻率分布直方圖估計(jì)總體的概率分布和總體的特征數(shù),具體問(wèn)題中要能夠根據(jù)公式求解數(shù)據(jù)的均值、眾數(shù)和中位數(shù)、方差等. (2)由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體時(shí),樣本方差越小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定,波動(dòng)越?。? (1)某商場(chǎng)在慶元宵促銷活動(dòng)中,對(duì)元宵節(jié)9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示,已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元,則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為________萬(wàn)元. (2)(xx陜西)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 答案 (1)10 (2)A 解析 (1)由頻率分布直方圖可知: =,所以x=10. (2)=1,yi=xi+a, 所以y1,y2,…,y10的均值為1+a,方差不變?nèi)詾?. 故選A. 熱點(diǎn)三 統(tǒng)計(jì)案例 例3 (1)以下是某年2月某地區(qū)搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù). 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格y/萬(wàn)元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 根據(jù)上表可得線性回歸方程=x+中的=0.196 2,則面積為150 m2的房屋的銷售價(jià)格約為________萬(wàn)元. (2)(xx江西)某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是( ) 表1 成績(jī) 性別 不及格 及格 總計(jì) 男 6 14 20 女 10 22 32 總計(jì) 16 36 52 表2 視力 性別 好 差 總計(jì) 男 4 16 20 女 12 20 32 總計(jì) 16 36 52 表3 智商 性別 偏高 正常 總計(jì) 男 8 12 20 女 8 24 32 總計(jì) 16 36 52 表4 閱讀量 性別 豐富 不豐富 總計(jì) 男 14 6 20 女 2 30 32 總計(jì) 16 36 52 A.成績(jī) B.視力 C.智商 D.閱讀量 思維啟迪 (1)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心(,); (2)根據(jù)列聯(lián)表,計(jì)算K2的值 答案 (1)31.244 2 (2)D 解析 (1)由表格可知=(115+110+80+135+105)=109, =(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2. 所以=-=23.2-0.196 2109=1.814 2. 所以所求線性回歸方程為=0.196 2x+1.814 2. 故當(dāng)x=150時(shí),銷售價(jià)格的估計(jì)值為=0.196 2150+1.814 2=31.244 2(萬(wàn)元). (2)A中,a=6,b=14,c=10,d=22,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52, K2==. B中,a=4,b=16,c=12,d=20,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52, K2==. C中,a=8,b=12,c=8,d=24,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52, K2==. D中,a=14,b=6,c=2,d=30,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52, K2==. ∵<<<, ∴與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量. 思維升華 (1)線性回歸方程求解的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出樣本點(diǎn)中心.回歸系數(shù)的求解可直接把相應(yīng)數(shù)據(jù)代入公式中求解,回歸常數(shù)的確定則需要利用中心點(diǎn)在回歸直線上建立方程求解;(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題,要確定22列聯(lián)表中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),然后代入K2(χ2)計(jì)算公式求其值,根據(jù)K2(χ2)取值范圍求解即可. (1)已知x、y取值如下表: x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點(diǎn)圖分析可知:y與x線性相關(guān),且=0.95x+,則等于( ) A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80 (2)某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的關(guān)系,隨機(jī)抽測(cè)了20人,若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”,“腳長(zhǎng)大于42碼”的為“大腳”,“腳長(zhǎng)小于等于42碼”的為“非大腳”.得以下22列聯(lián)表: 高個(gè) 非高個(gè) 總計(jì) 大腳 5 2 7 非大腳 1 12 13 總計(jì) 6 14 20 則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________的前提下認(rèn)為人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. (附: P(K2>k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ) 答案 (1)B (2)0.01 解析 (1)依題意得,=(0+1+4+5+6+8)=4, =(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25; 又直線=0.95x+必過(guò)樣本點(diǎn)中心(,),即點(diǎn)(4,5.25),于是有5.25=0.954+,由此解得=1.45. (2)由題意得 K2=≈8.802>6.635. 而K2>6.635的概率約為0.01,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. 1.隨機(jī)抽樣的方法有三種,其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)量不多的情況,當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)量明顯較多時(shí)要使用系統(tǒng)抽樣,當(dāng)總體中的個(gè)體具有明顯的層次時(shí)使用分層抽樣.