2019高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 3.2.1 復數(shù)的加法與減法學案 新人教B版選修2-2.doc

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3.2.1　復數(shù)的加法與減法 1．掌握復數(shù)代數(shù)形式的加減法運算法則，并能運用復數(shù)加減法運算法則進行熟練計算． 2．理解復數(shù)加減法的幾何意義． 1．復數(shù)的加法與減法的定義 (1)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定義 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋______i. (2)已知復數(shù)a＋bi，根據(jù)加法的定義，存在唯一的復數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0. －a－bi叫做a＋bi的______．－a－bi＝－(a＋bi)．在復平面內(nèi)，互為相反數(shù)的兩個復數(shù)關于原點對稱．根據(jù)相反數(shù)的概念，我們規(guī)定兩個復數(shù)的減法法則如下： (a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－c－di) ＝(a－c)＋(b－d)i， 即(a＋bi)－(c＋di)＝______＋______i. (3)兩個復數(shù)相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別________． (1)兩個復數(shù)的和(差)仍為復數(shù)． (2)復數(shù)的加法法則可推廣到多個復數(shù)相加的情形． (3)復數(shù)的加法運算滿足交換律、結合律． 【做一做1－1】若z1＝2＋i，z2＝3i，z3＝－1－i，則z1＋z2－z3＝________. 【做一做1－2】已知z1＝4－2i，且z1＋z2＝3＋3i，則z2＝________. 2．加減運算的幾何意義 已知復數(shù)z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，x1，x2，y1，y2∈R，其對應的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)(如圖)，且和不共線．以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作OZ1ZZ2，根據(jù)向量的加法法則，對角線OZ所表示的向量＝＋，而＋所對應的坐標是(x1＋x2，y1＋y2)，這正是兩個復數(shù)之和z1＋z2所對應的有序實數(shù)對．因此復數(shù)加法的幾何意義就是______________________．類似地，向量對應兩個復數(shù)的差z1－z2，作＝，則點Z′也對應復數(shù)z1－z2. 兩個復數(shù)的差z1－z2(即－)與連兩個終點Z1，Z2，且指向被減數(shù)的向量對應，這與平面向量的幾何解釋是一致的． 【做一做2－1】|(3＋2i)－(1＋i)|表示(　　)． A．點(3,2)與點(1,1)之間的距離 B．點(3,2)與點(－1，－1)之間的距離 C．點(3,2)到原點的距離 D．以上都不對 【做一做2－2】若z1，z2為非零復數(shù)，且滿足|z1＋z2|＝|z1－z2|，則以點Z1，O，Z2為相鄰頂點的平行四邊形為________． 怎樣理解復數(shù)減法的向量運算？ 剖析：復數(shù)的減法也可用向量來進行運算．同樣可實施平行四邊形法則和三角形法則． 設與復數(shù)a+bi對應，與復數(shù)c+di對應，如圖所示，以為一條對角線，為一邊作平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊所表示的向量就與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應． 因為與平行且相等，所以向量也與這個差對應，實際上，兩個復數(shù)的差z－z1(即－)與連兩個復數(shù)所對應的向量終點并指向被減數(shù)的向量對應．即“首同尾連向被減”，這就是復數(shù)減法的幾何意義． 題型一 復數(shù)的加減運算 【例題1】計算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 分析：分清實部與虛部，按復數(shù)加減法的運算法則進行計算． 反思：(1)類比實數(shù)運算，若有括號，先計算括號內(nèi)的，若沒有括號，可從左到右依次計算． (2)算式中出現(xiàn)字母，首先要確定其是否為實數(shù)，再確定復數(shù)的實部和虛部，最后把實部、虛部分別相加減． 題型二 復數(shù)加減法的幾何意義 【例題2】已知平行四邊形的三個頂點分別對應復數(shù)2i，4－4i，2＋6i.求第四個頂點對應的復數(shù)． 分析：在平行四邊形中，已知的三個頂點順序未定，故第四個頂點有三種情況．據(jù)復數(shù)加減法的幾何意義求之． 