中考數(shù)學(xué) 考前小題狂做 專題22 等腰三角形(含解析).doc
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等腰三角形 一、選擇題 1.(xx山東煙臺)如圖,Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合,B點(diǎn)與0刻度線的一端重合,∠ABC=40,射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動,與量角器外沿交于點(diǎn)D,若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形,則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是( ?。? A.40 B.70 C.70或80 D.80或140 【考點(diǎn)】角的計(jì)算. 【分析】如圖,點(diǎn)O是AB中點(diǎn),連接DO,易知點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD,只要求出∠BCD的度數(shù)即可解決問題. 【解答】解:如圖,點(diǎn)O是AB中點(diǎn),連接DO. ∵點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD, ∵當(dāng)射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí), ∠BCD=40或70, ∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD=80或140, 故選D. 2.(xx山東棗莊)如圖,在△ABC中,AB = AC,∠A = 30,E為BC延長線上一點(diǎn),∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,則∠D等于 A.15 B.17. 5 C.20 D.22.5 第4題圖 【答案】A. 【解析】 試題分析:在△ABC中,AB=AC,∠A=30,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=75,所以∠ACE=180-∠ACB=180-75=105,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=37.5,∠ACD=52.5,即可得∠BCD=127.5,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠D=180-∠DBC-∠BCD=180-37.5-127.5=15,故答案選A. 考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì);三角形的內(nèi)角和定理. 3.(xx.山東省泰安市,3分)如圖,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分別是PA,PB,AB上的點(diǎn),且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44,則∠P的度數(shù)為( ?。? A.44 B.66 C.88 D.92 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B,證明△AMK≌△BKN,得到∠AMK=∠BKN,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠A=∠MKN=44,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可. 【解答】解:∵PA=PB, ∴∠A=∠B, 在△AMK和△BKN中, , ∴△AMK≌△BKN, ∴∠AMK=∠BKN, ∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK, ∴∠A=∠MKN=44, ∴∠P=180﹣∠A﹣∠B=92, 故選:D. 【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì),掌握等邊對等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 4.(xx江蘇省揚(yáng)州)如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6.將該矩形紙片剪去3個等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面積的最小值是( ?。? A.6 B.3 C.2.5 D.2 【考點(diǎn)】幾何問題的最值. 【分析】以BC為邊作等腰直角三角形△EBC,延長BE交AD于F,得△ABF是等腰直角三角形,作EG⊥CD于G,得△EGC是等腰直角三角形,在矩形ABCD中剪去△ABF,△BCE,△ECG得到四邊形EFDG,此時(shí)剩余部分面積的最小 【解答】解:如圖以BC為邊作等腰直角三角形△EBC,延長BE交AD于F,得△ABF是等腰直角三角形, 作EG⊥CD于G,得△EGC是等腰直角三角形, 在矩形ABCD中剪去△ABF,△BCE,△ECG得到四邊形EFDG,此時(shí)剩余部分面積的最小=46﹣44﹣36﹣33=2.5. 故選C. 二、填空題 1.(xx湖北黃岡)如圖,已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4個全等的等腰三角形,底邊BC,CE,EG,GI在同一條直線上,且AB=2,BC=1. 連接AI,交FG于點(diǎn)Q,則QI=_____________. A D F H Q B C E G I (第14題) 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì). 【分析】過點(diǎn)A作AM⊥BC. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得到MC=BC=,從而MI=MC+CE+EG+GI=.再根據(jù)勾股定理,計(jì)算出AM和AI的值;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角相等,從而證明AC∥GQ,則△IAC∽△IQG,故=,可計(jì)算出QI=. A D F H Q B M C E G I 【解答】解:過點(diǎn)A作AM⊥BC. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得 MC=BC=. ∴MI=MC+CE+EG+GI=. 