陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充 復(fù)數(shù)的概念要點解讀素材 北師大版選修

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1、 復(fù)數(shù)的概念要點解讀 一、復(fù)數(shù)的基本概念： 為了解決有解這一問題，引進了新數(shù)i； 1）虛數(shù)單位：i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定： ①它的平方等于-1，即； ②和無理數(shù)相似，虛數(shù)單位i可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有的加，乘運算律仍然成立。 規(guī)定：，這時任何一個實數(shù)a都可以寫成的形式。 2）復(fù)數(shù)：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（） a和b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部和虛部，分別用Rez（Real）和Imz（Imaginary）表示。 全體復(fù)數(shù)所成的集合稱為復(fù)數(shù)集一般用字母C表示（Complex numbers）。 當b=0時，就是實數(shù)；當b≠0時叫虛數(shù)；當a=0，b≠0時

2、，叫做純虛數(shù)。 引入新數(shù)i（虛數(shù)單位）后，我們將數(shù)系由實數(shù)集擴充到了復(fù)數(shù)集，從而完成了數(shù)系的最后一次擴展。 二、幾個基本要點 1、正確認識復(fù)數(shù)的實部與虛部 對于復(fù)數(shù)，實部是，虛部是．注意在說復(fù)數(shù)時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是,復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)． 說明：對于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數(shù)這一概念，這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助． 2、關(guān)于復(fù)數(shù)能否比較大小分析 教材最后指出：“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意： ①根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等地定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么．兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而

3、不能比較它們的大小． ②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)間的一個關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”： 2 / 4 (i)對于任意兩個實數(shù)a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立； (ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c； (iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c； (iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解) 3、在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合對應(yīng)時注意事項 ①任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定．這就是說，復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對．一些書上就是把實數(shù)對

4、()叫做復(fù)數(shù)的． ②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點Z()表示．復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是．由于=0＋1，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(0，1)表示時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù)時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位，或者就是縱軸的單位長度． ③當時，對任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點()( )都是表示純虛數(shù)．但當時，是實數(shù)．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸． 由此可見，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、

5、縱坐標軸的公共點． ④復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學生注意． 4、正確地對復(fù)數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系 分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一．根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下： 注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限： ①設(shè)，則為實數(shù) ②為虛數(shù) ③且． ④為純虛數(shù)且 5、關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念 設(shè)，則，即與的實部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認為與或是共軛復(fù)數(shù)）． 教師可以提一下當時的特殊情況，即實軸上的點關(guān)于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復(fù)數(shù)．當時，與互為共軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！