2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題21 三角函數(shù)的圖象和性質.doc

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專題21 三角函數(shù)的圖象和性質 【熱點聚焦與擴展】 近幾年高考在對三角恒等變換考查的同時，對三角函數(shù)圖象與性質的考查力度有所加強，往往將三角恒等變換與圖象和性質結合考查.其中三角函數(shù)的定義域值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象，難度仍然以中低檔為主，重在對基礎知識的考查，淡化特殊技巧，強調通解通法，其中對函數(shù) 的圖象要求會用五點作圖法作出，并理解它的性質： （1）函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個周期； （2）函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個周期；.zk5u./（3）函數(shù)取最值的點與相鄰的與x軸的交點間的距離為其函數(shù)的個周期. 1、正弦函數(shù)的性質 （1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點）： （5）對稱中心（零點）：，其中是對稱中心，故也是奇函數(shù) （6）單調增區(qū)間： 單調減區(qū)間： 2、余弦函數(shù)的性質 （1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點）：其中是對稱軸，故也是偶函數(shù) （5）對稱中心（零點）： （6）單調增區(qū)間： ,單調減區(qū)間： 3、正切函數(shù)的性質 （1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱中心： （5）零點： （6）單調增區(qū)間： 注：正切函數(shù)的對稱中心由兩部分構成，一部分是零點，一部分是定義域取不到的的值 4、的性質：與正弦函數(shù)相比，其圖像可以看做是由圖像變換得到（軸上方圖像不變，下方圖像沿軸向上翻折），其性質可根據(jù)圖像得到： （1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸： （5）零點： （6）單調增區(qū)間：,單調減區(qū)間： 5、的性質：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標變換所得，通常此類函數(shù)的性質要通過計算所得。所涉及的性質及計算方法如下： （1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點），對稱中心（零點），單調區(qū)間需通過換元計算所求。通常設，其中，則函數(shù)變?yōu)椋谇笠陨闲再|時，先利用正弦函數(shù)性質與圖像寫出所滿足的條件，然后將還原為再解出的值（或范圍）即可 注：1、余弦函數(shù)也可看做的形式，即，所以其性質可通過計算得到。 2、對于某些解析式的性質（如對稱軸，單調區(qū)間等）可根據(jù)解析式的特點先變形成為，再求其性質 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標II，文3】函數(shù)的最小正周期為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例2.【2017課標3，理6】設函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結論錯誤的是 A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱 C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調遞減 【答案】D 【解析】 例3. 已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0的部分圖象如圖所示，下面結論正確的個數(shù)是( ) ①函數(shù)fx的最小正周期是2π； ②函數(shù)fx在區(qū)間π12,π6上是增函數(shù)； ③函數(shù)fx的圖象關于直線x=π12對稱； ④函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)gx=sin2x的圖象向左平移π3個單位長度得到 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象知， T2=π3?(?π6)=π2,∴T=2πω=π，ω=2； 根據(jù)五點法畫圖知,2(?π6)+φ=0,解得φ=π3； ∴f(x)=sin(2x+π3)； 對于①,函數(shù)f(x)的最小正周期是T=π，①錯誤； 對于②,x∈[π12,π6]時,2x+π3∈[π2,2π3]， f(x)在[π12,π6]上是減函數(shù)，②錯誤； 對于③,x=π12時,2x+π3=π2， ∴函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π12對稱，③正確； 對于④,由f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)知， 函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移π6個單位長度得到，④錯誤； 綜上，正確的命題是③. 故選：C. 例4.【2017天津，文理】設函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則 （A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】 例5.【2017課標II，理14】函數(shù)（）的最大值是 . 【答案】1 【解析】 【名師點睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析. 例6. 已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求證:當x∈-π4,π4時,f(x)≥-12. 【答案】（1）；（2）見解析. (2)證明因為-π4≤x≤π4, 所以-π6≤2x+π3≤5π6.