在Rt△AMC中,AM2=AC2-MC2= 22-()2=. AI===4. 易證AC∥GQ,則△IAC∽△IQG ∴= 即= ∴QI=. 故答案為:. 2. (xx四川資陽)如圖,在33的方格中,A、B、C、D、E、F分別位于格點(diǎn)上,從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn),與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作三角形,則所作三角形為等腰三角形的概率是 ?。? 【考點(diǎn)】概率公式;等腰三角形的判定. 【分析】根據(jù)從C、D、E、F四個點(diǎn)中任意取一點(diǎn),一共有4種可能,選取D、C、F時(shí),所作三角形是等腰三角形,即可得出答案. 【解答】解:根據(jù)從C、D、E、F四個點(diǎn)中任意取一點(diǎn),一共有4種可能,選取D、C、F時(shí),所作三角形是等腰三角形, 故P(所作三角形是等腰三角形)=; 故答案為:. 3. (xx四川成都4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AE垂直平分OB于點(diǎn)E,則AD的長為 3?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì). 【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=AB=OB=3,得出BD=2OB=6,由勾股定理求出AD即可. 【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形, ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD, ∴OA=OB, ∵AE垂直平分OB, ∴AB=AO, ∴OA=AB=OB=3, ∴BD=2OB=6, ∴AD===3; 故答案為:3. 4. (xx四川達(dá)州3分)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ,連接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面積為 24+9?。? 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì). 【分析】連結(jié)PQ,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60,AB=AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=6,∠PAQ=60,則可判斷△APQ為等邊三角形,所以PQ=AP=6,接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形,再根據(jù)三角形面積公式,利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ進(jìn)行計(jì)算. 【解答】解:連結(jié)PQ,如圖, ∵△ABC為等邊三角形, ∴∠BAC=60,AB=AC, ∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ, ∴AP=PQ=6,∠PAQ=60, ∴△APQ為等邊三角形, ∴PQ=AP=6, ∵∠CAP+∠BAP=60,∠BAP+∠BAQ=60, ∴∠CAP=∠BAQ, 在△APC和△ABQ中, , ∴△APC≌△ABQ, ∴PC=QB=10, 在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102, 而64+36=100, ∴PB2+PQ2=BQ2, ∴△PBQ為直角三角形,∠BPQ=90, ∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=68+62=24+9. 故答案為24+9. 5. (xx江蘇淮安,16,3分)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4,則該等腰三角形的周長是 10?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系. 【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊,知道等腰三角形的腰的長度是4,底邊長2,把三條邊的長度加起來就是它的周長. 【解答】解:因?yàn)?+2<4, 所以等腰三角形的腰的長度是4,底邊長2, 周長:4+4+2=10, 答:它的周長是10, 故答案為:10 【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長度,再根據(jù)三角形的周長的計(jì)算方法,列式解答即可. 6.(xx廣東廣州)如圖,中,,點(diǎn)在上,,將線段沿方向平移得到線段,點(diǎn)分別落在邊上,則的周長是 cm. [難易] 容易 [考點(diǎn)] 平移 ,等腰三角形等角對等邊 [解析] ∵CD沿CB平移7cm至EF [參考答案] 13 7.(xx廣西賀州)如圖,在△ABC中,分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點(diǎn)O,則∠AOB的度數(shù)為 120?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì). 【分析】先證明∴△DCB≌△ACE,再利用“8字型”證明∠AOH=∠DCH=60即可解決問題. 【解答】解:如圖:AC與BD交于點(diǎn)H. ∵△ACD,△BCE都是等邊三角形, ∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60, ∴∠DCB=∠ACE, 在△DCB和△ACE中, , ∴△DCB≌△ACE, ∴∠CAE=∠CDB, ∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180,∠DHC=∠OHA, ∴∠AOH=∠DCH=60, ∴∠AOB=180﹣∠AOH=120. 故答案為120 【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形,學(xué)會利用“8字型”證明角相等,屬于中考??碱}型. 8.