【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 理 新人教版

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1、 第七章立體幾何 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖 1．簡(jiǎn)單幾何體 (1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征： ①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到； ②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到； ③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到； ④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到． (2)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征： ①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； ②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形； ③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形． 2．直觀圖

2、 (1)畫法：常用斜二測(cè)畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45(或135)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半． 3．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． 說(shuō)明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖． (2)三視圖的畫法 ①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等． ②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)

3、，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線． [小題體驗(yàn)] 1．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　D選項(xiàng)為正視圖或者側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B. 2．如圖所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　　　　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選B　由題圖知A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，由斜二測(cè)畫法知，在△ABC中，AC∥y軸，AB∥x軸，∴AC⊥AB.又因?yàn)锳′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是

4、直角三角形． 3．(教材習(xí)題改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______． 答案：五棱柱　三棱柱 1．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)． 2．空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同． 3．對(duì)于簡(jiǎn)單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法． [小題糾偏] 1．沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影

5、面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B. 2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　) 解析：選B　根據(jù)選項(xiàng)A、B、C、D中的直觀圖，畫出其三視圖，只有B項(xiàng)正確． [題組練透] 1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　　) A．圓柱　　　　　　　　　 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．(易錯(cuò)題)下列說(shuō)法正確的是(　　) A．有兩個(gè)平

6、面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn) 解析：選B　A錯(cuò)，如圖(1)；B正確，如圖(2)，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)，如圖(3)；D錯(cuò)，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱的延長(zhǎng)線必相交于同一點(diǎn)． 3．如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是(　　) A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面

7、角都相等或互補(bǔ) C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 解析：選B　因?yàn)椤暗妊睦忮F”的四條側(cè)棱都相等，所以它的頂點(diǎn)在底面的射影到底面的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故A，C正確；且在它的高上必能找到一點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D正確；B不正確，如底面是一個(gè)等腰梯形時(shí)結(jié)論就不成立． [謹(jǐn)記通法] 解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題3個(gè)技巧 (1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力； (2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，如“題組練透”第2題的A、C兩項(xiàng)易判斷失誤； (3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行

8、辨析． [典例引領(lǐng)] 1．(2016貴州七校聯(lián)考)如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)(　　) A．①②⑥　　　　　　　 B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤ 解析：選B　正視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③. 2．(2015北京高考

9、)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為(　　) A．1 B． C． D．2 解析：選C　根據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長(zhǎng)棱為VD.連接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝. [由題悟法] 幾何體畫三視圖的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)三視圖的安排位置，正視圖、側(cè)視圖分別放在左右兩邊，俯視圖在正視圖的下邊． (2)注意實(shí)虛線的區(qū)別． [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2016臨沂模擬)如圖甲，將一個(gè)正三棱柱ABC DEF截去一個(gè)三棱錐A BCD，得到幾何體BCD

10、EF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是(　　) 解析：選C　由于三棱柱為正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點(diǎn)與D的連線，CD的投影與底面不垂直，故選C. 2．(2016南昌一模)如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：選A　根據(jù)題意，三棱錐P BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊

11、長(zhǎng)、高為正四棱柱的高．故三棱錐P BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1∶1. [典例引領(lǐng)] (2015福州模擬)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是(　　) 解析：選A　由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2. [由題悟法] 用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的3個(gè)步驟 (1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行． (2)原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線． (3)原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后

12、，用平滑的曲線連接而畫出． [即時(shí)應(yīng)用] 用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為(　　) A．4 cm2　　　　　　　　 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 解析：選C　依題意可知∠BAD＝45，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成為(　　) A．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱 B．上面為圓

13、臺(tái)，下面為棱柱 C．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱 D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱 解析：選C　依題意，題中的幾何體上面是圓臺(tái)，下面是圓柱． 2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是(　　) 解析：選D　幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長(zhǎng)度相等，只有等邊三角形不可能． 3．給出下列四個(gè)命題： ①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．