————-10分 所以sin2x+π3≥sin-π6=-12. 所以當x∈-π4,π4時,f(x)≥-12.________14分 例7. 設函數(shù)． （）求的最小正周期． （）當時，求函數(shù)的最大值和最小值． 【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是. 【解析】試題分析：（1）由二倍角公式將式子化簡，再由周期的公式得到結果；（2）∵，∴, ，進而得到最值. 解析： ∴， ∴， 即， ∴當時， 的最大值是，最小值是． 例8.【2018屆浙江省部分市學校高三上9+1聯(lián)考】設函數(shù). （1）求的單調遞增區(qū)間； （2）若角滿足， ， 的面積為，求的值. 【答案】(1) ， ；(2) . 【解析】試題分析：（1）函數(shù)解析式利用三角恒等變換化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調性即可求出的單調遞增區(qū)間；（2）由及的解析式求出的值，再利用三角形面積公式及，求出，然后根據(jù)余弦定理即可求出的值. 試題解析：（1） ， 令， ， 得， . 又，化簡得，則 ∴. 例9.【2018屆山東省棗莊市第三中學高三一調模擬】已知向量，函數(shù). （1）求的對稱中心； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應的值. 【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為. 【解析】試題分析：（1）由，令即可得對稱中心； （2）由，得，進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得最值. （2）由（1）得， 因為，所以， 所以時，即， 的最大值為， 當時，即時， 的最小值為. 點睛：本題考查的知識點比較多，主要考查二倍角公式、兩角差的正弦公式及三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.求與三角函數(shù)有關的最值常用方法有以下幾種：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值；③型，可化為求最值 .本題是利用方法③的思路解答的. 例10．【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值. 【答案】（1）（2）時，fx取得最大值，為3； 時，fx取得最小值，為. 【名師點睛】(1)向量平行：，, (2)向量垂直：， (3)向量加減乘： 【精選精練】 1．函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的一個表達式為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 點睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關鍵，屬于中檔題． 為振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即，通常通過圖象我們可得和， 稱為初象，通常解出， 之后，通過特殊點代入可得，用到最多的是最高點或最低點. 2．【2018屆河北省衡水金卷一?！恳阎瘮?shù)fx=-2cosωxω>0的圖象向左平移φ0<φ<π2個單位，所得的部分函數(shù)圖象如圖所示，則φ的值為（ ） A. π6 B. 5π6 C. π12 D. 5π12 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)圖象，利用五點法作圖的特點確定ω，φ即可. 詳解：由題知，T=211π12-5π12=π， ∴ω=2πT=2，∴fx=-2cos2x， ∴fx+φ=-2cos2x+2φ， 故選：C. 點睛：已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖象求解析式 (1)|A|=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2. (2)由函數(shù)的周期T求ω,T=2πω. (3)利用“五點法”中相對應的特殊點求φ，一般用最高點或最低點求. 3．【2018屆廣東省佛山市高三檢測（二）】已知函數(shù)fx=sinωx-π4(ω>0)的圖象在區(qū)間1,2上不單調,則ω的取值范圍為( ) A. 3π8,+∞ B. 3π8,3π4∪7π8,+∞ C. 3π8,7π8∪7π4,+∞ D. 3π4,+∞ 【答案】B 【解析】因為x∈(1,2)時ωx-π4∈(ω-π4,2ω-π4)， 因此ω的取值范圍為(3π8,3π4)∪(7π8,7π4)∪(11π8,11π4)∪?∪(4kπ+3π8,4kπ+3π4)∪? =(3π8,3π4)∪(7π8,+∞)，選B. 【點睛】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的性質 (1)ymax=A+B，ymin=A-B. (2)周期T=2πω. (3)由 ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求對稱軸 (4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)求增區(qū)間; 由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)求減區(qū)間 4．【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點中學高考模擬（三）】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2) f(x1)=2,f(x2)=0，若|x1-x2|的最小值為12，且f(12)=1，則f(x)的單調遞增區(qū)間為（ ） A. -16+2k,56+2k,k∈Z B. -56+2k,16+2k,k∈Z. C. -56+2kπ,16+2kπ,k∈Z D. 16+2k,76+2k,k∈Z 【答案】B 【解析】分析：易知|x1-x2|的最小值為T4，從而得ω，再將f(12)=1代入求解的φ=π3，令-π2+2kπ≤πx+π3≤π2+2kπ,k∈Z，即可得解. 詳解：由f(x1)=2,f(x2)=0，且|x1-x2|的最小值為12， 可知：T4=12，∴T=2?