(xx山東煙臺)如圖,O為數(shù)軸原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別對應(yīng)﹣3,3,作腰長為4的等腰△ABC,連接OC,以O(shè)為圓心,CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M對應(yīng)的實(shí)數(shù)為 ?。? 【考點(diǎn)】勾股定理;實(shí)數(shù)與數(shù)軸;等腰三角形的性質(zhì). 【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB,則利用勾股定理可計(jì)算出OC=,然后利用畫法可得到OM=OC=,于是可確定點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù). 【解答】解:∵△ABC為等腰三角形,OA=OB=3, ∴OC⊥AB, 在Rt△OBC中,OC===, ∵以O(shè)為圓心,CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M, ∴OM=OC=, ∴點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為. 故答案為. 9.(xx.山東省青島市,3分)如圖,以邊長為20cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn),在各邊上分別截取4cm長的六條線段,過截得的六個端點(diǎn)作所在邊的垂線,形成三個有兩個直角的四邊形.把它們沿圖中 虛線剪掉,用剩下的紙板折成一個底為正三角形的無蓋柱形盒子,則它的容積為 448﹣480 cm3. 【考點(diǎn)】剪紙問題. 【分析】由題意得出△ABC為等邊三角形,△OPQ為等邊三角形,得出∠A=∠B=∠C=60,AB=BC=AC.∠POQ=60,連結(jié)AO,作QM⊥OP于M,在Rt△AOD中,∠OAD=∠OAK=30,得出OD=AD=2cm,AD=OD=2cm,同理:BE=AD=2cm,求出PQ、QM,無蓋柱形盒子的容積=底面積高,即可得出結(jié)果. 【解答】解:如圖,由題意得:△ABC為等邊三角形,△OPQ為等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60,AB=BC=AC,∠POQ=60, ∴∠ADO=∠AKO=90. 連結(jié)AO,作QM⊥OP于M, 在Rt△AOD中,∠OAD=∠OAK=30, ∴OD=AD=2cm, ∴AD=OD=2cm, 同理:BE=AD=2cm, ∴PQ=DE=20﹣22=20﹣4(cm), ∴QM=OP?sin60=(20﹣4)=10﹣6,(cm), ∴無蓋柱形盒子的容積=(20﹣4)(10﹣6)4=448﹣480(cm3); 故答案為:448﹣480. 10.(xx江蘇泰州)如圖,已知直線l1∥l2,將等邊三角形如圖放置,若∠α=40,則∠β等于 20?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì);平行線的性質(zhì). 【分析】過點(diǎn)A作AD∥l1,如圖,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=∠β.根據(jù)平行線的傳遞性可得AD∥l2,從而得到∠DAC=∠α=40.再根據(jù)等邊△ABC可得到∠BAC=60,就可求出∠DAC,從而解決問題. 【解答】解:過點(diǎn)A作AD∥l1,如圖, 則∠BAD=∠β. ∵l1∥l2, ∴AD∥l2, ∵∠DAC=∠α=40. ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠BAC=60, ∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60﹣40=20. 故答案為20. 三.解答題 1. (xx年浙江省寧波市)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線. (1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40,∠B=60,求證:CD為△ABC的完美分割線. (2)在△ABC中,∠A=48,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù). (3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【專題】新定義. 【分析】(1)根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可. (2)分三種情形討論即可①如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí),②如圖3中,當(dāng)AD=AC時(shí),③如圖4中,當(dāng)AC=CD時(shí),分別求出∠ACB即可. (3)設(shè)BD=x,利用△BCD∽△BAC,得=,列出方程即可解決問題. 【解答】解:(1)如圖1中,∵∠A=40,∠B=60, ∴∠ACB=80, ∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40, ∴∠ACD=∠A=40, ∴△ACD為等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖2,∠ACD=∠A=45, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96. ②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖3中,∠ACD=∠ADC==66, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114. ③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖4中,∠ADC=∠A=48, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48, ∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍棄. ∴∠ACB=96或114. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴=,設(shè)BD=x, ∴()2=x(x+2), ∵x>0, ∴x=﹣1, ∵△BCD∽△BAC, ∴==, ∴CD=2=﹣. 【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會分類討論思想,屬于中考??