九年級數(shù)學上冊 第3章 圓的基本性質(zhì) 專題分類突破三 圓的輔助線及多解性練習 （新版）浙教版.doc

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專題分類突破三　圓的輔助線及多解性 (見B本31頁) , 類型　　　1　遇弦心距、弧中點及求弓形面積添半徑) 【例1】 xx啟東期中有一石拱橋的橋拱是圓弧形的，如圖所示，正常水位下水面寬AB＝60 m，水面到拱頂距離CD＝18 m，當洪水泛濫時，水面到拱頂距離為3.5 m時需要采取緊急措施．當水面寬MN＝32 m時是否需要采取緊急措施？請說明理由． 例1圖 　例1答圖 解：不需要采取緊急措施． 理由如下： 設(shè)OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18， ∴R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34. 連結(jié)OM，設(shè)DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16， ∴342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合題意，舍去)； ∴DE＝4. ∵4＞3.5，∴不需采取緊急措施． 變式　如圖所示，在扇形AOB中，∠AOB＝90，＝，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2時，陰影部分的面積為(　A　) 變式圖 A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4 , 類型　　　2　利用圓的軸對稱性添輔助線) 【例2】 如圖所示，在半徑為6 cm的⊙O中，C，D為直徑AB的三等分點，點E，F(xiàn)分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE＝∠BDF＝60，連結(jié)AE，BF，則圖中兩個陰影部分的面積為__6__cm2. 例2圖 變式　如圖所示，AB是⊙O的直徑，弧AC的度數(shù)是60，的度數(shù)是20，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，則∠FDG的度數(shù)為__50__． 變式圖 , 類型　　　3　利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性補形) 【例3】 如圖所示，C為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑AB長為2 cm，∠BOC＝60，∠BCO＝90，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為____cm2. 變式圖 , 類型　　　4　圓的對稱性引起的多解性) 【例4】 在⊙O中，弦AB和弦AC構(gòu)成的∠BAC＝48，M，N分別是AB和AC的中點，則∠MON的度數(shù)為__132或48__． 變式1　一個點到圓的最小距離為6 cm，最大距離為9 cm，則該圓的半徑是(　C　) A．1.5 cm B．7.5 cm C．1.5 cm或7.5 cm D．3 cm或15 cm 變式2　點P是半徑為5的⊙O上的一點，且OP＝3，在過P點的所有⊙O的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為__4__．  1．⊙O是△ABC的外接圓，若∠BOC＝80，則∠BAC的度數(shù)為__140或40__． 2．如圖所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20，則∠ABO的度數(shù)為__50__． 第2題圖 　　　　　第3題圖 3．如圖所示，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一動點，CM＋DM的最小值是__8__cm. 4．xx湖州中考如圖所示，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑作半圓O，交BC于點D.若∠BAC＝40，則的度數(shù)是__140__． 第4題圖 　　　　　第5題圖 5．xx朝陽中考如圖所示，在正方形ABCD中，O為對角線交點，將扇形AOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到扇形EOF，則在旋轉(zhuǎn)過程中圖中陰影部分的面積(　A　) A．不變　　　　 B．由大變小 C．由小變大 D．先由小變大，后由大變小 第6題圖 6．xx河南中考如圖所示，將半徑為2，圓心角為120的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60，點O，B的對應(yīng)點分別為O′，B′，連結(jié)BB′，則圖中陰影部分的面積是(　C　) A.　　　　　　　 B．2－ C．2－ D．4－ 7．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C，P是弧AB上兩點，AB＝13，AC＝5. (1)如圖(a)，若點P是弧AB的中點，求PA的長； (2)如圖(b)，若點P是弧BC的中點，求PA的長． 　 　圖(a)　　　　　　　　圖(b) 第7題圖 解：(1)如圖(a)所示，連結(jié)PB. ∵AB是⊙O的直徑且P是的中點，∴∠PAB＝∠PBA＝45，∠APB＝90. 又∵在等腰直角三角形△APB中有AB＝13， ∴PA＝＝＝. 　 　圖(a)　　　　　　　　　圖(b) 第7題答圖 (2)如圖(b)所示，連結(jié)BC，OP相交于點M，作PN⊥AB于點N. ∵P點為的中點，∴OP⊥BC，∠OMB＝90， 又∵AB為直徑，∴∠ACB＝90， ∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB. 又∵∠ACB＝∠ONP＝90， ∴△ACB∽△ONP，∴＝， 又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入，得 ON＝， ∴AN＝OA＋ON＝9， ∴在Rt△OPN中，NP2＝OP2－ON2＝36. 在Rt△ANP中，PA＝＝＝3， ∴PA＝3. 8．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，交AC于點E. (1)如圖(a)，當∠A為銳角時，判斷∠BAC與∠CBE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)若圖(a)中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)，當∠BAC為鈍角時，如圖(b)，CA的延長線與圓O相交于點E.請問：∠BAC與∠CBE的關(guān)系是否與(1)中你得出的關(guān)系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由． 圖(a) 　　　圖(b) 第8題圖 解：(1)∠BAC＝2∠CBE. 理由如下：連結(jié)AD，∵AB為直徑，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE. (2)結(jié)果仍然成立． 理由如下：連結(jié)AD，∵AB為直徑， ∴∠E＝90， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵四邊形ADBE內(nèi)接于⊙O， ∴∠CAD＝∠CBE＝∠BAD， ∴∠BAC＝2∠CBE.