14、3 解析：選A　反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；③④顯然錯(cuò)誤，故選A. 4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其正視圖有最大面積時(shí)，其側(cè)視圖的面積為(　　) A．2 B．3 C． D．4 解析：選A 當(dāng)正視圖的面積最大時(shí)，可知其正三棱柱某個(gè)側(cè)面的面積，可以按如圖所示放置，此時(shí)S側(cè)＝2. 5．如圖，線段OA在平面xOy中，它與x軸的夾角為45，它的長(zhǎng)為2，OA的直觀圖O′A′的長(zhǎng)為________． 解析：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥Ox于B， ∵OA＝2，∠AOB＝45， ∴OB＝AB＝2，線段OB

15、的直觀圖O′B′＝2，A′B′＝1，∠O′B′A′＝135. ∴O′A′2＝22＋12－221cos 135， ∴O′A′＝. 　 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．(2016衡陽(yáng)聯(lián)考)已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的(　　) 解析：選C　根據(jù)三視圖的定義可知A、B、D均不可能，故選C. 2．(2016武漢調(diào)研)若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(　　) 解析：選A　B的側(cè)視圖不對(duì)，C的俯視圖不對(duì)，D的正視圖不對(duì)，排除B、C、D，A正確． 3．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該

16、幾何體不可能是(　　) A．圓柱　　　　　　　　 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 解析：選A　圓柱的正視圖是矩形，則該幾何體不可能是圓柱． 4．(2015北京模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則其表面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　由三視圖可得該三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，一個(gè)底邊長(zhǎng)為2、底邊上的高為1的側(cè)面垂直于底面，該側(cè)面是直角邊長(zhǎng)為的直角三角形．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得右邊一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2，，的直角三角形，則左邊一個(gè)側(cè)面的邊長(zhǎng)為，，2的三角形，也是直角三角形，所以該三棱錐表面的4個(gè)面都是直角三角形

17、． 5．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為(　　) A．24 B．12 C．48 D．20 解析：選A　由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4，∴S?OABC＝64＝24. 6．設(shè)有以下四個(gè)命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)是________． 解析：命題①符合平

18、行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危拭}③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的． 答案：①④ 7．(2016福建龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原平面四邊形OABC面積為________． 解析：因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2. 答案：2 8．如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為面B′BCC′的中心，點(diǎn)F為B′C′的中

19、點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的正投影可能是________(填出所有可能的序號(hào))． 解析：空間四邊形D′OEF在正方體的面DCC′D′及其對(duì)面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其對(duì)面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其對(duì)面A′B′C′D′上的正投影是③. 答案：①②③ 9．(2016昆明、玉溪統(tǒng)考)如圖，三棱錐VABC的底面為正三角形，側(cè)面VAC與底面垂直且VA＝VC，已知其正(主)視圖的面積為，則其側(cè)(左)視圖的面積為________． 解析：設(shè)三棱錐VABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面VAC的邊AC上的高為h，則ah＝，其側(cè)(左)視圖是由底面三

20、角形ABC邊AC上的高與側(cè)面三角形VAC邊AC上的高組成的直角三角形，其面積為ah＝＝. 答案： 10．已知正三棱錐V ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解：(1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝22＝6. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選C　畫出直觀圖，共六塊．

21、 2．一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為，則這個(gè)幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的________．(填入所有可能的圖形前的編號(hào)) ①銳角三角形；②直角三角形；③四邊形；④扇形；⑤圓． 解析：如圖1所示，直三棱柱ABE A1B1E1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖△ABE是銳角三角形；如圖2所示，直三棱柱ABC A1B1C1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖△ABC是直角三角形；如圖3所示，當(dāng)直四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)分別是正方體上、下各邊的中點(diǎn)時(shí)，所得直四棱柱ABCD A1B1C1D1符合題設(shè)要求，此時(shí)俯視圖四邊形ABCD是正方形；若俯視圖是扇形或圓，體積中會(huì)含有π，故排除④⑤. 答案

22、：①②③ 3．如圖，在四棱錐PABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線)邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

