2019屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 專題四 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列限時訓練 理.doc

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第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 (限時:45分鐘) 【選題明細表】 知識點、方法 題號 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算 1,2,3,4,5,7,8 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 9,10 等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明 11,12 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合 6,11,12 一、選擇題 1.(2018吉林省百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若2a11=a9+7,則S25等于(　D　) (A)1452 (B)145 (C)1752 (D)175 解析:由題意可得2a11=a9+a13,所以a13=7,所以S25=a1+a25225=2a13225=25a13=257=175.選D. 2.(2018天津南開中學模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,則Snan等于(　D　) (A)4n-1 (B)4n-1 (C)2n-1 (D)2n-1 解析:設等比數(shù)列{an}的公比為q, 所以q=a2+a4a1+a3=12, 所以a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+14)=52, 解得a1=2,an=2(12)n-1=(12)n-2, Sn=2(1-12n)1-12=4(1-12n), 所以Snan=4(1-12n)(12)n-2=2n-1.故選D. 3.(2018淄博二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則3S3S6等于(　A　) (A)94或32 (B)1312或3 (C)94 (D)1312或32 解析:設等比數(shù)列{an}的公比為q, 由題意得4a5=a2+3a8, 即4a1q4=a1q+3a1q7, 可得3q6-4q3+1=0, 解得q3=1或q3=13, 所以3S3S6=32或3S3S6=94. 故選A. 4.(2018遼寧大連八中模擬)若記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,S3=6,則S4等于(　C　) (A)10或8 (B)-10 (C)-10或8 (D)-10或-8 解析:由等比數(shù)列求和公式,當q≠1時得 S3=a1(1-q3)1-q=2(1-q)(1+q+q2)1-q=6, 所以q2+q-2=0, 所以q=-2或q=1(舍去), 當q=-2時,S4=2[1-(-2)4]1-(-2)=-10, 當q=1時,S4=4a1=8.故選C. 5.(2018云南玉溪高三適應性訓練)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996斤棉花,分別贈送給8個子女做旅費,從第一個開始,以后每人依次多17斤,直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數(shù)為(　B　) (A)65斤 (B)184斤 (C)183斤 (D)176斤 解析:由題意可得,8個孩子所得的棉花構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列,且前8項和為996, 設首項為a1,結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式有 S8=8a1+872d=8a1+2817=996. 解得a1=65,則a8=a1+7d=65+717=184(斤). 即第八個孩子分得斤數(shù)為184斤.故選B. 6.(2018安徽江南十校二模)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,OA→=a2OB→+a2 017OC→且AB→=dBC→,則S2 018等于(　B　) (A)0 (B)1 009 (C)2 017 (D)2 018 解析:因為AB→=dBC→, 所以OB→-OA→=d(OC→-OB→), 即OA→=(1+d)OB→-dOC→, 又OA→=a2OB→+a2 017OC→, 所以a2=1+d,a2 017=-d, 所以a1=1,d=-12 017, 所以S2 018=2 018(a1+a2 018)2=1 009(1+1+2 017d)=1 009.故選B. 7.(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,…,10),且a10, 所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0, 因為2n+1>2n, 所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|, 所以a2n+1-a2n>0(n≥2), 又a3-a1=5>0, 所以a2n+1-a2n>0(n≥1)成立, 由{a2n}是遞減數(shù)列, 所以a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n≥1), 所以a2n+1-a2n=2n+1,a2n+2-a2n+1=-(2n+2), 所以a2n+2-a2n=-1, 所以{a2n}是首項為3,公差為-1的等差數(shù)列. 故a2 018=3+(1 009-1)(-1)=-1 005. 答案:-1 005 三、解答題 11.(2018安徽馬鞍山一檢)已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,且(an+1)an+1=an,n∈N*. (1)求證:數(shù)列1an是等差數(shù)列; (2)設bn=anan+1n+1+n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. (1)證明:an+1=anan+1?1an+1=an+1an=1an+1?1an+1-1an=1, 故數(shù)列1an是以1a1=1為首項,以1為公差的等差數(shù)列. (2)解:由(1)可知,1an=n,an=1n, bn=anan+1n+1+n=1n(n+1)n+1+n=n+1-nn(n+1) =1n-1n+1, Tn=b1+b2+b3+…+bn =(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=1-n+1n+1. 12.(2018青海西寧二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an=2an-1+2n(n≥2). (1)證明:數(shù)列{an2n}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2ann,記數(shù)列{1bnbn+1}的前n項和為Tn,設角B是△ABC的內(nèi)角,若2sin B>Tn對于任意的n∈N*恒成立,求角B的取值范圍. 解:(1)因為an=2an-1+2n,兩邊同時除以2n,可得an2n=an-12n-1+1, 所以an2n-an-12n-1=1, 又a121=1, 所以數(shù)列{an2n}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列; 所以an2n=1+(n-1)1=n, 所以an=n2n. (2)由(1)知,an=n2n,則bn=log2ann=n, 所以1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1, 所以Tn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1<1, 又因為2sin B>Tn對于任意n∈N*恒成立, 所以2sin B≥1, 即sin B≥12, 又B∈(0,π), 所以π6≤B≤5π6, 所以B∈[π6,5π6].