反思：理解復數(shù)加減法的幾何意義是求解的關鍵. 題型三 復數(shù)知識的綜合應用 【例題3】設f(z)＝|z|＋z－2i，z1＝3－i，z2＝－2＋4i，z3＝＋z2，求f(z3)． 分析：由題意，求出z3代入f(z)即可． 題型四 易錯辨析 易錯點：在進行復數(shù)代數(shù)形式運算時忘記加括號，從而導致運算錯誤． 【例題4】已知z1＝1＋2i，z2＝4－3i，計算|z1－z2|. 錯解：由z1＝1＋2i，z2＝4－3i，得z1－z2＝1＋2i－4－3i＝－3－i，∴|z1－z2|＝|－3－i|＝＝. 1已知復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復數(shù)z＝z2－z1在復平面內(nèi)所對應的點位于(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2在復平面上，平行四邊形ABCD的頂點A，B，C所對應的復數(shù)分別為－3－2i，－4＋5i,2＋i，則向量所對應的復數(shù)是(　　)． A．7－11i B．3－6i C．5－9i D．－5－3i 3設f(z)＝，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于(　　)． A．1－3i B．－2＋11i C．－2＋i D．5－5i 4已知復數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z等于________． 5已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，則a＋b＝________. 答案： 基礎知識梳理 1．(1)(a＋c)　(b＋d)　(2)相反數(shù)　(a－c)　(b－d)　(3)相加(減) 【做一做1－1】3＋5i　z1＋z2－z3＝(2＋i＋3i)－(－1－i)＝(2＋4i)＋(1＋i)＝3＋5i. 【做一做1－2】－1＋5i　∵(4－2i)＋z2＝3＋3i，∴z2＝(3＋3i)－(4－2i)＝－1＋5i. 2．向量加法的平行四邊形法則 【做一做2－1】A　|z1－z2|的幾何意義是z1，z2兩點間的距離． 【做一做2－2】矩形　∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴平行四邊形的對角線長度相等，∴平行四邊形為矩形． 典型例題領悟 【例題1】解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i) ＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i. 【例題2】解：設平行四邊形中已知的三個頂點分別為Z1，Z2，Z3，它們對應的復數(shù)分別是z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，設第四個頂點所對應的復數(shù)為z4，則 (1)當這個平行四邊形是以和為一組鄰邊時，有＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)． ∴z4＝(z2＋z3)－z1＝6. (2)當這個平行四邊形是以和為一組鄰邊時，有＝＋， ∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)． ∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i. (3)當這個平行四邊形是以和為一組鄰邊時，有＝＋， ∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)． ∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i. 綜上所述，第四個頂點對應的復數(shù)為6或－2＋12i或2－8i. 【例題3】解：∵z1＝3－i，z2＝－2＋4i， ∴z3＝＋z2＝＋(－2＋4i) ＝3＋i－2＋4i ＝(3－2)＋(1＋4)i ＝1＋5i. ∵f(z)＝|z|＋z－2i， ∴f(z3)＝|1＋5i|＋1＋5i－2i ＝＋1＋3i ＝1＋＋3i. 【例題4】錯因分析：在運算z1－z2時忘記加括號，從而導致結果錯誤． 正解：由z1＝1＋2i，z2＝4－3i，得z1－z2＝(1＋2i)－(4－3i)＝1＋2i－4＋3i＝－3＋5i， ∴|z1－z2|＝＝. 隨堂練習鞏固 1．B　∵z＝z2－z1＝－1＋i， ∴Z(－1,1)． 2．A?。剑?－)＋(－)＝(－3，－2)－(－4,5)＋(2,1)－(－4,5)＝(7，－11)． 3．D　∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i， ∴f(z1－z2)＝5－5i. 4．6－2i　∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－(－3＋i)＝3－i＋3－i＝6－2i. 5．3　∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝a＋3b＋(a－b－1)i＝4， ∴ ∴ 故a＋b＝3.