23、 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [小題體驗(yàn)] 1．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，其中正(主)視圖、側(cè)(左)視圖都是由邊長(zhǎng)為4和6的矩形以及直徑等于4的圓組成，俯視圖是直徑等

24、于4的圓，該幾何體的體積是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：選D　由題意得，此幾何體為圓柱與球的組合體，其體積V＝π23＋π226＝. 2．一個(gè)體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的側(cè)(左)視圖的面積為(　　) A．8 B．6 C．12 D．8 解析：選B　設(shè)此三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則由圖示知a＝2，∴a＝4，∴12＝42h，∴h＝3， ∴側(cè)(左)視圖面積為23＝6. 3．(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為________，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為________．

25、答案：2∶3　1∶1 4．(教材習(xí)題改編)已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC，它的表面積為________． 解析：過(guò)S作SD⊥BC， ∵BC＝a，∴SD＝a， ∴S△SBC＝a2， ∴表面積S＝4a2＝a2. 答案：a2 1．求組合體的表面積時(shí)：組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò)． 2．由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤． 3．易混側(cè)面積與表面積的概念． [小題糾偏] 1．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．84 cm3 B．92 cm3

26、 C．100 cm3 D．108 cm3 解析：選C　由三視圖的幾何體，利用體積公式求解．由三視圖可得該幾何體是棱長(zhǎng)分別為6,3,6的長(zhǎng)方體截去一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為3,4,4的三棱錐，所以該幾何體的體積是663－443＝108－8＝100 cm3. 2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)棱臺(tái)組成，其表面積S＝342＋222＋422＋46＋(2＋6)22＝72＋16. 答案：72＋16 [題組練透] 1．(2015福建高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

27、的表面積等于(　　) A．8＋2　　　　　　　　　　 B．11＋2 C．14＋2 D．15 解析：選B　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示．直角梯形斜腰長(zhǎng)為＝，所以底面周長(zhǎng)為4＋，側(cè)面積為2(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為21(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. 2．(易錯(cuò)題)(2015全國(guó)卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選B　如圖，該幾何體是一

28、個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝4πr2＋πr2＋4r2＋πr2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π， ∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故選B. 3．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積為(　　) A．12 B．24 C．24 D．12 解析：選A　由三視圖得，這是一個(gè)正四棱臺(tái)，由條件知斜高h(yuǎn)＝＝，側(cè)面積S＝4＝12. [謹(jǐn)記通法] 幾何體的表面積2種求法 (1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體

29、的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積．注意銜接部分的處理，如“題組練透”第2題． [典例引領(lǐng)] 1．(2015重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．＋2π　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選B　由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐組合而成的幾何體，其體積為π122＋π121＝π. 2．(2015全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) A． B． C．

30、D． 解析：選D　由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為 V1＝111＝， 剩余部分的體積V2＝13－＝. 所以＝＝，故選D. [由題悟法] 求解幾何體體積的必備策略 常見類型 解題策略 球的體積問(wèn)題 直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑 錐體、柱體的體積問(wèn)題 根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解 以三視圖為載體的幾何體體積問(wèn)題 將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解 不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)

31、題 常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解 [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2016浙江瑞安模擬)已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：選B　由三視圖可知此棱錐是底面為直角梯形，高為2的四棱錐，所以V＝2＝4. 2．(2015惠州二調(diào))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)(左)視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．16π B．14π C．12π D．8π 解析

32、：選D　由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)球切去四分之一個(gè)球后剩余的部分，由于球的半徑為2，所以這個(gè)幾何體的體積V＝π23＝8π. [命題分析] 與球相關(guān)的切、接問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變． 常見的命題角度有： (1)正四面體的內(nèi)切球； (2)直三棱柱的外接球； (3)正方體(長(zhǎng)方體)的外接球； (4)四棱錐(三棱錐)的外接球． [題點(diǎn)全練] 角度一：正四面體的內(nèi)切球 1．(2016長(zhǎng)春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則＝________. 解析：設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4a2＝a2，其內(nèi)

