高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt
《高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt(37頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式3.1數(shù)學(xué)歸納法3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,1.理解數(shù)學(xué)歸納法原理.2.能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式.4.了解貝努利不等式的應(yīng)用條件.,[學(xué)習(xí)目標(biāo)],1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.(重點(diǎn))2.貝努利不等式的應(yīng)用.(難點(diǎn)),[學(xué)法指要],,預(yù)習(xí)學(xué)案,1.已知某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)該命題成立,那么可以推得n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時(shí)該命題不成立,則n=4時(shí)該命題__________.,不成立,1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值______時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)__________(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=_________時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.2.對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n,有____________,稱為貝努利不等式.,n0,n=k,k+1,(1+x)n≥1+nx,解析:左端=1+a+a2+…+an+1共n+2項(xiàng),當(dāng)n=1時(shí)an+1=a2∴左端=1+a+a2.答案:C,答案:B,3.設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+________.解析:由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來(lái)多了π.答案:π,,課堂講義,[思路點(diǎn)撥]要證明的等式左邊有2n項(xiàng),右邊有n項(xiàng),f(k)與f(k+1)相比,左邊增加二項(xiàng),右邊增加一項(xiàng),而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同,因此,由n=k到n=k+1時(shí)要注意項(xiàng)的合并.,用數(shù)學(xué)歸納法證等式,[思路點(diǎn)撥]用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān).從n=k到n=k+1,等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng).,[思路點(diǎn)撥]用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法,即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上,通過(guò)放大或縮小等技巧,變換出要證明的目標(biāo)不等式.,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式問(wèn)題,[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是:觀察—?dú)w納—猜想—證明.即先通過(guò)觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn).進(jìn)行歸納,判斷并猜想出一般結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.,(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念:先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n0=1)時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍:數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.,數(shù)學(xué)歸納法,在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題中,從“n=k”到“n=k+1”的過(guò)渡中,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣,只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái),而證明不等式的第二步中,從“n=k”到“n=k+1”,只用拼湊的方法,有時(shí)行不通,因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō),它還涉及“放縮”的問(wèn)題,它可能需通過(guò)“放大”或“縮小”的過(guò)程,才能利用上歸納假設(shè),因此,我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來(lái)分析從“n=k”到“n=k+1”的變化,從中找到“放縮尺度”,準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu).,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),由x≠0得(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立.即有(1+x)k>1+kx.當(dāng)n=k+1時(shí),(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2>1+(k+1)x.所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.,貝努利不等式,由(1)(2)可知,貝努利不等式成立.把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)a時(shí),仍有類似不等式成立,它們是貝努利不等式的更一般的形式:當(dāng)a是實(shí)數(shù),并且滿足a>1或者a-1);當(dāng)a是實(shí)數(shù),并且滿足0-1).,這種方法解決的問(wèn)題主要是歸納型問(wèn)題或探索性問(wèn)題,結(jié)論如何?命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索,而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手,得到一個(gè)結(jié)論,但這個(gè)結(jié)論不一定正確,因?yàn)檫@是靠不完全歸納法得出的,因此,需要給出一定的邏輯證明,所以,通過(guò)觀察、分析、歸納、猜想,探索一般規(guī)律,其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想,如果歸納不出正確的結(jié)論,那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無(wú)法進(jìn)行了.,觀察、歸納、猜想、證明的方法,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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