碱}型. 2.(xx上海)如圖所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90,AD=15,AB=16,BC=12,點(diǎn)E是邊AB上的動點(diǎn),點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn),射線ED和射線AF交于點(diǎn)G,且∠AGE=∠DAB. (1)求線段CD的長; (2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形,求線段AE的長; (3)如果點(diǎn)F在邊CD上(不與點(diǎn)C、D重合),設(shè)AE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍. 【考點(diǎn)】四邊形綜合題. 【專題】綜合題. 【分析】(1)作DH⊥AB于H,如圖1,易得四邊形BCDH為矩形,則DH=BC=12,CD=BH,再利用勾股定理計(jì)算出AH,從而得到BH和CD的長; (2)分類討論:當(dāng)EA=EG時(shí),則∠AGE=∠GAE,則判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合,即ED=EA,作EM⊥AD于M,如圖1,則AM=AD=,通過證明Rt△AME∽Rt△AHD,利用相似比可計(jì)算出此時(shí)的AE長;當(dāng)GA=GE時(shí),則∠AGE=∠AEG,可證明AE=AD=15, (3)作DH⊥AB于H,如圖2,則AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9,先利用勾股定理表示出DE=,再證明△EAG∽△EDA,則利用相似比可表示出EG=,則可表示出DG,然后證明△DGF∽△EGA,于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系. 【解答】解:(1)作DH⊥AB于H,如圖1, 易得四邊形BCDH為矩形, ∴DH=BC=12,CD=BH, 在Rt△ADH中,AH===9, ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7, ∴CD=7; (2)當(dāng)EA=EG時(shí),則∠AGE=∠GAE, ∵∠AGE=∠DAB, ∴∠GAE=∠DAB, ∴G點(diǎn)與D點(diǎn)重合,即ED=EA, 作EM⊥AD于M,如圖1,則AM=AD=, ∵∠MAE=∠HAD, ∴Rt△AME∽Rt△AHD, ∴AE:AD=AM:AH,即AE:15=:9,解得AE=; 當(dāng)GA=GE時(shí),則∠AGE=∠AEG, ∵∠AGE=∠DAB, 而∠AGE=∠ADG+∠DAG,∠DAB=∠GAE+∠DAG, ∴∠GAE=∠ADG, ∴∠AEG=∠ADG, ∴AE=AD=15, 綜上所述,△AEC是以EG為腰的等腰三角形時(shí),線段AE的長為或15; (3)作DH⊥AB于H,如圖2,則AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9, 在Rt△ADE中,DE==, ∵∠AGE=∠DAB,∠AEG=∠DEA, ∴△EAG∽△EDA, ∴EG:AE=AE:ED,即EG:x=x:, ∴EG=, ∴DG=DE﹣EG=﹣, ∵DF∥AE, ∴△DGF∽△EGA, ∴DF:AE=DG:EG,即y:x=(﹣):, ∴y=(9<x<). 【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合題:熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì);常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題;會利用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長;會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題. 3.(xx江蘇省宿遷)如圖,在矩形ABCD中,AD=4,點(diǎn)P是直線AD上一動點(diǎn),若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個,則AB的長為 4?。? 【分析】如圖,當(dāng)AB=AD時(shí),滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個. 【解答】解:如圖,當(dāng)AB=AD時(shí),滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個, △P1BC,△P2BC是等腰直角三角形,△P3BC是等腰直角三角形(P3B=P3C), 則AB=AD=4, 故答案為4. 【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,屬于中考常考題型. 4.(xx江蘇省宿遷)如圖,已知BD是△ABC的角平分線,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC.求證:BE=CF. 【分析】先利用平行四邊形性質(zhì)證明DE=CF,再證明EB=ED,即可解決問題. 【解答】證明:∵ED∥BC,EF∥AC, ∴四邊形EFCD是平行四邊形, ∴DE=CF, ∵BD平分∠ABC, ∴∠EBD=∠DBC, ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∴∠EBD=∠EDB, ∴EB=ED, ∴EB=CF. 【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線知識解決問題,屬于基礎(chǔ)題,中考常考題型. 5.(xx江蘇省宿遷)已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是邊AB上一動點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外),將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF,其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)F是點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn). (1)如圖1,當(dāng)α=90時(shí),G是邊AB上一點(diǎn),且BG=AD,連接GF.