ω=π， 又f(12)=1，則φ=π3+2kπ,k∈Z， 點睛：研究三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的性質，最小正周期為2π|ω|，最大值為|A|. 求對稱軸只需令ωx+φ=π2+2kπ,k∈Z，求解即可， 求對稱中心只需令ωx+φ=kπ,k∈Z，單調性均為利用整體換元思想求解. 5．【2018屆內蒙古鄂倫春自治旗高三下學期二?！亢瘮?shù)fx=1-3sin2x+π6的值域為__________． 【答案】-2,4 【解析】∵-1≤sin(2x+π6)≤1 ∴-3≤-3sin(2x+π6)≤3 ∴-2≤1-3sin(2x+π6)≤4 ∴函數(shù)fx=1-3sin2x+π6的值域為-2,4. 6．【2018屆四川省雅安市高三下學期三診】函數(shù)f(x)=3sin(2x+π3)的圖象在區(qū)間(0,π2)上的對稱軸方程為__________． 【答案】x=π12 7．【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】已知函數(shù)fx=sinx+7π4+cos(x-3π4) (Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函數(shù)y=f(-x)的單調減區(qū)間 【答案】（Ⅰ）最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）(54π+2kπ，94π+2kπ)(k∈z) 【解析】試題分析：1利用兩角和與差的余弦公式，二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34π)，再求單調區(qū)間 解析：（Ⅰ）因為sin(x＋74π)＝cos(x－34π）， 所以f(x)＝2sin(x＋74π）=-2sin(x+34π). 所以函f(x)的最小正周期是2π，最大值是2． （Ⅱ）因為f(-x)=2sin(x-34π)， 所以單調遞減區(qū)間為(54π+2kπ，94π+2kπ)(k∈z) 8．【浙江省臺州中學2018屆第三次統(tǒng)練】已知向量, ，記． (1) 若 ，求的值； (2) 在銳角 中，角 的對邊分別是 且滿足 ，求 的取值范圍． 【答案】（1）；(2) . 點評：1.本題考查解三角形，利用正弦定理進行邊角互化，繼而求出的值；高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是 “變角”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據(jù)就是三角公式. 9.【2018屆四川省雅安市高三下學期三診】已知函數(shù)fx=2cos2x+sin7π6-2x-1 x∈R. （1）求函數(shù)fx的最小正周期及單調遞增區(qū)間； （2）在ΔABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知fA=12，若b+c=2a，且AB?AC=6，求a的值. 【答案】（1）最小正周期：T=π，單調遞增區(qū)間為：[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z)；（2）a=23. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角恒等變換可得f(x)=sin(2x+π6)，從而可得函數(shù)fx的最小正周期，再根據(jù)2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)可解得單調增區(qū)間；（2）由fA=12，可得A的值，再根據(jù)b+c=2a及AB?AC=6，即可解得bc，結合余弦定理，即可求得a的值. 試題解析：（1）f(x)=sin(7π6-2x)-2sin2x+1=-12cos2x+32sin2x+cos2x=12cos2x+32sin2x =sin(2x+π6). ∴最小正周期：T=2π2=π， ∴A=π3 又∵2a=b+c， ∵AB?AC=bccosA=12bc=6 ∴bc=12， ∴cosA=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a224-1=a28-1 ∴a=23. 10．【2018屆北京市京源學校高三十月月考】 已知函數(shù), . （Ⅰ）求函數(shù)的最大正周期與單調增區(qū)間值; （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值. 【答案】（Ⅰ）最小正周期是: ,；（Ⅱ）最小值為0，最大值為1. 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用降冪公式及兩角和的正弦公式可將函數(shù)化為 ，故而可得周期，解不等式可得單調增區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)的范圍，計算出的范圍，結合正弦函數(shù)的性質可得其最值. 試題解析：（Ⅰ） 所以,即, 所以, 當且僅當時, 取最小值, , 當且僅當時,即時取最大值, . 11.【2017浙江，18】已知函數(shù)f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）． （Ⅰ）求的值． （Ⅱ）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期為，單調遞增區(qū)間為． 【解析】 （Ⅱ）由與得 【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質，屬于基礎題，強調基礎的重要性，是高考中的常考知識點；對于三角函數(shù)解答題中，當涉及到周期，單調性，單調區(qū)間以及最值等都屬于三角函數(shù)的性質，首先都應把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質求解． 12．【2018屆廣西陸川縣中學高三12月月考】已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)在的單調遞減區(qū)間； （Ⅱ）在銳角中，內角， ， ，的對邊分別為， ， ，已知， ， ，求的面積. 【答案】（1）和；（2）. 試題解析： （Ⅰ）由已知得 . ， 又 函數(shù)在的單調遞減區(qū)間為和. （Ⅱ）由（1）知 銳角， 又 ，即. 又 .