系統(tǒng)抽樣最重要的特征是“等距”,分層抽樣,最重要的是各層的“比例”. 2.用樣本估計(jì)總體 (1)在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)的頻率,各小長(zhǎng)方形的面積的和為1. (2)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同:眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,平均數(shù)是最重要的量. (3)當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)較少時(shí),可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布;當(dāng)總體容量很大時(shí),通常從總體中抽取一個(gè)樣本,分析它的頻率分布,以此估計(jì)總體分布. ①總體期望的估計(jì),計(jì)算樣本平均值=xi.②總體方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的估計(jì):方差= (xi-)2,標(biāo)準(zhǔn)差=,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)較小者較穩(wěn)定. 3.線性回歸方程 = x+ 過(guò)樣本點(diǎn)中心(,),這為求線性回歸方程帶來(lái)很多方便. 4.獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)作出22列聯(lián)表.(2)計(jì)算隨機(jī)變量K2(χ2)的值.(3)查臨界值,檢驗(yàn)作答. 真題感悟 1.(xx江蘇)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹木的底部周長(zhǎng)(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測(cè)的60株樹木中,有________株樹木的底部周長(zhǎng)小于100 cm. 答案 24 解析 底部周長(zhǎng)在[80,90)的頻率為0.01510=0.15, 底部周長(zhǎng)在[90,100)的頻率為0.02510=0.25, 樣本容量為60,所以樹木的底部周長(zhǎng)小于100 cm的株數(shù)為(0.15+0.25)60=24. 2.(xx重慶)已知變量x與y正相關(guān),且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=3,=3.5,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( ) A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4 C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4 答案 A 解析 因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān),則回歸直線的斜率為正,故可以排除選項(xiàng)C和D. 因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上,把點(diǎn)(3,3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的線性回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn),可以排除B,故選A. 押題精練 1.某地區(qū)對(duì)某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控,從中抽取50輛汽車進(jìn)行測(cè)速分析,得到如圖所示的時(shí)速的頻率分布直方圖,根據(jù)該圖,時(shí)速在70 km/h以下的汽車有________輛. 答案 20 解析 時(shí)速在70 km/h以下的汽車所占的頻率為0.0110+0.0310=0.4,共有0.450=20(輛). 2.某教育出版社在高三期末考試結(jié)束后,從某市參與考試的考生中選取600名學(xué)生對(duì)在此期間購(gòu)買教輔資料的情況進(jìn)行調(diào)研,得到如下數(shù)據(jù): 購(gòu)買圖書情況 只買試題類 只買講解類 試題類和講解類都買 人數(shù) 240 200 160 若該教育出版社計(jì)劃用分層抽樣的方法從這600人中隨機(jī)抽取60人進(jìn)行座談,則只買試題類的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為________. 答案 24 解析 只買試題類的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為60=24. 3.下表提供了某廠節(jié)能減排技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=0.7x+0.35,那么表中t的值為________. 答案 3 解析 ∵樣本點(diǎn)中心為,∴=0.74.5+0.35,解得t=3. 4.春節(jié)期間,“厲行節(jié)約,反對(duì)浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開,某市通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng),得到如下的列聯(lián)表: 做不到“光盤” 能做到“光盤” 男 45 10 女 30 15 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 K2= 參照附表,得到的正確結(jié)論是( ) A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)” B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無(wú)關(guān)” C.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)” D.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無(wú)關(guān)” 答案 C 解析 由公式可計(jì)算K2的觀測(cè)值k==≈3.03>2.706,所以有90%以上的把握認(rèn)為“該市民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”,故選C. (推薦時(shí)間:40分鐘) 一、選擇題 1.(xx湖南)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí),總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則( ) A.p1=p2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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