中考數(shù)學專題復習過關集訓 第四單元 三角形 第3課時 等腰三角形與等邊三角形練習 新人教版.doc

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第3課時　等腰三角形與等邊三角形 基礎達標訓練 1. 如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，則CD等于(　　) A. 3 cm　 　B. 4 cm　　 C. 1.5 cm　 　D. 2 cm 第1題圖 2. (xx包頭)若等腰三角形的周長為10 cm，其中一邊長為2 cm，則該等腰三角形的底邊長為(　　) A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 3. (xx南充)如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標為(　　) A. (1，1) B. (，1) C. (，) D. (1，) 　　 第3題圖 4. (xx海南)已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(　　) A. 3條 B. 4條 C. 5條 D. 6條 5. 如圖，在△ABC中，D為BC的中點，AD⊥BC，E為AD上一點，∠ABC＝60，∠ECD＝40，則∠ABE＝(　　) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 第5題圖 6. (xx濱州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為(　　) A. 40 B. 36 C. 30 D. 25 第6題圖 7. (xx麗水)等腰三角形的一個內(nèi)角為100，則頂角的度數(shù)是________． 8. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在CA延長線上，EP⊥BC于點P，交AB于點F，若AF＝2，BF＝3，則CE的長度為________． 第8題圖 9. (xx淄博)在邊長為4的等邊三角形ABC中，D為BC邊上的任意一點，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE＋DF＝________． 10. (xx玉林模擬)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AB＝4，EF＝2，∠B＝60，則CD的長為________． 第10題圖 能力提升拓展 1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內(nèi)的兩點，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，則BC的長為(　　) A. 4 cm　　 B. 6 cm　 　C. 8 cm　 　D. 12 cm 第1題圖 2. (xx荊門)已知3是關于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為(　　) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 3. (xx營口)如圖，在△ABC中，AB＝AC，E、F分別是BC、AC的中點，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45，則下列結論不正確的是(　　) A. ∠ECD＝112.5 B. DE平分∠FDC C. ∠DEC＝30 D. AB＝CD 第3題圖 4. 如圖，在△ABC中，∠A＝36，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有(　　) A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 第4題圖 5. (xx綏化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD＝BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為________． 6. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED.設AB＝4，∠DBE＝30，則△DEM的面積為________． 第6題圖 答案 基礎達標訓練 1. A　【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠DCO＝∠AOC，∴CD＝OD＝3 cm. 2. A　【解析】若2 cm為腰長，則底邊長為10－2－2＝6 cm，∵2＋2<6，∴不符合三角形的三邊關系，故舍去；若2 cm為底邊長，則腰長為(10－2)2＝4 cm，此時三角形的三邊長分別為2 cm、4 cm、4 cm，符合三角形的三邊關系，故選A. 3. D　【解析】如解圖，過點B作BC⊥x軸于點C，∵△OAB是等邊三角形，且邊長為2，∴OC＝1，OB＝2，在Rt△OBC中，由勾股定理得BC＝＝＝，故點B的坐標為(1，)． 第3題解圖 4. B　【解析】如解圖，當使CD＝AC，BG＝AB，AF＝CF，AE＝BE時，都能使得分割后的三角形中有一個為等腰三角形，即這樣的直線有AD，AE，AF，AG共4條． 第4題解圖 5. C　【解析】∵D為BC的中點，AD⊥BC，∴AD為BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD＝40，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBD＝60－40＝20. 6. B　【解析】設∠C＝x，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x，∴∠ADB＝2x，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x，∴∠B＝180－4x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，即180－4x＝x，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36. 7. 100　【解析】由三角形內(nèi)角和定理可知，若等腰三角形的一個內(nèi)角為100，則這個內(nèi)角為頂角，此時兩底角為40，即該三角形頂角的度數(shù)是100. 8. 