33、切球半徑為正四面體高的，即r＝a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝. 答案： 角度二：直三棱柱的外接球 2．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A．　　　　　　　　　　　 B．2 C． D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， 所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 角度三：正方體(長(zhǎng)方體)的外接球 3．(2016九江一模)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，過(guò)點(diǎn)D作D

34、E垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為________． 解析：如圖所示，BE過(guò)球心O， ∴DE＝＝2， ∴VE ABCD＝32＝2. 答案：2 角度四：四棱錐(三棱錐)的外接球 4．(2016長(zhǎng)沙模擬)體積為的正四棱錐SABCD的底面中心為O，SO與側(cè)面成的角的正切值為，那么過(guò)SABCD的各頂點(diǎn)的球的表面積為(　　) A．32π B．24π C．16π D．12π 解析：選C　如圖，取AB的中點(diǎn)為F，連接SF，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥SF，則∠OSG為SO與側(cè)面所成的角， 且tan∠OSG＝＝.設(shè)AB＝2a，則SO＝a，所以4a2a＝，得a＝.延長(zhǎng)SO

35、交外接球于E，則EB⊥SB，由OB2＝SOOE得4＝2(2R－2)，所以R＝2，S＝4π22＝16π. [方法歸納] “切”“接”問(wèn)題處理的注意事項(xiàng) (1)“切”的處理 解決與球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作． (2)“接”的處理 把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑． 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為(　　) A．

36、π　　　　　　　　 B．π C．16π D．24π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，則表面積是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以體積為πR3＝. 2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．20 D．40 解析：選B　由幾何體的三視圖可知該空間幾何體是一個(gè)四棱錐，其直觀圖如圖所示．其體積為(1＋4)44＝. 3．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的側(cè)面積為(　　) A．15π B．20π C．30π D．40π 解析：選A　依題意知幾何

37、體為底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5的圓錐，所得幾何體的側(cè)面積等于π35＝15π. 4．棱長(zhǎng)為a的正方體有一內(nèi)切球，該球的表面積為________． 解析：由題意知球的直徑2R＝a， ∴R＝.∴S＝4πR2＝4π＝πa2. 答案：πa2 5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為V1，直徑為4的球的體積為V2，則V1∶V2＝________. 解析：由三視圖知，該幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個(gè)底面相同的圓錐，因此V1＝8π－＝，V2＝23＝，V1∶V2＝1∶2. 答案：1∶2 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍

38、，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：選A　設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r. 由S＝π(r＋3r)3＝84π，解得r＝7. 2．(2015云南師大附中)如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A．9 B．10 C．12 D．18 解析：選A　由三視圖還原出幾何體的直觀圖如圖，SD⊥平面ABCD，AB與DC平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求體積V＝(2＋4)33＝9. 3．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)

39、為時(shí)，其高的值為(　　) A．3 B． C．2 D．2 解析：選D　設(shè)正六棱柱的高為h，則可得()2＋＝32，解得h＝2. 4．(2015陜西高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 解析：選D　由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示． 表面積為22＋2π12＋π12＝4＋3π. 5．(2015浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12 cm3 C． cm3 D． cm3 解析：選C　由三視圖可知，該幾

40、何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體，體積V1＝222＝8(cm3)；上面是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm的正四棱錐，體積V2＝222＝(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝(cm3)． 6．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________． 解析：易知原幾何體是底面圓半徑為1，高為2的圓錐體的一半，故所求體積為V＝(π12)2＝. 答案： 7．(2015天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 解析：由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底

41、面半徑和高均為1，圓柱的底面半徑為1且其高為2，故所求幾何體的體積為 V＝π1212＋π122＝π. 答案：π 8．(2016唐山一模)在半徑為2的球面上有不同的四點(diǎn)A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，則平面BCD被球所截得圖形的面積為________． 解析：過(guò)點(diǎn)A向平面BCD作垂線，垂足為M，則M是△BCD的外心，而外接球球心O位于直線AM上，連接BM，設(shè)△BCD所在截面圓半徑為r，∵OA＝OB＝2＝AB，∴∠BAO＝60， 在Rt△ABM中，r＝2sin 60＝， ∴所求面積S＝πr2＝3π. 答案：3π 9．(2015江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，

