2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)（蘇教版選修1-2） 第2章 章末總結(jié) 課時作業(yè)（含答案）

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1、 章末總結(jié) 知識點(diǎn)一　合情推理 歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理． 例1　在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點(diǎn)，問這些直線把平面分成多少部分？ 例2　如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想． - 1 - / 6

2、 知識點(diǎn)二　演繹推理 合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確．從二者在認(rèn)識事物的過程中所發(fā)揮作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的．合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路． 演繹推理的一般模式是“三段論”． 例3　已知函數(shù)f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個單調(diào)區(qū)間上的增減性． 知識點(diǎn)三　綜合法與分析法 綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的

3、證明方法，但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程，分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑． 例4　已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1， 求證：≥8. 知識點(diǎn)四　反證法 反證法是間接證明的一種基本方法，它不去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用正確的推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性．在證明一些否定性命題、唯一性命題或含有“至多”、“至少”等字句的命題時，正面證明較難，可考慮反證法，即“正難則反”． 例5　已知a，

4、b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 例6　如圖所示，已知兩直線l∩m＝O，l?α，m?α，l?β，m?β，α∩β＝a.求證：l與m中至少有一條與β相交． 章末總結(jié) 答案 重點(diǎn)解讀 例1　解　設(shè)n條直線分平面為Sn部分，先實(shí)驗(yàn)觀察特例有如下結(jié)果： n 1 2 3 4 5 6 … Sn 2 4 7 11 16 22 … n與Sn之間的關(guān)系不太明顯，但Sn－Sn－1有如下關(guān)系： n 1 2 3 4 5 6 … Sn 2 4 7

5、 11 16 22 … Sn－Sn－1 2 3 4 5 6 … 觀察上表發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，…)． 這是因?yàn)樵趎－1條直線后添加第n條直線被原(n－1)條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應(yīng)地增加n部分， 所以Sn＝Sn－1＋n，即Sn－Sn－1＝n. 從而S2－S1＝2，S3－S2＝3，S4－S3＝4，…，Sn－Sn－1＝n. 將上面各式相加有Sn－S1＝2＋3＋…＋n， ∴Sn＝S1＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n ＝1＋. 例2　解　 如圖所示，在四面體P—ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分

6、別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小． 我們猜想射影定理類比推理到三維空間， 其形式應(yīng)為： S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. 例3　解　f(x)的單調(diào)區(qū)間為和，證明如下：設(shè)00,0b， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在上是減函數(shù)． 當(dāng)x2>x1≥時， 則x2－x1>0，x1x2>，

7、1)－f(x2)<0，即f(x1)，(1－b)c>，(1－c)a>， 三式相乘得： (1－a)a(1－b)b(1－c)c>， ① 又因?yàn)?