7　【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C＋∠E＝90，∠B＋∠BFP＝90，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AE＝AF＝2，又∵AF＝2，BF＝3，∴AC＝AB＝5，∴CE＝AC＋AE＝7. 9. 2　【解析】如解圖，過點A作AG⊥BC于點G，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60，AB＝AC＝BC，在Rt△ABG中，AG＝AB＝2，連接AD，則S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即ABDE＋ACDF＝BCAG，∵AB＝AC＝BC，∴DE＋DF＝AG＝2. 第9題解圖 10. 2　【解析】如解圖①，連接AC，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴EF為△ABC的中位線，∴AC＝2EF＝4，∴AC＝AB，∵∠B＝60，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝60，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴∠DAB＝∠D＝90，∴∠DAC＝30，∴CD＝AC＝2. 圖① 　 圖② 第10題解圖 一題多解：如解圖②，連接CE，∵點E是AB的中點，AB＝4，∴AE＝EB＝2，∵EF＝2，∠B＝60，∴△BEF是等邊三角形，∴FB＝EF＝2，又∵點F是BC的中點，∴BC＝4，∴在△BEC中，EF＝BC，∴∠BEC＝90，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90，∵∠AEC＝90，∴四邊形AECD是矩形，∴CD＝AE＝2. 能力提升拓展 1. C　【解析】如解圖，延長ED交BC于點M，延長AD交BC于點N，過D作DF∥BC交BE于點F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60，∴△BEM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM為等邊三角形，∴∠EMB＝60，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90，∴∠NDM＝30，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm. 第1題解圖 2. D　【解析】∵3是關于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一個實數(shù)根，∴9－3(m＋1)＋2m＝0，解得m＝6，∴原方程為x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，若等腰△ABC的腰長為3，底邊長為4，3、3、4可構成三角形，則其周長為3＋3＋4＝10；若等腰△ABC的腰長為4，底邊長為3，3、4、4可構成三角形，則周長為4＋4＋3＝11.綜上所述，△ABC的周長為10或11. 3. C　【解析】∵AB＝AC，∠CAB＝45，∴∠B＝∠ACB＝67.5，∵Rt△ADC中，∠CAD＝45，∠ADC＝90，∴∠ACD＝45，AD＝DC，∴∠ECD＝∠ACB＋∠ACD＝112.5，故A正確，不符合題意；∵E、F分別是BC、AC的中點，∴FE＝AB，F(xiàn)E∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45，∠FEC＝∠B＝67.5，∵F是AC的中點，∠ADC＝90，AD＝DC，∴FD＝AC，DF⊥AC，∠FDC＝45，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝(180－∠EFD)，∵∠EFD＝∠EFC＋∠DFC＝135，∴∠FDE＝∠FED＝(180－135)＝22.5，∴∠FDE＝∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正確，不符合題意；∵∠FEC＝∠B＝67.5，∠FED＝22.5，∴∠DEC＝∠FEC－∠FED＝45，故C錯誤，符合題意；∵Rt△ADC中，∠ADC＝90，AD＝DC，∴AC＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝CD，故D正確，不合題意，故選C. 4. D　【解析】∵∠A＝36，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180－36)＝72，△ABC是等腰三角形，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36，∴∠BDC＝180－∠C－∠DBC＝72，∴∠C＝∠BDC＝72，∴△BCD是等腰三角形，∴BC＝BD，∵BE＝BC，∴BE＝BD，∴△BED是等腰三角形，∵∠ABD＝36，∴∠A＝∠ABD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠BED＝(180－36)＝72，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72－36＝36，∴∠A＝∠ADE，∴△AED是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC、△BCD、△BED、△ABD、△AED共5個． 5. 90或150或30　【解析】需分情況討論：(1)如解圖①，當∠BAC為頂角，即AB＝AC時，∵AD＝BC＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45，∴∠BAC＝90；(2)如解圖②，當∠ABC為頂角，即AB＝BC時，∵AD＝BC，∴AD＝AB，∵∠D＝90，∴∠ABD＝30，∴∠ABC＝150；(3)如解圖③，當∠ACB為頂角，即AC＝BC時，∵AD＝BC＝AC，∠ADC＝90，∴∠ACB＝30，∴△ABC的頂角為90或150或30. 第5題解圖 6. 　【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分別是它們斜邊上的中線，∴EM＝DM＝AB＝AM＝BM＝2，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠CBE＝30，∴∠EMD＝60，又∵DM＝EM，∴△DEM是邊長為2的等邊三角形，∴S△DEM＝22＝.