42、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________． 解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得π524＋π228＝πr24＋πr28，∴r2＝7，∴r＝. 答案： 10．(2016安徽六校聯(lián)考)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，求該多面體的體積． 解：法一：如圖所示，分別過(guò)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱， ∵三棱錐高為，直三棱柱柱高為

43、1， AG＝ ＝， 取AD中點(diǎn)M，則MG＝， ∴S△AGD＝1＝， ∴V＝1＋2＝. 法二：如圖所示，取EF的中點(diǎn)P，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，易知三棱錐PAED和三棱錐PBCF都是棱長(zhǎng)為1的正四面體，四棱錐PABCD為棱長(zhǎng)為1的正四棱錐． ∴V＝12＋2＝. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．(2016太原一模)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　) A．3π B．π C．4π D．

44、π 解析：選A　由圖示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC與△A′BC都是以BC為斜邊的直角三角形，由此可得BC中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)A′，B，C，D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為，所以該外接球的表面積S＝4π2＝3π. 2．(2015南京二模 )一塊邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐形容器．當(dāng)x＝6 cm時(shí)，該容器的容積為________cm3. 解析：如圖所示，由題意可知，這個(gè)正四棱錐形容器的底面是以6 cm為邊長(zhǎng)的正方形，側(cè)面的斜高PM＝5 cm，高PO＝＝＝4 cm

45、，所以所求容積為V＝624＝48(cm3)． 答案：48 3．如圖，在三棱錐DABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱錐DABC的體積的最大值． 解：由題意知，線段AB＋BD與線段AC＋CD的長(zhǎng)度是定值，因?yàn)槔釧D與棱BC相互垂直． 設(shè)d為AD到BC的距離． 則VDABC＝ADBCd＝2d， 當(dāng)d最大時(shí)，VDABC體積最大， ∵AB＋BD＝AC＋CD＝10， ∴當(dāng)AB＝BD＝AC＝CD＝5時(shí)， d有最大值＝. 此時(shí)V＝2. 第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1．平面的基本性質(zhì) (

46、1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． (2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． (3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線． 2．空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)空間中兩直線的位置關(guān)系 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：. (3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． (4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互

47、補(bǔ)． 3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系 (1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況． (2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． [小題體驗(yàn)] 1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(　　) A．4個(gè)　　　　　　　　　　 B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 解析：選A　首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定四個(gè)平面． 2．(教材習(xí)題改編)設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________． ①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a

48、?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案：③④ 3．(教材習(xí)題改編)給出命題 ①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行． ②若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行． ③若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行． 其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為________． 答案：2 1．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交． 2．直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”． [小題糾偏] 1．(2016江西七校聯(lián)考

49、)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　) A．相交或平行 B．相交或異面 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 解析：選D　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面． 2．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．b?α　　　　　　　　　 B．b∥α C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α 解析：選D　b與α相交或b?α或b∥α都可以． [題組練透] 1．(易錯(cuò)題)(2016上海閔行區(qū)期末調(diào)研)已知A，B，C

50、，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件． 2．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． 證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A

51、1B. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)∵EF∥CD1，EF

52、明平面α，β重合． 2．證明多線共點(diǎn)問(wèn)題的2個(gè)步驟 (1)先證其中兩條直線交于一點(diǎn)； (2)再證交點(diǎn)在第三條直線上．證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，可以利用公理3證明．如“題組練透”第2題中第(2)問(wèn)． [典例引領(lǐng)] (2015廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 解析：選D　由直線l1和l2是異面直線可知l1與l

53、2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交． [由題悟法] [即時(shí)應(yīng)用] 1．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B　法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立． 法二：構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)，③正確． 2．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_____

54、___．(填上所有正確答案的序號(hào)) 解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． 答案：②④ [典型母題] 如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中， AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D．

