閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).ppt

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1,,第十節(jié),一、有界性與最大值最小值定理,二、零點定理與介值定理,*三、一致連續(xù)性,,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,2,學習指導,１．教學目的：了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。２．基本練習：了解并通過一定的練習學習最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理在函數(shù)值的估計和根的估計上的應用。3．注意事項：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質(zhì)。應了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理。了解定理的條件和結(jié)論，并通過一定的練習學會運用它們．,3,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點b左連續(xù),在左端點a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的。,4,并非任何函數(shù)都有最大值和最小值?例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a?b)內(nèi)既無最大值又無最小值?,應注意的問題:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)?如果有x0?I?使得對于任一x?I都有f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0))?則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)?,5,例如,,6,說明:,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?,又至少有一點x2?[a?b]?使f(x2)是f(x)在[a?b]上的最小值?,至少有一點x1?[a?b]?使f(x1)是f(x)在[a?b]上的最大值?,定理說明?如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?那么,7,應注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)?或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點?那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值?,例如?函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a?b)內(nèi)既無最大值又無最小值?,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?,8,又如?如下函數(shù)在閉區(qū)間[0?2]內(nèi)既無最大值又無最小值?,應注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)?或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點?那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值?,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?,9,定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界?,證明設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?根據(jù)定理1?存在f(x)在區(qū)間[a?b]上的最大值M和最小值m?使任一x?[a?b]滿足m?f(x)?M?上式表明?f(x)在[a?b]上有上界M和下界m?因此函數(shù)f(x)在[a?b]上有界?,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?,10,有界性與最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.,11,二、零點定理與介值定理,注:如果x0使f(x0)=0?則x0稱為函數(shù)f(x)的零點?,定理3(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)與f(b)異號?即f(a).f(b)0?f(1)=-2<0?根據(jù)零點定理?在(0?1)內(nèi)至少有一點x?使得f(x)=0?即x3-4x2+1=0?這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0?1)內(nèi)至少有一個根是x?,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)與f(b)異號?即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(a?b)內(nèi)至少存在一點x?使f(x)=0?,13,定理4(介值定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)?f(b)?那么?對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C?在開區(qū)間(a?b)內(nèi)至少有一點x?使得f(x)=C?,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)與f(b)異號?即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(a?b)內(nèi)至少存在一點x?使f(x)=0?,14,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)與f(b)異號?那么在開區(qū)間(a?b)內(nèi)至少一點x?使f(x)=0?,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值?,定理4(介值定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?且f(a)?f(b)?那么?對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C?在開區(qū)間(a?b)內(nèi)至少有一點x?使得f(x)=C?,15,證,16,由零點定理,,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,幾何解釋:,17,例2,證,由零點定理,,18,三、一致連續(xù)性,定理5(一致連續(xù)性定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么它在該區(qū)間上一致連續(xù).,不論在區(qū)間I的任何部分，只要自變量的兩個數(shù)值接近到一定程度，就可使對應的函數(shù)值達到所指定的接近程度。,定義：設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在著正數(shù)δ，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1,x2，當|x1-x2|<δ時，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。,19,思考題,下述命題是否正確？,20,思考題解答,不正確.,例函數(shù),21,五、小結(jié),關于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個定理：,有界性定理、最值定理、零點定理、介值定理，,注意條件：1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點不全滿足時上述定理不一定成立．,它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具。,22,內(nèi)容小結(jié),在,上達到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4.當,時,,使,必存在,上有界;,在,在,23,作業(yè),P74：2，3,