求證:GF∥AC; (2)如圖2,當(dāng)90≤α≤180時(shí),AE與DF相交于點(diǎn)M. ①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí),連接CM,求∠CMD的度數(shù); ②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn),當(dāng)α從90變化到180時(shí),求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長. 【分析】(1)欲證明GF∥AC,只要證明∠A=∠FGB即可解決問題. (2)①先證明A、D、M、C四點(diǎn)共圓,得到∠CMF=∠CAD=45,即可解決問題. ②利用①的結(jié)論可知,點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上,運(yùn)動路徑是弧CD,利用弧長公式即可解決問題. 【解答】解:(1)如圖1中,∵CA=CB,∠ACB=90, ∴∠A=∠ABC=45, ∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針α得到,α=90, ∴CB與CE重合, ∴∠CBE=∠A=45, ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90, ∵BG=AD=BF, ∴∠BGF=∠BFG=45, ∴∠A=∠BGF=45, ∴GF∥AC. (2)①如圖2中,∵CA=CE,CD=CF, ∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD, ∵∠ACD=∠ECF, ∴∠ACE=∠CDF, ∵2∠CAE+∠ACE=180,2∠CDF+∠DCF=180, ∴∠CAE=∠CDF, ∴A、D、M、C四點(diǎn)共圓, ∴∠CMF=∠CAD=45, ∴∠CMD=180﹣∠CMF=135. ②如圖3中,O是AC中點(diǎn),連接OD、CM. ∵AD=DB,CA=CB, ∴CD⊥AB, ∴∠ADC=90, 由①可知A、D、M、C四點(diǎn)共圓, ∴當(dāng)α從90變化到180時(shí), 點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上,運(yùn)動路徑是弧CD, ∵OA=OC,CD=DA, ∴DO⊥AC, ∴∠DOC=90, ∴的長==. ∴當(dāng)α從90變化到180時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為. 【點(diǎn)評】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長公式、四點(diǎn)共圓等知識,解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點(diǎn)共圓,最后一個問題的關(guān)鍵,正確探究出點(diǎn)M的運(yùn)動路徑,記住弧長公式,屬于中考壓軸題. 6.(xx?遼寧沈陽)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<180),點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,連接BD,BE. (1)如圖,當(dāng)α=60時(shí),延長BE交AD于點(diǎn)F. ①求證:△ABD是等邊三角形; ②求證:BF⊥AD,AF=DF; ③請直接寫出BE的長; (2)在旋轉(zhuǎn)過程中,過點(diǎn)D作DG垂直于直線AB,垂足為點(diǎn)G,連接CE,當(dāng)∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點(diǎn)時(shí),請直接寫出BE+CE的值. 溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便作答. 【考點(diǎn)】三角形綜合題. 【分析】(1)①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD,∠BAD=60即可得證;②由BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證;③分別求出BF、EF的長即可得; (2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC,根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,繼而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案. 【解答】解:(1)①∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到△ADE, ∴AB=AD,∠BAD=60, ∴△ABD是等邊三角形; ②由①得△ABD是等邊三角形, ∴AB=BD, ∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到△ADE, ∴AC=AE,BC=DE, 又∵AC=BC, ∴EA=ED, ∴點(diǎn)B、E在AD的中垂線上, ∴BE是AD的中垂線, ∵點(diǎn)F在BE的延長線上, ∴BF⊥AD,AF=DF; ③由②知BF⊥AD,AF=DF, ∴AF=DF=3, ∵AE=AC=5, ∴EF=4, ∵在等邊三角形ABD中,BF=AB?sin∠BAF=6=3, ∴BE=BF﹣EF=3﹣4; (2)如圖所示, ∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC, ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180, 又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180, ∴∠BAE=∠ABC, ∵AC=BC=AE, ∴∠BAC=∠ABC, ∴∠BAE=∠BAC, ∴AB⊥CE,且CH=HE=CE, ∵AC=BC, ∴AH=BH=AB=3, 則CE=2CH=8,BE=5, ∴BE+CE=13. 【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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