55、 [解析]　連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1， 則AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝. 則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [答案]　D [類題通法] 用平移法求異面直線所成的角的3步驟 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． [越變?cè)矫鱙 [變式1]　將母

56、題條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，問(wèn)題不變． 解：由平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到A1的距離為1， 則AA1＝1. 此時(shí)正四棱柱變?yōu)檎襟wABCDA1B1C1D1， 由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1，連接A1C1. 則△A1BC1為等邊三邊形， ∴∠A1BC1＝60， ∴cos∠A1BC1＝， 故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [變式2]　將母題條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”，試求：的值． 解：設(shè)＝t，則AA1＝tAB.∵AB＝1，∴AA1＝t

57、， ∵A1C1＝，A1B＝＝BC1， ∴cos∠A1BC1＝＝， ∴t＝3，即＝3. [變式3]　將母題條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，則是否存在過(guò)頂點(diǎn)A的直線 l，使l與棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在幾條？若不存在，說(shuō)明理由． 解：由條件知，此時(shí)正四棱柱為正方體． 如圖，連接對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成角都相等，聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線．如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因?yàn)锽B1∥AA1，BC∥AD. ∴體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相

58、等．同理體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成角都相等，故過(guò)A作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足，故這樣的直線可以作4條． [破譯玄機(jī)] 解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)： (1)抓住體對(duì)角線與共點(diǎn)的三條棱成等角． (2)充分利用異面直線所成角的定義．　　 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．“點(diǎn)P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為(　　) A．P∈m，m∈α　　　　　　　 B．P∈m，m?α C．P?m，m∈α D．P?m，m?α 解析：選B　點(diǎn)在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”，故選B. 2．空間四邊形兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，所成的

59、角為45，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 解析：選A　如圖，已知空間四邊形ABCD，對(duì)角線AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45角，故S四邊形EFGH＝34sin 45＝6，故選A. 3．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則(　　) A．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) B．直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) C．直線上所有點(diǎn)都在平面外 D．直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) 解析：選D　根據(jù)題意，兩點(diǎn)確定一條直線，那么由于直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面

60、平行，那么可知直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)． 4．如圖，平行六面體ABCD A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有________條． 解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條． 答案：5 5．(2016濟(jì)南一模)在正四棱錐VABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為________． 解析：如圖，設(shè)AC∩BD＝O，連接VO，因?yàn)樗睦忮FVABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四邊形ABCD是正

61、方形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為. 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．空間四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是 (　　) A．空間四邊形　　　　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：選B　順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，又因?yàn)榭臻g四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，所以平行四邊形的兩鄰邊互相垂直，故順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是矩形． 2．(2016浙江金麗衢十二校二聯(lián))已知a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c. ①

62、若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交； ②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直； ③若a∥b，則必有a∥c； ④若a⊥b，a⊥c，則必有α⊥β. 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C?、僦腥鬭與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交，故①正確；②中平面α⊥平面β時(shí)，若b⊥c，則b⊥平面α，此時(shí)不論a，c是否垂直，均有a⊥b，故②錯(cuò)誤；③中當(dāng)a∥b時(shí)，則a∥平面β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，故③正確；④中若b∥c，則a⊥b，a⊥c時(shí)，a與平面β不一定垂直，此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直，故④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是

63、2. 3．(2016福州質(zhì)檢)已知命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若直線a，b不相交，則a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件，故選A. 4．如圖，ABCD A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：選A　連接A1C1，AC，則A1C1∥A

64、C，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1，因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線． 5．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 解析：選A　如圖所示，因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面BDC1.在Rt△CC1O中，過(guò)C作CH⊥C1O于H，連接DH，則∠CDH即為所求．令A(yù)B＝a，顯然CH＝＝＝＝a，

65、 所以sin∠CDH＝＝， 即CD與平面BDC1所成角的正弦值為. 6．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為________對(duì)． 解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)． 答案：3 7．(2016福建六校聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線． 上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號(hào))． 解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)． 答案：① 8．(2015浙江高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是___